Координаты и векторы в пространстве кратко

Обновлено: 02.07.2024

Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),
точка их пересечения O – началом координат,
а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостям. Точка O разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями.

Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка OA_x: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси. Аналогично можно определить координаты y и z точки A. Координаты точки A записываются в скобках рядом с названием этой точки: A (x; y; z).

Ø Координаты нулевого вектора равны нулю.

Ø Координаты равных векторов соответственно равны.

Ø Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.

Ø Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов.

Ø Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям соответствующих координат этого вектора на данное число.

IV. Закрепление.(мультимедийная презентация) Решение задач по готовому чертежу

Задача №1 Рассмотрим точку А и найдём её координаты по чертежу: Ответ: А(2; -3; 5)

Задача№2 Найти координаты точек:

Ответ: A (4; -2,5; 7)

V. Повторение: решение задач В9, В11 тренировочной работы

VII. Домашнее задание

Прямоугольная система координат.

Ø Координаты нулевого вектора равны нулю.

Ø Координаты равных векторов соответственно равны.

Ø Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.

Ø Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов.

IV. Закрепление.(мультимедийная презентация) Решение задач по готовому чертежу

Задача №1 Рассмотрим точку А и найдём её координаты по чертежу: Ответ: А(2; -3; 5)

Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.

Оси координат \(Ox\), \(Oy\) и \(Oz\) называются соответственно: \(Ox\) — ось абсцисс , \(Oy\) — ось ординат , \(Oz\) — ось аппликат .

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: \((Oxy)\), \((Oyz)\) и \((Oxz)\).

Координата \(x\) называется абсциссой точки \(A\), координата \(y\) — ординатой точки \(A\), координата \(z\) — аппликатой точки \(A\).

Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы i → , j → и k → , то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в виде OA → = x ⋅ i → + y ⋅ j → + z ⋅ k → .

Коэффициенты \(x\), \(y\) и \(z\) определяются одним-единственным образом и называются координатами вектора.

- координаты разности векторов, если даны координаты векторов:
a → − b → x 1 − x 2 ; y 1 − y 2 ; z 1 − z 2 ;

В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

Для начала дадим определение:

Вектор – это направленный отрезок прямой.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка, например a → . Если известны граничные точки вектора – его начало и конец, к примеру A и B , то вектор обозначается так A B → .

Нулевой вектор

Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Длина вектора

Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

Длину вектора A B → принято обозначать так A B → .

Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин "длина вектора". Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Коллинеарность векторов

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Направление векторов

Сонаправленными векторами называют два коллинеарных вектора a → и b → , у которых направления совпадают, такие векторы обозначаются так a → ↑ ↑ b → .

Противоположно направленными векторами называются два коллинеарных вектора a → и b → , у которых направления не совпадают, т.е. являются противоположными, такие векторы обозначаются следующим образом a → ↑ ↓ b → .

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Равные и противоположные векторы

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Пусть заданы два произвольных вектора на плоскости или в пространстве a → и b → . Отложим от некоторой точки O плоскости или пространства векторы O A → = a → и O B → = b → . Лучи OA и OB образуют угол ∠ A O B = φ .

Углы между векторами

Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).

у которого начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления, а его модуль равен нулю.

Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

В (– 5 ; 3 ; 0 ) .

Найти длину (модуль) отрезка АВ .

По соответствующей формуле, находим :

А ( 0 ; 2 ; 5 ),

В (– 4 ; 7 ; 15 ) .

Найти длину вектора

Определить, какие из нижеперечисленных векторов равны.

Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся следующим условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов