Космологическая модель эйнштейна фридмана кратко

Обновлено: 04.07.2024

Последовала дискуссия, после чего Эйнштейн признал этот результат. Однако признание Эйнштейна не означало признания научной общественности, которая еще несколько лет считала вывод Фридмана скорее математическим курьезом, чем глубоким физическим результатом.

V – скорость удаления галактики, H = 75 – 80 км/с∙Мпк или (3 – 5)∙10-18 с -1 – постоянная Хаббла,

r – расстояние до галактики в парсеках (1 пк = 3,1∙10 16 м).

Смысл постоянной Хаббла в следующем, величина, обратная постоянной Хаббла, есть возраст Вселенной. Расчеты показывают, что если принять Н= 75 км/с∙Мпк, то возраст Вселенной t = 1/H = 13,5 млрд. лет.

К сожалению, сам Фридман не смог стать свидетелем этого события он скончался в 1925 r. в возрасте 37 лет.

Но средняя плотность вещества во Вселенной неизвестна, и мы сегодня не знаем, в каком из пространств Вселенной мы живем.

На сегодняшний день модель расширяющейся Вселенной, предложенная Фридманом, наиболее популярна (красное смещение и конечная светимость неба объясняются эффектом Доплера, и нет необходимости во введении компенсирующих гравитацию взаимодействий), глобально искривленной из-за наличия гравитирующих масс. И обсуждаются в основном две ее модификации:

1. Замкнутая модель (геометрический аналог - расширяющаяся гиперсфера) предсказывает постепенное замедление расширения вследствие торможения гравитационными силами с последующим переходом к сжатию.

В настоящее время предпочтение отдается открытой модели, поскольку оценки средней плотности вещества во Вселенной, сделанные на основе наблюдаемой концентрации звезд, показывают, что гравитационные силы не способны остановить происходящее с наблюдаемой скоростью разбегания. Оценки могут существенно измениться в пользу закрытой модели при наличии в космосе скрытых масс несветящегося вещества (например, за счет ненулевой массы покоя нейтрино).

До этого Вселенная была вместилищем всего сущего, но после вмешательства Фридмана, Эйнштейна, Леметра и Хаббла она свой статус потеряла и превратилась в физический объект с разными характеристиками: размер, плотность, температура, свет. А как представить себе этот физический объект, как это — представить замкнутую Вселенную? Легко себе представить бесконечную Вселенную, а как себе представить конечную Вселенную? Проще всего, наверное, представить себе шарик, на поверхности которого нарисованы галактики, звезды. (Двумерная аналогия) Шарик можно надувать — тогда он будет расширяться, и нарисованные галактики будут друг от друга удаляться. Очень важно понимать, что у такого расширения нет центра. Почти всегда, представляя себе Большой взрыв, люди думают, что где-то что-то в какой-то точке взорвалось и расширяется в пустоту. Ничего подобного, нет никакой пустоты. Это именно замкнутое пространство, которое легче нам представить на поверхности шарика, которое все расширяется само по себе. В нем нет пустоты, оно однородно, и в нем нет центра. Вселенная безгранична, но при этом замкнута в пространстве. Сигнал, пущенный наблюдателем во Вселенной, вернется к нему с противоположной стороны.

Согласно стационарной релятивистской модели:

Космологическая концепция А. Фридмана основывается на нескольких принципах.

V – скорость удаления галактики, H = 75 – 80 км/с∙Мпк или (3 – 5)∙10-18 с -1 – постоянная Хаббла,

r – расстояние до галактики в парсеках (1 пк = 3,1∙10 16 м).

К сожалению, сам Фридман не смог стать свидетелем этого события он скончался в 1925 r. в возрасте 37 лет.

Согласно стационарной релятивистской модели:

Космологическая концепция А. Фридмана основывается на нескольких принципах.

Космологическая постоянная – безразмерная константа, которая была введена в уравнения общей теории относительности Альбертом Эйнштейном (1917 год) для противодействия силам гравитации во Вселенной.

Составление ОТО

В период с 1915-й по 1916-й год А.Эйнштейн опубликовал свою величайшую работу, наиболее успешную теорию гравитации, ставшей фундаментом для космологии, применяемую и по сей день, в том числе Международным астрономическим союзом – общую теорию относительности (ОТО). В рамках этой теории А.Эйнштейн вывел уравнение, которое связывает кривизну пространства-времени с материей, веществом, заполняющим рассматриваемую искривленную область. Как и большинство физиков-теоретиков, великий ученый стремился свести свое уравнение к максимально простому виду, что собственно у него успешно получилось.

Работая над ОТО, А.Эйнштейн заметил один недостаток – согласно его уравнениям Вселенная должна либо расширяться либо сжиматься, что противоречило астрономическим наблюдениям и представлениям о Вселенной того времени. По этой причине им был введен дополнительный множитель, безразмерная константа, задача которой состояла в том, чтобы противостоять силам тяготения, гравитации, то бишь действовать в обратном направлении. Таким образом, А.Эйнштейн смог получить решение для статической и неизменной Вселенной. Значение же космологической постоянной, иначе Лямбда-члена (в силу обозначения константы греческой буквой Лямбда), предполагалось достаточно мизерным, чтобы не замечать его проявление в природе.

Черная дыра — еще одно открытие Теории относительности

Модель Фридмана и несостоятельность Лямбда-члена

В 1922-м году выдающийся советский физик Александр Фридман опубликовал свою научную работу, в которой описывалась нестационарная модель Вселенной. Основываясь на уравнениях ОТО, Фридман вывел несколько уравнений, которые в зависимости от принимаемых параметров прогнозируют несколько сценариев эволюции Вселенной. В случае со значением космологической постоянной существует три варианта, каждый из которых не предусматривает стационарную Вселенную:

Λ 0 – Вселенная постепенно расширяется, при этом скорость самого расширения возрастает.
Λ = 0 – эволюция Вселенной зависит от изначального значения плотности вещества. Отсюда также вытекает три варианта развития событий: торможение расширения и последующее обращение в сжатие, монотонное расширение с мизерным уменьшением скорости либо вовсе бесконечное.

Сценарии эволюции Вселенной по Фридману

Так или иначе, первое время космологическая модель Фридмана была раскритикована А.Эйнштейном, так как в случае с эволюционирующей Вселенной космологическая константа могла бы без последствий быть изъята из уравнений ОТО. Спустя несколько лет, в 1927-м году бельгийский астроном Жорж Леметр, наблюдая за галактиками различной удаленности, определил, что Вселенная расширяется. Еще позже, в 1929-м году американский астрофизик Эдвин Хаббл сформулировал свой одноименный закон, описывающий расширение Вселенной, которое также смог определить по красному смещению в спектре галактик. В результате упомянутых открытий А.Эйнштейн был вынужден принять модель Вселенной Фридмана. С того времени Лямбда-член в уравнениях ОТО в масштабах космологии не учитывался, а в других областях не делал заметный вклад в уравнения, а потому вводился лишь в связи с эстетическими взглядами самих ученых.

Ускоренное расширение и возвращение Лямбда-члена

Ускоренное расширение Вселенной. График роста расстояний

Также следует упомянуть, что как выяснилось учеными после жизни Эйнштейна, космологическая постоянная давала возможность существовать Вселенной в стабильном состоянии, лишь некоторое время при определенных условиях. И при первом же незначительном изменении в условиях начался бы либо процесс сжатия, либо процесс расширения Вселенной.

Наглядная модель расширения Вселенной со времен Большого Взрыва

Космологическая константа сегодня

Наибольший вклад в науку космологическая постоянная делает в области квантовой физики и космологии. Так на основании космологической модели Фридмана сформировалась современная модель Вселенной, под названием Лямбда-CDM, где космологическая постоянная является неотъемлемой частью теоретической конструкции и описывает свойства темной энергии.

Еще большую путаницу вносит относительно низкое значение космологической постоянной, получаемое при изучении эффекта разлета галактик. Одним из решений данной проблемы является предположение о том, что кроме энергии вакуума в космологическую постоянную вносит вклад еще какое-то неизученное слагаемое, некая неизвестная величина.

Habritants! Когда в процессе моего ознакомления с темой решения уравнений общей теории относительности для метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера выяснилось, что единого транспарентного материала на эту тему на русском языке нет, я решил запостить разбор в виде статьи, заодно ещё раз самому лучше вникнув в тему.

Для понимания материала необходимы знания алгебры: понятие о производных в большей степени; тензорная — в меньшей.

Метрика

Рассмотрим получение метрики FLRW, которая по сути является основанием решения Фридмана, начав с упрощённого случая. Полностью и достаточно подробно, но без пояснений, хорошо описано здесь (pdf).

I. Представим одномерное пространство , с протянутой внутри него осью , равномерно искривлённым:

Можно сказать, что пространство является одномерной гиперповерхностью постоянной кривизны в двухмерном пространстве (x,y).

Зададим произвольную точку в пространстве , тогда с одной стороны, длина перемещения из точки A в любую сторону пространства определяется формулой (1):

где — координаты в декартовой системе координат, смещённой относительно , то есть имеющей начало O вне рассматриваемого пространства.
С другой же стороны, кривизна характеризуется радиусом R, который задан формулой (2):

Продифференцируем (2), чтобы получить взаимозависимость скоростей изменения координат и : . Или:

Заметки на полях. Форма зависимости замечательно резонирует с отношением из доказательства Харди теоремы Пифагора: (a — катет, c — гипотенуза).
В нашем случае катеты нелинейно перерастают друг в друга при постоянной гипотенузе.

Подставляем отсюда в (1), и выражаем через :

Если пространство плоское () . Как если бы перед был ноль.

Если пространство положительной кривизны, у длины появляется отклонение, зависящее от . Множитель перед в этом случае .
Для отрицательной кривизны знак множителя надо изменить на отрицательный (). Можно представить все три случая так:

Чем дальше мы движемся в таком пространстве при неизменном радиусе кривизны , тем хуже (проходим всё меньшее расстояние) у нас будет это получаться в сферическом пространстве, без изменений в плоском, и лучше (большее расстояние) в гиперболическом.

II. Расширим пространство до трёхмерного (x,y,z). Будем подразумевать, что радиус его кривизны одинаков в каждой точке, как если бы оно было поверхностью 3-сферы — все три оси скручены подобно оси , образуя 3-сферу радиуса . Произведём те же операции, что для одномерного варианта, чтобы получить уравнение для перемещения в трёхмерном пространстве (3):

(1)
дифференцируем и выражаем dw:

Поэтому надо искать обходной путь. Необходимо найти такое координатное представление, чтобы кривизна могла быть выражена отдельно для каждого базисного вектора.

где
— линейная координата (первая),
— угловые координаты (вторая и третья),
;
и получается, что члены метрического тензора, выделенные цветом (по очереди — красный, зелёный, синий):

это диагональные члены метрического тензора.

III. Всё? Нет.
Произведём замену первой координаты , выразив её через радиус кривизны: ; .

Подставим в (4), и получим сопутствующие координаты с сопутствующим расстоянием , что удобно для расширяющейся Вселенной и изменяющегося (5):

Заметки на полях. Последнюю замену , чисто математически можно интерпретировать как переход к углу (sic!) размера , при этом — дуга длины . Это важно. Я вернусь к этому в одной из следующих статей.

И вот он наш метрический тензор:

Тензор пространства-времени

Здесь предполагается, что за время по оси точка A перемещается в пространстве на . Размерность оси времени равна (скорость света), при которой (светоподобный интервал равен нулю).

Получим тензор пространства-времени:

Символы Кристоффеля второго рода

Для расчёта тензора кривизны нам необходимо определить символы Кристоффеля (коэффициенты связности).

I. Всё начинается с того, что некая точка (частица) движется в отсутствии сторонних сил (ускорение равно нулю) в декартовых координатах :

где .
Однако, если перейти к сферическим координатам , это простое тождество впрямую работать уже не будет.
Необходимо сначала цивилизованно перейти к координатам :

Красным — члены матрицы трансформации (якобианы):

Осталось продифференцировать ещё раз по времени:

И вот та монструозная маджента, получившаяся в правом слагаемом в качестве множителя при производных координат , и есть символ Кристоффеля второго рода (6):

То есть символы Кристоффеля характеризуют метрику в том, насколько её форма искажает значение по каждой из координат при переносе некоторой точки относительно начала координат.
Ещё проще, символы Кристоффеля — это множители базисных векторов, соответствующие их переносу в пространстве, заданном метрикой.

Дело в том, что изменение метрики от точки к точке означает изменение базисных векторов в этих точках. Удобно выразить изменение базисного вектора через его производную.

Так как в криволинейной системе координат базисные векторы являются функциями, аргументом которых является положение точки, то и производные взятые прямо по координатам будут отличны от нуля (7):

Множителем при полученном в результате такого дифференцирования векторе будет символ Кристоффеля второго рода.

Видно, что — это множитель при базисном векторе , соответствующий его искривлению при перемещении базисного вектора по оси :
— координата базисного вектора, при котором стоит коэффициент;
— координата изменяемого базисного вектора;
— координата по которой отслеживается изменение.
То есть для декартовых координат, перенос точки в которых не влияет на размер базисных векторов, все символы будут равны нулю. Это очевидно так же, как и то, что при переносе точки в сферических координатах, величина базисных векторов угловых величин (второй и третьей координат) меняется. В некотором роде, это плата за линейность кривизне.

В метрике FRW, отличной от сферической наличием множителя при первой координате, в результате собственно этой её особенности, перенос базиса вдоль первой координаты также приведёт к его изменению.

Рассчитать коэффициенты связности можно, пользуясь формулой из их определения.

Собственно, маджента и есть нужный коэффициент:

Фишка в том, что после дифференцирования нужно вынести требуемый базисный вектор, а остальное утрамбовать.

Но не во всех случаях это удобно, поэтому выведем универсальную формулу.

1. При этом скалярное произведение векторов:

Продифференцируем последнее по :

И выразим нужный член:

Подставим в изначальное:

2. По определению для произвольного вектора верно:

Сопоставляя с (7), получим:

3. То есть символы тождественны по нижним индексам. Отсюда следует, что:

Или можно представить так:

4. Синяя часть сквозит производной произведения:

Пользуясь тем, что:

Получим (у Аменадзе здесь опечатка):

1. Что такое ? Это представление тензора в ковариантных координатах. Сам тензор пространства-времени у нас представлен в контрвариантных координатах. Это начала тензорной алгебры, которые доступно разложены, например, здесь.
В данном случае, для нас важно, что в координатах с ортогональным базисом действует правило:

то есть диагональные члены представления тензора в ковариантных и ковариантных координатах взаимно обратны:

2. Как читать запись типа ? Это просто сокращение от:

III. Теперь уже можно от вопроса теоретического представления переходить к прагматическому вопросу получения коэффициентов.

В нашем случае, когда все члены по несовпадающим индексам равны нулю (), мы можем ещё немного упростить полученную формулу:

Над материалом работали

российское издательство, основано в 1991 году

доктор физико-математических наук, директор астрономической обсерватории Иркутского государственного университета, профессор физического и географического факультетов ИГУ

Читайте также: