Квантовый гармонический осциллятор кратко

Обновлено: 05.07.2024

Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора, при этом рассматривают не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию гармонического осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Содержание

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении

Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний, . По горизонтали отложена координата , по вертикали — значение волновой функции . Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

$\! \hat<H> = \frac<\hat p ^2 > + \frac$

В координатном представлении , . Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных

$-\frac<\hbar ^2> \frac<\partial^2 ><\partial x^2>\psi(x)+\frac<m\omega^2 x^2>\psi(x)=E\psi(x)$

$E_n = \hbar \omega \left(n + <1\over 2> \right)\ ,\ n = 0, 1, 2, \ldots$

решение имеет вид:

$\psi_n(x) = \frac<1> > \cdot \left(\frac<m\omega><\pi \hbar>\right)^ \cdot \exp \left(- \frac<m\omega x^2> \right) \cdot H_n\left(\sqrt<\frac<m\omega><\hbar>> x \right),$

$\! H_n$

функции — полиномы Эрмита:

$H_n(x)=(-1)^n e^<x^2> \frace^$

Данный спектр значений E заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи, то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна , во-вторых наименьшее значение энергии равно . Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Операторы рождения и уничтожения

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.

$\! \hat^+ = \frac <(\hat+ m \omega \hat)> >$

$\! \hat= \frac <(\hat - m \omega \hat)>>$

$\! [\hat, \hat^+] = \hat\hat^+ - \hat^+\hat = \frac <\hbar>(\hat\hat - \hat\hat) = 1$

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:

$\hat<H> = \hbar\omega\left(\hat^+\hat+\frac\right)=\hbar\omega\left(\hat+\frac\right)$
,

Ангармонический осциллятор

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

$\hat<H> = <\hat^2 \over 2m> + <1\over 2>m \omega^2 \hat^2 + \lambda \hat^3$

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования), кубическое слагаемое равно

$\lambda \left(<\hbar \over 2m\omega> \right)^ <3\over 2>(\hat + \hat^+)^3.$

$\left| \psi_E \right\rangle$

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния равна

$\Delta E^<(2)> = \lambda^2 \left\langle \psi_E \right| q^3 q^3 \left| \psi_E \right\rangle.$

Многочастичный квантовый осциллятор

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

$\hat<H> = \sum_^N <\hat_i^2 \over 2m> + <1\over 2>m \omega^2 \sum_ (nn)> (\hat_i - \hat_j)^2$

Здесь под _i" width="" height="" />
и _i" width="" height="" />
подразумеваются отклонение (от положения равновесия) и импульс -той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Переходы под влиянием внешней силы

Под влиянием внешней силы квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии () на другой (). Вероятность этого перехода (t)" width="" height="" />
для осциллятора без затухания даётся формулой:

$\! \delta(t)$

где функция определяется как:

$\delta(t) = -i l \hbar \int\limits_0^t<f(\tau) exp(i \omega \tau) d\tau> $
,

— полиномы Лагерра.

См. также

Литература

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Квантовый гармонический осциллятор" в других словарях:

Квантовый зарядовый осциллятор — (Quantum Charge Oscillator) аналитическое продолжение классического LC ? осциллятора (колебательного контура) на область квантовой механики. Из классической электродонамики известно дифференциальное уравнение для реактивного колебательного… … Википедия

Гармонический осциллятор — У этого термина существуют и другие значения, см. Осциллятор. Гармонический осциллятор (в классической механике) система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x… … Википедия

Квантовый провод — В физике конденсированного состояния квантовый провод это электропроводящий провод, в котором квантовые эффекты оказывают влияние на явления переноса. Из за квантовых ограничений на электроны проводимости в поперечном направлении провода, их… … Википедия

Квантовый осциллятор — Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора, при этом рассматривают не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию гармонического осциллятора,… … Википедия

Поворот Вика — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/13 декабря 2012. Пока процесс обсужден … Википедия

Квантовая струна (физика) — Квантовая струна является одним из основных объектов исследования в Теории струн. Дать однозначное определение Квантовой струне не представляется возможным из за многогранности объекта. Ниже предложены некоторые полезные простые определения КС.… … Википедия

Квантовая струна — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. У этого термина … Википедия

Состояние Фока — Фоковское состояние это квантовомеханическое состояние с точно определённым количеством частиц. Названо в честь советского физика В. А. Фока. Содержание 1 Свойства фоковских состояний 2 Энергия состояний … Википедия

Квантовая теория поля — Квантовая теория поля квантовая теория систем с бесконечным числом степеней свободы (полей физических (См. Поля физические)). К. т. п., возникшая как обобщение квантовой механики (См. Квантовая механика) в связи с проблемой описания… … Большая советская энциклопедия

Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора. Однако здесь рассматривают не силы действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию для гармонического осциллятора, в котором присутствует параболическая потенциальная энергия.

Содержание

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении

Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний, n = 0 … 7. По горизонтали отложена координата x, по вертикали — значение модуля ψ. Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

$<\displaystyle \!<\hat <H> >=>^>>+<\frac <m\omega ^<\hat <q>>>>>$

$<\displaystyle <\hat <q> В , >=x>$
. Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее

имеет решение в классе функций интегрируемых с квадратом (грубо говоря, убывающих на бесконечности).

Решение имеет вид

\right\rangle =n!>>>\cdot \left(<\pi \hbar >>\right)^\cdot \exp \left(-><2\hbar >>\right)\cdot H_\left(<\sqrt <\hbar >>>x\right)>" width="" height="" />
" width="" height="" />
, функции >" width="" height="" />
—

Энергии соответствующих уровней даются формулой

$<\displaystyle E_<n> =\hbar \omega \left(n+\right)>$
.

$<\displaystyle \hbar \omega > Данный спектр значений заслуживает внимания по двум причинам: во-первых уровнии энергии дискретны и равноотстоящи, то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна$
. Во-вторых наименьшее значение энергии равно " width="" height="" />
. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Операторы рождения и уничтожения

$<\displaystyle \!^<+> =+\omega )>>>>$

$<\displaystyle \!=<\frac <(-\omega )>>>>$

$<\displaystyle \![a,^ ]=^-^=<\hbar >>(-)=1>$

С помощью операторов рождения и уничтожения

Ангармоничный осциллятор

Под ангармоничным осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармоничного осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в

$<\displaystyle \left|\psi _<E> Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутсвует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния \right\rangle >$
равна

$<\displaystyle \Delta E^<(2)> =\lambda ^\left\langle \psi _\right|x^x^\left|\psi _\right\rangle .>$

Многочастичный квантовый осциллятор

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взамодействие соседних частиц по квадратичному закону:

$<\displaystyle H=\sum _<i=1> ^^ \over 2m>+m\omega ^\sum _(nn)>(x_-x_)^>$

Здесь под >" width="" height="" />
и >" width="" height="" />
подразумеваются отклонение (от положения равновесия) и импульс " width="" height="" />
-той частицы. Суммирование ведется только по соседним частицам.

$<\displaystyle W_<n,m> Под влиянием внешней силы f(t) квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии (n) на другие (m). Вероятность этого перехода (t)>$
для Осцилятора без затухания даётся формулой

$<\displaystyle L_<m> ^>$
— полиномы Лагерра.

См. также

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Квантовый гармонический осциллятор. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Читайте также: