Когда амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения кратко

Обновлено: 02.07.2024

В случае вынужденных колебаний система колеблется под действием периодической внешней (вынуждающей) силы. За счет работы этой силы компенсируются потери энергии системы. Частота вынужденных колебаний зависит от частоты изменения внешней силы (для краткости мы будем называть её "вынуждающей частотой"). Практически наиболее интересным является случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом.

Резонанс — это явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте внешнего воздействия, называемой резонансной частотой системы.

Явление резонанса используется для усиления колебаний, например электрических. Однако при конструировании машин и сооружений необходимо учитывать явление резонанса, чтобы предотвратить чаще всего нежелательные, а иногда и разрушительные последствия резонансного увеличения амплитуды вынужденных колебаний.

Для пружинного маятника уравнение вынужденного колебательного движения имеет вид:

и — вынуждающая частота.

Если рассматривать электрический колебательный контур, то компенсировать потери энергии в контуре можно с помощью подводимой извне периодически изменяющейся по гармоническому закону ЭДС или переменного напряжения

Рис. 1.25. Вынужденные колебания в электромагнитном контуре

Уравнение колебаний в контуре (рис. 1.25) можно записать, используя закон Ома для замкнутой цепи

или, с учетом, что

— собственная частота контура,

— коэффициент затухания, a

Таким образом, вынужденные колебания в электрическом контуре описываются тем же самым линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, что и в случае колебаний пружинного маятника. Предположим, что нам известно хотя бы одно решение этого уравнения — некое частное решение . Тогда разность любого другого решения q(t) и этого частного решения будет удовлетворять однородному уравнению (с нулем в правой части), которое мы подробно изучили в предыдущем разделе. Поэтому общее решение уравнения (1.87) может быть записано как

— частота свободных затухающих колебаний.

С течением времени из-за экспоненциального множителя роль второго слагаемого уменьшается (оно важно на начальной стадии установления колебаний). По прошествии достаточно большого времени, а именно, при

им можно пренебречь, сохраняя лишь первое слагаемое. Таким образом, задача исследования установившихся вынужденных колебаний сводится к нахождению хотя бы одного частного решения уравнения (1.87).

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде гармонической функции, частота изменения которой совпадает с частотой вынуждающей силы:

Подставим в виде (1.89) в уравнение (1.87):

Так как функции синуса и косинуса линейно независимы, коэффициенты при них в левой части (1.90) должны быть равны нулю:

Решение этой системы имеет вид:

Решение (1.89) с коэффициентами (1.92) можно записать в стандартном виде:

Рассмотрим отклик системы на изменение частоты внешней силы. Под квадратным корнем в выражении для амплитуды стоит квадратичная функция частоты

Эта функция имеет минимум (а значит, амплитуда имеет максимум).

Для нахождения точки минимума дифференцируем функцию по и приравниваем производную нулю. В итоге получаем следующие выражения для резонансной частоты

и амплитуды установившихся вынужденных колебаний при резонансе

Следует отметить, что при значение резонансной частоты практически совпадает с собственной частотой колебательной системы. Поскольку стоит в знаменателе выражения для , резонансная амплитуда колебаний растет с уменьшением затухания. На графике 1.26 видно, что чем меньше затухание, тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой.

Рис. 1.26. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы

При увеличении частоты внешнего воздействия амплитуда стремится к нулю:

Физически это понятно: система обладает некой инерционностью и не успевает следовать за быстрыми изменениями внешнего воздействия. В другом предельном случае малой внешней частоты

мы имеем дело со статическим случаем — действием постоянной внешней силы F₀ на пружинный маятник, или подсоединением контура к источнику с постоянным напряжением U_m. В этом случае предельное значение амплитуды вынужденных колебаний равно

и не зависит от затухания. Последнее вполне естественно, так как затухание обусловлено действием силы сопротивления, которая пропорциональна скорости и проявляется только при движении системы, а не в статическом пределе. В случае механических колебаний

что равно удлинению пружины под действием постоянной силы F₀.

В случае электромагнитных колебаний в контуре

что равно заряду на конденсаторе при подсоединении его к источнику постоянного напряжения U_m.

Найдем отношение резонансной амплитуды к статической при малом затухании, когда :

Иными словами, добротность Q характеризует также резонансные свойства колебательной системы: чем больше добротность, тем выше и относительно уже резонансный пик (см. рис. 1.26).

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически действующей силы.

В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из состояния равновесия), в случае вынужденных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периодической силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на преодоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему остается неизменной.

Вынужденные колебания в отличие от свободных могут происходить с любой частотой. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой внешней силы, действующей на колебательную систему. Таким образом, частота вынужденных колебаний определяется не свойствами самой системы, а частотой внешнего воздействия.

Примерами вынужденных колебаний являются колебания детских качелей, колебания иглы в швейной машине, поршня в цилиндре автомобильного двигателя, рессор автомобиля, движущегося по неровной дороге и т.д.

Резонанс

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебательной системы.

На рис.1 показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Видно, что эта амплитуда достигает максимума при определенном значении частоты, т.е. при _0" width="52" height="11" />
, где _0-" width="30" height="11" />
собственная частота колебательной системы. Кривые 1 и 2 отличаются величиной силы трения. При малом трении (кривая 1) резонансная кривая имеет резкий максимум, при большей силе трения (кривая 2) такого резкого максимума нет.

Рис.1. Резонансные кривые для различных значений силы трения.

С явлением резонанса мы часто встречаемся в повседневной жизни. Если в комнате задрожали стекла при прохождении по улице тяжелого грузовика, это значит, что собственная частота колебаний стекол равна частоте колебаний машины. Если морские волны попадают в резонанс с периодом корабля, то качка становится особенно сильной.

Явление резонанса необходимо учитывать при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены. Однако резонанс также может быть полезен. Явление резонанса используется при настройке радиоприемника на определенную частоту радиовещания, а также во многих других случаях.

Примеры решения задач

Задание	На конец пружины горизонтального маятника, груз которого имеет массу 1 кг, действует переменная сила, частота колебаний которой равна 16 Гц. Будет ли при этом наблюдаться резонанс, если жесткость пружины 400 Н/м.
Решение	Определим собственную частоту колебательной системы по формуле:

$<\nu > _0=\frac<2\pi >\sqrt>;$

Гц

Так как частота внешней силы не равна собственной частоте системы, явление резонанса наблюдаться не будет.

Задание	Маленький шарик подвешен на нити длиной 1 м к потолку вагона. При какой скорости вагона шарик будет особенной сильно колебаться под действием ударов колес о стыки рельсов? Длина рельса 12,5 м.
Решение	Шарик совершает вынужденные колебания с частотой , равной частоте ударов колес о стыки рельсов:

$\nu =\frac<v> $

Если размеры шарика малы по сравнению с длиной нити, то систему можно считать математическим маятником, собственная частота колебаний которого:

$<\nu > _0=\frac<2\pi >\sqrt>$

$\nu =<\nu > амплитуда вынужденных незатухающих колебаний максимальна в случае резонанса, т.е. когда _0$
. Таким образом можно записать:

$\frac<v> =\frac<2\pi >\sqrt>$

откуда скорость вагона:

$v=\frac<s> <2\pi >\sqrt>\$

$v=\frac<12,5> <2\pi >\sqrt>=6,2\ /$

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными .

В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой , воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте .

Если свободные колебания происходят на частоте , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте внешней силы .

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте и свободные колебания на собственной частоте . Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте внешней вынуждающей силы.

Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону

_m cos .

где _m – амплитуда колебаний, – круговая частота.

Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, преобразующего движение по окружности в поступательно-возвратное движение (рис. 2.5.1).

Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону _m cos . – длина недеформированной пружины, – жесткость пружины

Если левый конец пружины смещен на расстояние , а правый – на расстояние от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины равно:

_m cos .

Второй закон Ньютона для тела массой принимает вид :

_m cos .

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части – это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (). Второе слагаемое – внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой .

Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: Тогда уравнение вынужденных колебаний запишется в виде

(**)

где – собственная круговая частота свободных колебаний, – циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1) величина определяется выражением:

Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты – частоту свободных колебаний и частоту вынуждающей силы.

Амплитуда вынужденных колебаний _m и начальная фаза зависят от соотношения частот и и от амплитуды y_m внешней силы.

На очень низких частотах, когда , движение тела массой , прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом , и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при стремится к нулю.

Если частота внешней силы приближается к собственной частоте , возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом . Зависимость амплитуды _m вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 2.5.2).

При резонансе амплитуда _m колебания груза может во много раз превосходить амплитуду _m колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

У колебательных систем с не очень высокой добротностью () резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

без трения; при резонансе амплитуда _m вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: . На низких частотах () _m ≈ _m . На высоких частотах () _m → 0

Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными , а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями . В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента – колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 2.5.3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 2.5.4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменена пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.

Если колебания совершаются под воздействием внешней силы, они называются вынужденными. Работа внешней силы, которая обеспечивает колебательную систему энергией, при этом является положительной. Благодаря ей колебания не затухают и могут противодействовать силам трения.

Внешняя сила не обязательно должна быть постоянной. С течением времени она может изменяться по разным законам. Особый случай – воздействие на колебательную систему внешней силы, которая изменяется по гармоническому закону с частотой, равной ω , в то время как сама система совершает собственные колебания с той же самой частотой.

Установившиеся вынужденные колебания всегда происходят с частотой внешней силы. Частоту свободных колебаний определяют параметры системы.

Когда внешняя сила начинает воздействовать на колебательную систему, должно пройти некоторое время Δ t , прежде чем вынужденные колебания установятся. Это время будет равно тому времени τ , за которое затухают свободные колебания в данной системе.

В момент начала воздействия в системе начинают происходить два процесса одновременно – свободные колебания с собственной частотой ω 0 и вынужденные с частотой ω . Однако из-за сил трения свободные колебания в определенный момент затухают, поэтому по прошествии времени в системе сохраняются лишь стационарные колебания с той частотой, которая соответствует внешней (вынуждающей) силе.

Разберем пример. У нас есть тело на пружине, совершающее вынужденные колебания (см. иллюстрацию ниже). Приложим внешнюю силу, обозначенную F → в н , к свободному концу пружины, после чего этот конец начнет перемещаться по закону, выражаемому формулой:

Здесь буквой ω обозначена круговая частота, а y m – амплитуда колебаний.

Перемещения такого рода обеспечиваются шатунным механизмом, который преобразует круговые движения в возвратно-поступательные.

Рисунок 2 . 5 . 1 . Груз на пружине, совершающий вынужденные колебания. Перемещение свободного конца выражено формулой y = y m cos ω t , где l означает длину недеформированной пружины, а k –ее жесткость.

При смещении левого конца пружины на некоторое расстояние y и правого – на x по сравнению с первоначальным положением недеформированной пружины будет происходить ее удлинение. Найти величину этого удлинения можно по следующей формуле:

∆ l = x - y = x - y m cos ω t .

В таком случае мы можем переформулировать второй закон Ньютона для этого случая следующим образом:

m a = - k ( x - y ) = - k x + k y m cos ω t .

Здесь сила, которая действует на тело, показана как сумма двух слагаемых, первым из которых является упругость, стремящаяся к равновесию тела, а вторым – внешнее воздействие, совершающееся с определенными интервалами. Внешнюю силу также называют вынуждающей.

Теперь выразим эту зависимость в строгой математической формуле, учитывающей связь между координатой тела a = x ¨ и его ускорением. У нас получится следующее:

x ¨ + ω 0 2 x = A cos ω t .

Эта зависимость называется уравнением внешних колебаний. Здесь ω 0 = k m является собственной круговой частотой свободного колебания, а ω – циклической частотой внешней (вынуждающей) силы.

Чтобы найти величину A для вынужденного колебания груза на пружине, нужно воспользоваться следующей формулой:

A = k m y m - ω 0 2 y m .

То уравнение, что мы записали перед этим, не учитывает, что на тело действуют также и силы трения. В уравнении вынужденных колебаний, в отличие от уравнения свободных, учитываются сразу обе частоты – частота вынуждающей силы и частота свободных колебаний.

Вынужденные колебания груза на пружине, которые устанавливаются со временем, имеют частоту внешнего воздействия. Это определяется следующим законом:

x ( t ) = x m cos ( ω t + θ ) .

Здесь x m обозначает амплитуду вынужденного колебания, а буква θ – его начальную фазу. Значения обоих этих показателей будут зависеть от амплитуды внешней силы и соотношения частот.

Если частоты очень низкие, т.е. ω ≪ ω 0 , то тело, прикрепленное к правому концу пружины, движется точно так же, как и левый конец этой пружины. Тогда получается, что x ( t ) = y ( t ) . Сама пружина при этом практически не деформируется, а модуль внешней силы F → в н , приложенной к ее левому концу, стремится к нулю. Работа при этом не совершается.

Понятие резонанса

Резонанс – это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при сближении частоты внешней силы с собственной частотой колебания тела.

С помощью резонансной кривой (резонансной характеристики) можно описать зависимость, существующую между амплитудой внешних колебаний x m и частотой вынуждающей силы ω .

Когда происходит резонанс, амплитуда x m может оказаться значительно больше, чем амплитуда колебаний левого (свободного) конца пружины.. Если мы не будем учитывать силы трения, то получится, что при резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний будет возрастать неограниченно. В реальности она будет зависеть от следующего условия: работа внешней силы в течение всего времени колебаний должна совпадать с потерями механической энергии, происходящими из-за трения. При уменьшении трения (и, соответственно, повышении добротности Q колебательной системы) амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастет.

Рисунок 2 . 5 . 2 . Моделирование вынужденных колебаний.

Если добротность колебательной системы невысока (менее 10 ), то частота резонанса будет находиться ближе к низким частотам. Это показано на иллюстрации 2 . 5 . 2 .

Явление резонанса имеет большое практическое значение. Именно из-за него зачастую разрушаются здания, мосты и другие сооружения. Это происходит в тот момент, когда их собственные частоты совпадают с частотой внешней силы, например, колебаниями мотора.

Рисунок 2 . 5 . 3 . Изображение затухания различных колебаний при помощи резонансных кривых: 1 - условная система без учета трения (бесконечное возрастание амплитуды вынужденных колебаний), 2 , 3 , 4 – резонансные колебания в реальных условиях, происходящих в системах разной степени добротности ( Q 2 > Q 3 > Q 4 ) . Если частоты низкие, то ( ω ≪ ω 0 ) x m ≈ y m , а если высокие, то ( ω ≫ ω 0 ) x m → 0 .

Вынужденные колебания являются незатухающими. При трении неизбежно теряется часть энергии, однако воздействие внешних периодически действующих сил компенсирует ее.

Что такое автоколебательные системы

Автоколебательные системы – это системы, в которых могут возникать незатухающие колебания безотносительно внешнего воздействия, а лишь за счет способности самостоятельно регулировать подвод энергии от внешнего источника. Процесс колебаний в таких системах называют автоколебаниями.

Внутри этой системы можно выделить три составляющих – саму систему, источник внешней постоянной энергии и обратную связь между ними. Первым элементом выступает любая механическая система, которая может совершать затухающие колебания, например, часовой маятник. В качестве источника можно использовать потенциальную энергию груза в поле тяжести или энергию деформации пружины. Система обратной связи – это, как правило, особый механизм, функцией которого является регулирование поступлений энергии. На иллюстрации показано, как эти компоненты взаимодействуют между собой.

Рисунок 2 . 5 . 4 . Автоколебательная система со всеми основными составляющими.

Какие можно привести примеры таких систем? Ярким примером является часовой механизм с так называемым анкерным ходом. В нем есть ходовое колесо с косыми зубчиками, прочно сцепленное с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с грузом. В верхней части маятника закреплен якорек (анкер), состоящий из двух твердых пластинок, дугообразно изогнутых по окружности с центром на основной оси. В механизме ручных часов вместо гири используется пружина, а вместо маятника – маховичок-балансир, соединенный со спиральной пружиной, который совершает круговые колебания вокруг своей оси. В качестве источника внешней энергии выступает заведенная пружина или поднятая гиря. Обратная связь осуществляется с помощью анкера: он позволяет ходовому колесу совершать поворот только на один зубец за полупериод. Когда анкер взаимодействует с ходовым колесом, происходит передача энергии. Когда маятник колеблется, зубец ходового колеса передает анкерной вилке энергию по направлению движения маятника, и именно этим компенсируются силы трения. Таким образом, энергия поднятой гири или заведенной пружины поступает маленькими порциями к маятнику.

Существует также много других автоколебательных систем, которые широко применяются в технике. Автоколебания происходят внутри двигателей внутреннего сгорания, паровых машин, электрических звонков, музыкальных инструментов, голосовых связок и т.д.

Читайте также: