Лемма если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой то и другая прямая кратко
Обновлено: 05.07.2024
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости
Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Основная литература:
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень
Дополнительная литература:
Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой..
Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90 о .
Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90 о , т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90 о
Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90 о , то есть b ⊥ с.
Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.
По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.
Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α
Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.
Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.
В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.
Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.
Предположим, что существует прямая с1, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с1 параллельны. Но по построению прямые с и с1пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.
Теоретический материал для углубленного изучения
Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Доказательство (см. рис. 1)
Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.
Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля
Выбор элемента из выпадающего списка
Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DC).
Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):
Неправильный вариант/варианты (или комбинации):
Подсказка: в кубе все углы по . Плоскость (DC), проходит через грань куба DC.
Ребус – соответствия.
Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.
Утверждение:
- Две прямые называются перпендикулярными, если …..
- Если плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ……
Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):
Две прямые называются перпендикулярными, если …
угол между ними равен 90
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …
перпендикулярна и другой
Неправильный вариант/варианты (или комбинации):
Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к третьей прямой.
Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Видеоурок посвящен разбору темы "Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости", даны определения, приведены доказательства леммы и теорем из п.15 и п.16 учебника. Также разобраны задачи № 116 и №117.
Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 градусов.
Обозначение . .
Рассмотрим прямые а и b. Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провести прямую , параллельную прямой а, и прямую , параллельную прямойb. Прямые и пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми а и b. Если угол равен 90°, то прямые а и b перпендикулярны.
Лемма: Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Пусть даны две параллельные прямые а и b, и прямая с ,причем . Нужно доказать, что .
Возьмем произвольную точку М . Через точку М проведем прямую , параллельную прямой а и прямую , параллельную прямой c (рис. 2). Тогда угол АМС равен 90°.
Прямая b параллельна прямой а по условию, прямая параллельна прямой а по построению. Значит, прямые и b параллельны.
Имеем, прямые и b параллельны, прямые с и параллельны по построению. Значит, угол между прямыми b и с – это угол между прямыми и, то есть угол АМС, равный 90°. Значит, прямые b и с перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Обозначение. .
Свойство: Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она пересекает эту плоскость. ( Если , то . )
Напоминание. Прямая и плоскость или пересекаются в одной точке, или параллельны, или прямая лежит в плоскости.
Если прямая а параллельна плоскости (рис. 4), то в плоскости можно провести прямую , параллельную прямой а. Получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая а лежит в плоскости (рис. 5), то в плоскости можно провести прямую , параллельную прямой а. Опять получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.
Значит, если прямая а перпендикулярна плоскости , то она пересекается с ней.
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Пусть прямая а параллельна прямой а 1 . Прямая а перпендикулярна плоскости . Докажем, что и прямая а 1 перепендикулярна плоскости .
Прямая а перпендикулярна плоскости . Значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая х лежит в плоскости , значит, (см. рис. 6).
Прямая а перпендикулярна прямой х, а прямая а 1 параллельна прямой а. Значит, прямая а 1 перпендикулярна прямой х по лемме. Прямую х мы выбирали произвольно. Значит, прямая а 1 перпендикулярна любой прямой в плоскости , то есть прямая х перпендикулярна плоскости , что и требовалось доказать.
Пусть прямая а перепендикулярна плоскости и прямая b перепендикулярна плоскости . Докажем, что прямая а параллельна прямой b .
Предположим, что прямая b не параллельна прямой а. Через точку М прямой b проведем прямую , параллельно прямой а (рис. 8).
Прямые и а параллельны, прямая а перпендикулярна плоскости . По теореме, прямая также перпендикулярна плоскости .
Прямые b и пересекаются, а значит через них проходит некоторая плоскость. Пусть эта плоскость пересекает плоскость по прямой с. Тогда прямая перпендикулярна прямой с, так как прямая с лежит в плоскости , а прямая ей перпендикулярна.
Но тогда в плоскости, определенной пересекающимися прямыми b и через точку М проходят два перпендикуляра b и к прямой с. Получаем противоречие. Значит, прямая b параллельна прямой а, что и требовалось доказать.
На этом уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости и параллельные прямые, которые перпендикулярны к плоскости.
Вначале дадим определение двух перпендикулярных прямых в пространстве и их обозначение. Рассмотрим и докажем лемму о параллельных прямых, перпендикулярных третьей прямой. Далее дадим определение прямой, перпендикулярной к плоскости, и рассмотрим свойство такой прямой, при этом вспомнив взаимное расположение прямой и плоскости. Далее докажем прямую и обратную теорему о двух параллельных прямых, перпендикулярных к плоскости.
В конце урока решим две задачи на перпендикулярность прямых в параллелепипеде и тетраэдре.
Стереометрия:
Контакты
Содержание
Прямые
Перпендикулярные прямые в пространстве – две пересекающиеся или скрещивающиеся прямые, угол между которыми равен 90º.
Прямая и плоскость
Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. См.Рис.1.
Перпендикулярные прямые обозначаются: a⊥b .
Лемма о перпендикулярности двух прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Свойства прямых, перпендикулярных плоскости: См.Рис.2.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах. Наклонная к плоскости перпендикулярна к прямой, лежащей в этой плоскости, тогда и только тогда, когда проекция наклонной перпендикулярна этой прямой. См.Рис.3.
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.
Плоскости
Признак перпендикулярности двух плоскостей:
Если одна из двух плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. См.Рис.4.
Читайте также: