Контур с током в магнитном поле кратко

Обновлено: 04.07.2024

Выясним, как ведет себя контур с током в магнитном поле. Начнем со случая, когда поле однородно ). Согласно (44.5) на элемент контура действует сила

Результирующая таких сил равна

Вынеся постоянные величины и В за знак интеграла, получим

Интеграл равен нулю, поэтому . Таким образом, результирующая сила, действующая на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. Это справедливо для контуров любой формы (в том числе и неплоских) при произвольном расположении контура относительно направления поля. Существенной для равенства нулю результирующей силы является лишь однородность поля.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением плоских контуров. Вычислим результирующий вращательный момент, создаваемый силами (46.1), приложенными к контуру. Поскольку в однородном поле сумма этих сил равна нулю, результирующий момент относительно любой точки будет один и тот же. Действительно, результирующий момент относительно некоторой точки О определяется выражением

где — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы Возьмем точку О, смещенную относительно О на отрезок Ь. Тогда соответственно Поэтому результирующий момент относительно точки О равен

Моменты, вычисленные относительно двух произвольно взятых точек О и О', оказались совпадающими. Отсюда заключаем, что момент не зависит от выбора точки, относительно которой он берется (ср. с парой сил).

Рассмотрим произвольный плоский контур с током, находящийся в однородном магнитном поле В. Пусть контур ориентирован так, положительная нормаль к контуру перпендикулярна к вектору В (рис. 46.1).

Положительной называется нормаль, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта.

Разобьем площадь контура на узкие параллельные направлению вектора В полоски ширины (см. рис. 46.1, а; на рис. 46.1, б одна такая полоска изображена в увеличенном виде). На ограничивающий полоску слева элемент контура действует сила направленная за чертеж. Модуль этой силы равен (см. рис. 46.1, б). На ограничивающий полоску справа элемент контура действует сила направленная на нас. Модуль этой силы равен

Полученный нами результат означает, что силы, приложенные к противоположным элементам контура образуют пару, момент которой равен

— площадь полоски). Из рис. 46.1 видно, что вектор перпендикулярен к векторам , следовательно, может быть записан в виде

Просуммировав это выражение по всем полоскам, получим вращательный момент, действующий на контур:

(поле предполагается однородным, поэтому произведение для всех полосок одинаково и может быть вынесено за знак интеграла). Величина S в выражении (46.3) есть площадь контура. Выражение (46.3) можно представить в виде

Эта формула сходна с формулой (9.12), определяющей вращательный момент, действующий на электрический диполь в электрическом поле. Аналогом Е служит в (46.4) вектор аналогом дипольного электрического момента — выражение Это послужило основанием для того, чтобы назвать величину

дипольным магнитным моментом контура с током. Направление вектора совпадает с направлением положительной нормали к контуру.

Воспользовавшись обозначением (46.5), можно написать формулу (46.4) следующим образом:

Теперь допустим, что направление вектора В совпадает с направлением положительной нормали к контуру , а следовательно, и с направлением вектора (рис. 46.2). В этом случае силы, действующие на разные элементы контура, лежат в одной плоскости — плоскости контура. Сила, действующая на элемент контура определяется выражением (46.1). Вычислим результирующий момент таких сил относительно точки О, лежащей в плоскости контура:

Первый интеграл равен нулю вследствие того, что векторы и В взаимно перпендикулярны.

Скалярное произведение под знаком второго интеграла равно Поэтому второй интеграл можно представить в виде

Под знаком интеграла стоит полный дифференциал функции . Сумма приращений функции на замкнутом пути равна нулю. Следовательно, и второе слагаемое в выражении для N равно нулю. Таким образом, мы доказали, что результирующий момент N относительно любой точки О, лежащей в плоскости контура, равен нулю. Такое же значение имеет результирующий момент относительно всех других точек (см. выше).

Итак, в случае, когда векторы имеют одинаковое направление, магнитные силы, действующие на отдельные участки контура, не стремятся ни повернуть контур, ни сдвинуть его с места; они лишь стремятся растянуть контур в его плоскости. Если векторы имеют противоположные направления, магнитные силы стремятся сжать контур.

Пусть направления векторов и В образуют произвольный угол а (рис. 46.3). Разложим магнитную индукцию В на две составляющие: — параллельную и перпендикулярную вектору и рассмотрим действие каждой составляющей отдельно. Составляющая будет обусловливать силы, растягивающие или сжимающие контур. Составляющая величина которой равна , приведет к возникновению вращательного момента, который можно вычислить по формуле (46.6):

Из рис. 46.3 видно, что

Следовательно, в самом общем случае вращательный момент, действующий на плоский контур с током в однородном магнитном поле, определяется формулой

Модуль вектора N равен

Для того чтобы угол а между векторами увеличить на нужно совершить против сил, действующих на контур в магнитном поле, работу

Поворачиваясь в первоначальное положение, контур может возвратить затраченную на его поворот работу, совершив ее над каким-нибудь телом. Следовательно, работа (46.9) идет на увеличение потенциальной энергии Нмех, которой обладает контур с током в магнитном поле,

Если положить формула приобретает вид

(ср. с формулой (9.15)).

Параллельная ориентация векторов и В отвечает минимуму энергии (46.10) и, следовательно, положению устойчивого равновесия контура.

Теперь рассмотрим плоский контур с током в неоднородном магнитном поле. Для простоты будем вначале считать контур круговым. Предположим, что поле изменяется быстрее всего в направлении совпадающем с направлением В в том месте, где расположен центр контура, и что магнитный момент контура ориентирован по полю (рис. 46.4, а).

В рассматриваемом случае и выражение (46.2) не обязано быть нулем. Сила действующая на элемент контура, перпендикулярна к В, т. е. к линии магнитной индукции в месте пересечения ее с

Поэтому силы, приложенные к различным элементам контура, образуют симметричный конический веер (рис. 46.4, б). Их результирующая F направлена в сторону возрастания В и, следовательно, втягивает контур в область более сильного поля. Очевидно, что чем сильнее изменяется поле (чем больше ), тем меньше угол раствора веера и тем больше, при прочих равных условиях, результирующая сила F. Если изменить направление тока на обратное (при этом станет противоположным В), направления всех сил и их результирующей F изменятся на обратные (рис. 46.4, в). Следовательно, при такой взаимной ориентации векторов и В контур будет выталкиваться из поля.

С помощью выражения (46.10) для энергии контура в магнитном поле легко найти количественное выражение для силы F. Если ориентация магнитного момента по отношению к полю остается неизменной ), то мех будет зависеть только от (через В). Продифференцировав по и изменив у результата знак, получим проекцию силы на ось х:

По предположению, в других направлениях поле изменяется слабо, поэтому проекциями силы на другие оси можно пренебречь и считать, что . Итак,

Согласно полученной нами формуле сила, действующая на контур с током в неоднородном магнитном поле, зависит от ориентации магнитного момента контура относительно направления поля. Если векторы и В совпадают по направлению сила положительна, т. е. направлена в сторону возрастания В ( предполагается положительным; в противном случае знак и направление силы изменятся на противоположные, но сила по-прежнему будет втягивать контур в область сильного поля). Если и В антипараллельны ), сила отрицательна, т. е. направлена в сторону убывания В. Этот результат мы уже получили качественно с помощью рис. 46.4.

Разумеется, что, кроме силы (46 11), на контур с током в неоднородном магнитном поле будет действовать также вращательный момент (46.7).

Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды. Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направления тока. Следовательно, чтобы охарактеризовать магнитное поле, надо рассмотреть его действие на определенный ток.

При исследовании магнитного поля используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в пространстве определяется направлением нормали к контуру. Направление нормали определяется правилом правого винта: за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения винта, головка которого вращается в направлении тока, текущего в рамке (рис.).

Опыты показывают, что магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие, поворачивая ее определенным образом. Этот результат используется для выбора направления магнитного поля. За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к рамке.

За направление магнитного поля может быть также принято направление, совпадающее с направлением силы, которая действует на северный полюс магнитной стрелки, помещенной в данную точку. Так как оба полюса магнитной стрелки лежат в близких точках поля, то силы, действующее на оба полюса, равны друг другу. Следовательно, на магнитную стрелку действует пара сил, поворачивающая ее так, чтобы ось стрелки, соединяющая южный полюс с северным, совпадала с направлением поля.

Рамкой с током можно воспользоваться также и для количественного описания магнитного поля. Так как рамка с током испытывает ориентирующее действие поля, то на нее в магнитном поле действует пара сил. Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств рамки и определяется формулой M = [p_mB],

гдеp_m— вектор магнитного момента рамки с током (В —вектор магнитной индукции,количественная характеристика магнитного поля). Для плоского контура с током I

где S — площадь поверхности контура (рамки), n — единичный вектор нормали к поверхности рамки. Направление р_m совпадает, таким образом, с направлением положительной нормали.

Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различными магнитными моментами, то на них действуют различные вращающие моменты, однако отношение М_max/р_m (М_max — максимальный вращающий момент) для всех контуров одно и то же и поэтому может служить характеристикой магнитного поля, называемой магнитной индукцией: B = М_max/р_m

Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

Пусть контур с током помещен в магнитное поле, причем он может вращаться вокруг вертикальной оси OO' (рис. 5.30-1). Силы Ампера, действующие на стороны контура длиной l, перпендикулярны к ним и к магнитному полю и поэтому направлены вертикально: они лишь деформируют контур, стремясь растянуть его. Стороны, имеющие длину a, перпендикулярны B, так что на каждую из них действует сила F = BIa. Эти силы стремятся повернуть контур таким образом, чтобы его плоскость стала ортогональной B.

Рис. 5.30. Силы, действующие на контур с током в магнитном поле:
1 — вид сбоку; 2 — вид сверху (масштаб увеличен)

Видео 5.7. Контур с током в однородном магнитном поле.

Момент пары сил (рис. 5.30-2) равен

где — плечо пары сил, а — угол между вектором B и стороной l.

Величина, численно равная произведению силы тока I, протекающего в контуре, на площадь контура S = al называется магнитным моментом P_m плоского контура стоком

Таким образом, мы можем записать момент пары сил в виде

Магнитный момент контура с током — векторная величина. Направление Р_m совпадает с положительным направлением нормали к плоскости контура, которое определяется правилом винта: если рукоятка вращается по направлению тока в контуре, то поступательное движение винта показывает направление вектора P_m . Введем в формулу (15.36) угол a между векторами P_m и B. Справедливо соотношение

то есть момент сил , действующий на виток с током в однородном магнитном поле, равен векторному произведению магнитного момента витка на вектор индукции магнитного поля (рис. 5.31). При величина момента сил максимальна

Рис. 5.31. Силы, действующие на прямоугольный контур с током в магнитном поле.
Магнитное поле вертикально, а магнитный момент перпендикулярен плоскости контура

Опять-таки прозрачна аналогия с электростатикой: говоря об электрическом диполе, мы получили выражение для момента сил, действующих на него со стороны электрического поля в виде

где — электрический дипольный момент.

В системе СИ единицей измерения магнитного момента контура является ампер на квадратный метр (А · м 2 )

Пример. По тонкому проводу в виде кольца радиусом 30 см течет ток 100 A. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное поле с магнитной индукцией 20 мТл (рис. 5.32). Найти силу, растягивающую кольцо.

Рис. 5.32. Силы, растягивающие кольцо с током в магнитном поле

Решение. Пусть магнитное поле направлено от нас за плоскость рис. 5.32 (показано крестиками), а ток идет по часовой стрелке. Выделим элемент длины dl, видный из центра под углом На этот элемент действует сила Ампера направленная по радиусу кольца. Кроме того, из-за растяжения кольца на концы элемента действуют силы натяжения F, которые и требуется найти в задаче. Проекция этих сила на радиальное направление равна

Рассмотрим действие магнитного поля на замкнутый контур с током. Для характеристики плоского контура с током вводят вектор магнитного момента , где S – площадь, ограниченная контуром, а направление нормали связано правилом правого винта с направлением тока в контуре (рис.84).

Рассмотрим плоский контур в однородном магнитном поле. Сила, действующая со стороны магнитного поля на весь контур на основании закона Ампера равна: .

Так как сила тока и магнитная индукция при указанных условиях постоянны, то их можно вынести из-под знака суммы, а сумма элементарных векторов , в виде цепочки которых можно представить контур, равна нулю (рис.85).

Если результирующая сила равна нулю, то центр масс контура будет оставаться неподвижным, т. е. контур не будет двигаться поступательно, но возможно вращательное движение. Найдем вращающий момент сил, действующих на контур.

Рассмотрим простейший случай – линии вектора магнитной индукции лежат в плоскости контура. Разобьем контур на бесконечно узкие полоски шириной , параллельные линиям индукции.

Каждая полоска ограничена элементами тока, на которые со стороны магнитного поля действуют силы

перпендикулярные плоскости чертежа и противоположные по направлению.

, .

Величина момента этой пары сил (равные по величине и противоположные по направлению):

РИС.84 РИС.85 РИС.86

Моменты сил действующих на все пары элементов тока контура направлены в одну строну и величина момента, действующего на весь контур .

Следовательно, в этом случае при , величина вращающего момента равна .

В общем случае и .

Вращающий момент равен нулю при и . В первом случае и положение контура устойчивое.

Во втором случае и положение контура неустойчивое. На рис.86 представлено возникновение вращающего момента для прямоугольного контура с током.

Свободный контур в магнитном поле будет вращаться до устойчивого положения и, при достаточно малых размерах, может быть использован для исследования магнитного поля, а также определения вектора магнитной индукции: .

Магнитная индукция – векторная физическая величина, численно равная максимальному вращающему моменту, действующему со стороны магнитного поля на контур с единичным магнитным моментом в данной точке поля.

В устойчивом положении силы Ампера будут растягивать контур, а в неустойчивом положении эти силы будут вызывать сжатие контура (рис.87). В сильных магнитных полях возможна деформация замкнутых контуров, разрыв витков катушек.

При повороте контура на малый угол совершается работа

, которая определяет изменение энергии контура при этом. Пусть контур жесткий (pm=const).

Введем условие нормировки. При .

— энергия жесткого контура в магнитном поле при условии, что его энергия принята нулевой в положении, когда магнитный момент контура перпендикулярен вектору магнитной индукции.

Энергия контура минимальна, если магнитный момент параллелен вектору магнитной индукции, т. е. в этом случае контур находится в устойчивом положении равновесия. В неустойчивом положении энергия контура будет максимальна.

В общем случае неоднородного поля описать поведение контура достаточно сложно. Поэтому рассмотрим случай, когда поле неоднородно, но величина магнитной индукции существенно изменяется в направлении линий магнитной индукции и практически не изменяется в перпендикулярных к ним направлениях (рис.88а).

В этом случае также возникает момент сил, ориентирующий магнитный момент в направлении вектора магнитной индукции. В отличие от однородного поля результирующая сила, действующая на контур не равна нулю, так каждую силу можно представить в виде двух слагаемых

Сумма сил, лежащих в плоскости контура, определяет деформацию контура, а силы, перпендикулярные плоскости контура определяют втягивание контура в область более сильного поля (рис.88б).

Для элементарного контура (малых размеров) и в случае указанного неоднородного поля сила, действующая на него, может быть определена по следующей формуле

, т. е. для жесткого контура направление силы обусловлено изменением вектора магнитной индукции вдоль направления нормали к контуру.

Читайте также: