История цепных дробей кратко

Обновлено: 04.07.2024

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Кадетская школа-интернат г. Шадринска

Составил: Тарасов Дмитрий,

1. История появления и развития цепных дробей ……………………4

2. Свойства цепных дробей …………………………………………….5

3. Использование цепных дробей в других науках……………………5

4. Геометрическое изображение цепных дробей………………………7

Паспорт проекта

Руководитель проекта: Ванькова А. Л. учитель математики

Название учебного учреждения- Кадетская школа –интернат г. Шадринска

Год разработки: 2020-2021уч. года

Учебный предмет, в рамках которого проводиться работа по проекту: математика

Учебные дисциплины, близкие к теме проекта: математика, геометрия, информатика.

Возраст учащихся, на который рассчитан проект: 12 -13 лет

Авторы проекта: Тарасов Дмитрий.

Тип проекта по доминирующей деятельности: исследовательский

Характер координации - скрытый

Сроки- среднесрочный(октябрь 2020 – май 2021)

Проблема проекта – Исследовать значение цепных дробей

· принять участие в поиске информации возникновения и истории цепных дробей;

· изучить способы решения заданий с цепными дробями;

· исследовать где в жизни можно применить цепные дроби

Объект исследования – дроби.

Предмет исследования – значение цепных дробей.

Цель –изучение истории цепных дробей и применение их при решении заданий.

- изучить историю возникновения цепных дробей;

- исследовать свойства цепных дробей и возможные действия, производимые с ними;

- изучить способы решения заданий с данными дробями;

- найти алгоритмическую структуру, работающую по принципу цепной дроби;

- выяснить возможность геометрического изображения цепных дробей;

- выяснить возможность применения цепных дробей в других науках.

В процессе работы я пытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бом-белли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение. Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Актуальность данной темы состоит в том, что она интересна своим применением разнообразных задач. Цепные дроби – это вид действительных чисел. Действительные числа однозначно отображается цепными дробями. Основное значение заключается в том, что зная цепную дробь, изображавшую действительное число, можно определить это число с достаточной точностью. Недостатком цепных дробей является то, что для них никаких практически приемлемых правил арифметических действий не существует. Поэтому широкого применения они не получили.

1. История появления и развития цепных дробей

Следующий шаг в развитии теории цепных дробей был сделан Христианом Гюйгенсом (1629-1695). Он строил модель солнечной системы с помощью набора зубчатых колес. По расчетам оказалось, что отношение числа зубцов двух каких-либо колёс должно быть равным отношению времён обращения двух планет вокруг Солнца. Это отношение выражается достаточно точно в виде дроби с большим числителем и большим знаменателем. Изготовление же таких зубчатых колёс, практически очень сложно. Гюйгенс решил эту задачу посредством разложения обыкновенной дроби в цепную дробь.

2.Свойства цепных дробей

1 0 . Всякое рациональное число (где рq) можно представить в виде конечной цепной дроби

Числа, входящие в цепную дробь, называются неполными частными, из них a₁, …, a_n — натуральные, a₀ — целое. Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби.

Пример.

2 0 . Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями.

Подходящая дробь – это дробь, которая получается при обрыве бесконечной цепной дроби.

Для числаπ = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …] с древних времён известны приближения и .

3.Использование цепных дробей в других науках

Цепные дроби – абстрактный объект теории чисел, они широко используются в различных разделах математики и физики, особенно в механике. Но меня удивило то, что они очень востребованы другими науками.

Со времён Баха в музыке используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Почему же возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Чтобы октава и натуральная квинта по возможности более точно укладывались в одну и ту же равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху интервалы), октаву нужно поделить на столько частей, чтобы число log₂(3/2) хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем.

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском— за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью ( ), Ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер(1864), однако большого интереса он не вызвал.

С помощью теории цепных дробей вычисляется приближенное значение золотого сечения. Это число отражает пропорции объектов, воспринимаемых человеком как гармоничные. Правилом золотого сечения пользуются архитекторы, художники, дизайнеры. Золотое сечение часто встречается в природе и повседневной жизни, даже пропорции тела человека близки к этому числу.

4.Геометрическое изображение цепных дробей

Итак, мы собрали множество доказательств о востребованности цепных дробей в разных науках. У большинства математических объектов есть геометрическая интерпретация. Попробуем найти её и для цепных дробей.

Мы установили связь цепных дробей и понятия рекурсии. Функция называется рекурсивной, если она содержит одно или несколько обращений к самой себе. Рекурсии можно использовать для получения различных привлекательных картинок. Фигуры с рекурсивным подобием называются фракталами. Увеличенные детали фрактала подобны полному изображению.

Гипотеза : Фрактал является графическим отображением цепной дроби.

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья (фрактальная концепция позволила ученым измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее неизмеримые, объекты).

Из всех геометрических объектов только фракталы обладают свойствами, сходными со свойствами цепных дробей. К сожалению, явного подтверждения своей гипотезе в литературе я пока не нашла.

Я убедился, что математика действительно красивейшая из наук. Моя работа вдохновила меня на создание фрактала. Вот, что у меня получилось.

ЦЕПНЫЕ ДРОБИ В ОКРУЖАЮЩЕМ МИРЕ

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

В настоящей работе были поставлены следующие цели:

Изучение способа записи цепных дробей.

Применение цепных дробей для приближенного вычисления значений корней и специальных функций.

Исследование геометрических свойств цепных дробей.

Для достижения поставленных целей мне необходимо решить следующие задачи:

Познакомиться с понятием цепных дробей и их классификации.

Освоить математические методы компактной записи цепных конечных и непрерывных дробей.

Получить формулы цепных дробей для практических расчетов.

Освоить геометрическую форму представления цепных дробей.

Найти геометрическое подобие цепных дробей в объектах окружающего мира.

Актуальность данной темы состоит в том, что она интересна своим применением в разнообразных задачах, в том числе и задачах олимпиадного характера, которые встречаются на экзаменах. Действительные числа однозначно отображаются цепными дробями. Основное значение такого изображения заключается в том, что, зная цепную дробь, изображающую действительное число, можно определить это число с достаточной точностью. Новизна моей работы состоит в попытке предложить свои алгебраические выражения для цепных дробей и связать их геометрическими построениями. Сформулируем рабочую гипотезу в виде предположения о том, что алгебраические выражения и геометрические объекты, соответствующие цепным дробям, повсеместно встречаются в окружающем мире. Я думаю, что это было бы очень полезно установить на практических примерах.

Моя работа состоит из Введения, трех глав, Практической части, Выводов, Заключения и Списка литературы.

Понятие о цепных дробях и их классификация.

Теория цепных дробей – это одна из древнейших математических теорий. Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонард Эйлер первый изложил теорию цепных дробей. Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие принципиальные результаты данной теории принадлежат французскому математику Лагранжу. К мысли о цепной дроби математики пришли при рассмотрении практического вопроса: какой самый естественный способ приближённого представления положительных чисел дробями? [1]

Чтобы показать, что такое цепная дробь, начнём с простого примера. Возьмём дробь . Наибольшее целое число, не превосходящее эту дробь — это 1:

Наибольшее целое число не превосходящее – это 2. Получаем:

Перейдем к произвольному рациональному числу . Проведя процедуру описанную выше необходимое число раз, получим конечную цепную дробь

Числа, входящие в цепную дробь, называются неполными частными, из них – натуральные, а – целое. Цепную дробь удобно записывать в компактной форме .

Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби. Число является одним из самых известных иррациональных чисел. Оно представляется в виде бесконечной цепной дроби и может быть представлено только лишь с указанием начальных неполных частных

Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями (нумерация подходящих дробей, как и неполных частных, начинается с нуля). C древних времен для числа известны приближения

Первая подходящая дробь отличается от точного значения во второй цифре после запятой, а в третьей подходящей дроби ошибка появляется в седьмой цифре после запятой (неверные цифры закрашены серым).

Существуют иррациональные числа, у которых бесконечные цепные дроби содержат периодически повторяющиеся неполные частные. Такие цепные дроби называются периодическими цепными дробями. Например,

Здесь период отмечается чертой. Периодические цепные дроби соответствуют числам с квадратичной иррациональностью, т.е. числам являющихся корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Поэтому периодические цепные дроби представляются особый интерес для изучения в школе.

Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью выполняется с использованием теоремы. Для любых двух соседних подходящих дробей и к действительному числу имеет место неравенство , и если , то .

Цепные дроби дают очень удобный аппарат для решения задач такого рода. С помощью цепных дробей удается заменять действительные числа рациональными дробями так, что ошибка от такой замены мала по сравнению со знаменателями этих рациональных чисел [2].

Геометрия цепных дробей.

В основе геометрии чисел по Минковскому лежит школьная тетрадка в клеточку—плоскость, на которой нарисована координатная сетка [3]. Рассмотрим прямую y=ax; возьмём для примера a=10/7. Если a—рациональное число, то на этой прямой, кроме начала координат, будут ещё целые точки. В нашем случае прямая пройдёт через точку (7, 10).

Далее, если взять три отрезка b4 (т.е. a2=3) и добавить в конец b3, попадаем как раз на прямую. Итак получили, a0=1, a1=2, a2=3,

Можно доказать, что этот алгоритм всегда даёт целые числа a0, a1, a2, … , которые и будут получаться при разложении a в цепную дробь. Точки, которые мы получаем, дают нам сразу же и элементы цепной дроби.

Цепные дроби вокруг нас.

В этой главе мы рассмотрим ряд примеров раскрывающие использование цепных дробей в различных областях окружающего мира [4].

Если, разорвав прямоугольный лит бумаги пополам, мы хотим получить два новых листа с тем же отношение сторон, то стороны исходного листа должны относится друг к другу как . Действительно, если мы разорвем пополам прямоугольник со сторонами и 1, то каждая половинка будет иметь длинную сторону 1, а короткую . Отношение этих сторон опять равно. Именно таким свойством обладают форматы бумаги серии A (А0, А1, …). Я в этом убедилась разорвав лист формата А4 (см. рис 2).

Размер стандартного хорошо нам известного листа бумаги А4 - 210×297 мм. Отношение сторон этого листа

а это пятая подходящая дробь к числу . Погрешность такого приближения невелика

Любопытно, что произведение сторон листа в метрах мало отличается от 1/2 4 =1/16:

Это связано с тем, что лист А4 составляет 1/16 от листа ватмана А0, площадь которого равна 1м 2 . Я нашла цепные дроби всех форматов и обнаружила, что А4 имеет самое лучшее приближение. К примеру, А0 (841×1189 мм) – это только четвертая подходящая дробь числа .

Голландский ученый Христиан Гюйгенс в 1862 году построил один из первых механических планетариев. Теорию цепных дробей он применил при проектировании зубчатых колес, что обеспечило высокую точность во взаимном движении моделей планет. Старинные часы известных мастеров также содержали шестеренки, отношение зубцов рассчитывалось по законам цепных дробей [5].

- это хорошие приближения к числу

Как известно 1 год=365 суток 5 часов 48 минут 46 секунд, что можно выразить десятичной дробью 365.242199…суток. Подходящие дроби к длине солнечного года, измеренного в солнечных сутках

Такое представление позволяют строить солнечные календари. Первая подходящая дробь соответствует юлианскому стилю (назван по имени Юлия Цезаря), в котором каждый четвертый год високосный. Вычислим разницу -365.242199 = 0.007801 сут = 0.187224 час = 11.23344 мин = 11мин 14сек, то есть средняя длина года больше настоящей на 11 мин 14 сек.

Третья подходящая дробь лежала в основе персидского (иранского) календаря, который в 1079 году предложил математик, астроном и поэт Омар Хайям. В таком календаре все годы разбиваются на 33-летние циклы, внутри цикла семь раз високосным является каждый четвертый год, а на восьмой раз – пятый. Схематически его можно изобразить так IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII (палочками обозначены года, а високосные перечеркнуты). Разность продолжительности такого календарного года с астрономическим - 365.242199 = 0.000225242 сут = 0.005406 час = 0.324348 мин = 19.5 сек, то есть ошибка всего 19 сек в год, но использование такого календаря оказалось неудобным [6].

Четвертое приближение дает еще один календарь, предложенный русским астрономом Иоганном Генрихом Медлером в 1864 году. Медлер предложил ввести этот календарь в России с XX столетия. Для этого необходимо было каждые 128 лет пропускать 1 високосный, так как по юлианскому календарю приходилось 32 високосных на 128 лет. Но этот календарь не был принят, так как видимо 128 число не круглое. Вычислим ошибку. -365.242199 = -0.0000115 сут = -0.000276 час = -0,01656 мин = -0.99сек ≈ -1 сек! Предложение Медлера так и не было принято.

В 1582 году папа Григорий XIII исправил неточность юлианского календаря и произвел реформу. Так же оставалось чередование простых и високосных лет, но, если номер оканчивался двумя нулями, а число сотен не делилось на 4, то этот год был простой. Например 1500 год простой, а 1600 високосный. Ну и начиная с рождества Христова накопилась ошибка в 10 дней, с тех пор накопилась еще ошибка в 3 дня(1700, 1800,1900 годы). Итак расхождение сейчас с юлианским календарем составляет в 13 дней. Выясним длину григорианского года. Из 400 лет по юлианскому календарю 100 високосных, а по григорианскому – 97, поэтому средняя длина григорианского года суток=365.2425 суток=365суток 5 часов 49 мин 12 сек, т. е. она больше истиной на 26 сек. Получилось намного хуже календаря Медлера, что не удивительно, ведь не является подходящей дробью.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. В ботанике такое явление называется филлотаксис. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, т.е. числа из последовательности

Уже понятно, что это подходящие дроби к какому-то особому числу. Это число называется золотым сечением

Если обратиться за информацией о золотом сечении, то мы обнаружим тысячи источников и исследований. Это поистине удивительное число, которое встречается с древних времен по настоящее время во всех областях деятельности человека (науке, искусстве, технике) и конечно в природе. Чтобы объяснить что же это за число, мне показался самым наглядным и понятным принцип деления отрезка, называемым золотым сечением, при котором две части получаются такими, что большая часть отрезка относится к меньшей части так же, как длина всего отрезка к большей его части (см. рис 2).

Рис 2. Принцип золотого сечения B:A = C:B, учитывая, что C = A + B.

Принимая отношение B:A=Φ, можно составить квадратное уравнение 1+ Φ=Φ 2 , которое имеет один положительный корень . С золотым сечением связаны некоторые особенности. Такое отношение подсознательно воспринимается человеком как наиболее гармоничное, поэтому золотое сечение с давних пор активно применяется в фотографии, живописи и архитектуре. Кроме того, золотое сечение встречается и в природе, в частности, тело человека подчинено этому правилу (см. рис. 3).

Рис. 3. Картина Леонардо да Винчи, изображающая пропорции человека.

В древнегреческой архитектуре Золотое сечение использовалось для вычисления идеальной пропорции между высотой и шириной здания, размеров портика, и даже расстояния между колоннами (см. рис. 4). В дальнейшем, этот принцип был унаследован архитектурой неоклассицизма.

Рис. 4. Древнегреческий храм – Парфенон.

Рис. 5. Связь ракушки и галактики.

Из теоретической части работы мы ясно уяснили два важных свойства цепных дроби: они очень полезны для приближенных вычислений особенных чисел и они удобны для геометрических построений. Мне было просто необходимо убедиться в самой на практике.

Приближенное вычисление квадратных корней.

Мы уже рассмотрели много подходящих дробей для корней целых чисел. Мне стало интересно можно построить такую цепную дробь, которая могла бы использоваться для любого подкоренного числа, т.е. для функции. Для дальнейшего удобства введем выражение для непрерывной дроби для приближенного нахождения значения функции

Для вычисления квадратного корня может быть использована следующая формула

Например, используя равенство , получим конечное выражение для бесконечной непрерывной дроби .

При практическом использовании этой формулы вычисления обрывают на некотором шаге, т.е. . Чем больше шагов выполнено, тем выше точность определения корня. Результаты исследования точности приведены в таблице

Исследовательская работа по математике "Цепные дроби: скрытая красота" посвящена истории цепных дробей, их графическому представлению - фраклалам, применению цепных дробей в жизни.

В ходе работы над проектом была установлена связь между цепными дробями и рекурсией в программировании, написаны программы на языке Pascal для перевода цепных дробей в десятичные и обратно.

Работа заняла I место на школьной научно-практической конференции, II на районной конференции школьников по математике, III место на Всероссийском Вахтеровском фестивале-конкурсе "Красота и величие математики".

Вложение	Размер
proekt_tsepnye_drobi_bubnova.pptx	2.58 МБ
bubnova_viktoriya_9_kl._mbou_sosh_no15.doc	584.5 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Ничто не нравится, кроме красоты, в красоте – ничто, кроме форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях – ничто, кроме числа. Аврелий Августин, христианский теолог и философ

Актуальность проекта Вычислите значение выражения: .

Историческая справка Рафаэль Бомбелли итальянский математик (1526-1572) Христиан Гюйгенс нидерландский механик, физик, математик, астроном и изобретатель (1629-1695) Леонард Эйлер швейцарский, немецкий и российский математик и механик (1707-1783).

Определение Цепная дробь (или непрерывная дробь ) — это математическое выражение вида

1 0 . Всякое рациональное число (где р > q ) можно представить в виде конечной цепной дроби Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби. Свойства

Свойства 2 0 . Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями. Подходящая дробь – это дробь, которая получается при обрыве бесконечной цепной дроби. Для числа π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …] Первые подходящие дроби – это самые известные приближения:

Реализация алгоритма перевода цепной дроби в действительное число Программа запрашивает у пользователя знаменатель b и количество вложений n цепной дроби вида преобразовывает ее в число и выдает результат в виде десятичной дроби.

Реализация алгоритма перевода цепной дроби в действительное число Program TO_NUMBER; var n, k: integer; b:real; begin write (' введите знаменатель дроби'); read (b); write (' введите кол-во вложений '); read (n); for k:=1 to n do b:=1+1/b; write (' искомое число = ', b ); end. Результаты работы программы Цепная дробь преобразована в десятичную. Ошибок не наблюдается. + Программа работает корректно. – Результат представлен в виде десятичной дроби. В случае ее бесконечности компьютер округляет результат.

Реализация алгоритма разложения действительного числа в цепную дробь Программа просит пользователя ввести число в виде десятичной дроби. Преобразовав его, выдает результат вида Program TO_FRACTION; var a: array[1..100] of integer; k, n: integer; x:real; begin write (' введите число '); read (x); k:=1; a[1]:= trunc (x); k:=2; while frac (x)<>0 do begin x:=1/ frac (x) ; a[k]:= trunc (x); k:=k+1; end; n:=k; write (' искомое число x = ['); for k:=1 to n do write (a[k],','); write (']'); end .

Результаты работы программы 1.8 = [1,1,4,0,] 1.6 = [1,1,1,1,1,0,0,] 1.65 = [1,1,1,1,5,1,75350303,2,3,1,1,0,0,] 7.3 ошибка 101 – выход за пределы размерности массива 2.5 = [2,2,0,] 4.75 = [4,1,3,0,0,] Описание ошибок В большинстве случаев из-за округления бесконечных периодических десятичных дробей происходит накопление погрешности. В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции trun с(). В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции frac (). Реализация алгоритма разложения действительного числа в цепную дробь

Цепные дроби и музыка Иоганн Себастьян Бах клавир

Цепные дроби и астрономия

Цепные дроби и архитектура Золотое сечение – гармоничная пропорция

Цепные дроби в природе

Геометрическое представление цепной дроби

Фракталы в природе

Фракталы в компьютерной графике

Мой первый фрактал

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Городецкого района Нижегородской области

Бубнова Виктория Валерьевна

учитель математики и информатики

Ярцева Ксения Юрьевна

606524, Нижегородская область, Городецкий район,

г. Заволжье, ул. Пушкина, д.4, МБОУ СОШ №15

2014-2015 учебный год

Введение в проблему

Каждый год в нашей школе проводятся олимпиады и конкурсы по различным предметам, в том числе по математике. В одной и этих олимпиад мне встретилось задание вида:

Вычислите значение выражения .

В курсе школьной программы мы не проходили данные дроби , и я решила исследовать этот материал самостоятельно.

Цель моей работы – изучение истории цепных дробей и применение их при решении заданий.

Изучить историю возникновения цепных дробей ;
Исследовать свойства цепных дробей и возможные действия, производимые с ними ;
Изучить способы решения заданий с данными дробями;
Найти алгоритмическую структуру, работающую по принципу цепной дроби;
Выяснить возможность геометрического изображения цепных дробей;
Выяснить возможность применения цепных дробей в других науках .

1 0 . Всякое рациональное число (где р>q) можно представить в виде конечной цепной дроби

Числа, входящие в цепную дробь, называются неполными частными , из них a 1 , …, a n — натуральные, a 0 — целое. Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби.

Подходящая дробь – это дробь, которая получается при обрыве бесконечной цепной дроби.

Для числа π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …] с древних времён известны приближения и .

Мною было принято решение написать программы на языке программирования Pascal для перевода цепной дроби в действительное число и обратно.

Программа вычисления значения цепной дроби

Программа просит пользователя ввести числитель дроби и количество вложений цепной дроби. Преобразовывает ее в число и выдает результат в виде десятичной дроби.

var n, k: integer;

write (' введите знаменатель дроби'); read (b);

write (' введите кол-во вложений '); read (n);

for k:=1 to n do b:=1+1/b;

write (' искомое число = ', b); end.

Результаты работы программы

Цепная дробь преобразована в десятичную. Ошибок не наблюдается.

+ Программа работает корректно.

- Результат представлен в виде десятичной дроби. В случае ее бесконечности компьютер округляет результат.

Программа, выполняющая разложение числа в цепную дробь

Программа просит пользователя ввести число в виде десятичной дроби. Преобразовав его, выдает результат вида [1, 7, 16]

var a: array[1..100] of integer;

write (' введите число '); read (x);

while frac(x)<>0 do

write (' искомое число x = [');

for k:=1 to n do write (a[k],',');

Результаты работы программы

7.3 ошибка 101 – выход за пределы размерности массива

В большинстве случаев из-за округления бесконечных периодических десятичных дробей происходит накопление погрешности. При ручном счете эти дроби записываются в виде обыкновенных и ошибки не происходит.
В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции trunk() . Данная функция отсекает дробную часть действительного числа.
В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции frac() . Данная функция вычисляет дробную часть действительного числа. Для целых чисел результат её работы должен быть равен 0, но происходит ошибка.

Цепные дроби и программирование

Принцип цепной дроби созвучен понятию рекурсии в программировании.

Рекурсивным называется способ построения объекта (понятия, системы, описание действия), в котором определение объекта включает аналогичные объекты (понятие, систему, действие) в виде составных частей.

Примеры рекурсии можно встретить в литературе, искусстве, фольклоре.

«У попа была собака, он ее любил.

Она съела кусок мяса, он ее убил.

Камнем придавил, и на камне написал:

«Я оглянулся посмотреть, не оглянулась ли она,

Обычно, в программировании под рекурсией понимают такую реализацию, в которой подпрограмма использует в своем теле вызов самой себя.

Написанные мной программы использовали циклический алгоритм.

Исправим программу, используя рекурсивный вызов функции num(a,m) , которая вычисляет значение одного вложения цепной дроби. Благодаря рекурсивности мы поднимаемся до первого вложения цепной дроби и получаем ответ.

var n, k: integer;

function num (a:real; m:integer):real;

if m=1 then num:=1+1/a

write ('введите знаменатель цепной дроби '); read (b);

write (' введите кол-во вложений цепной дроби ');

write (' искомое число = ', b); end.

Со времён Баха в музыке используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Почему же возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Чтобы октава и натуральная квинта по возможности более точно укладывались в одну и ту же равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху интервалы), октаву нужно поделить на столько частей, чтобы число log 2 (3/2) хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем.

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю , в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью ( ), ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер ( 1864 ), однако большого интереса он не вызвал.

С помощью теории цепных дробей вычисляется приближенное значение золотого сечения . Это число отражает пропорции объектов, воспринимаемых человеком как гармоничные. Правилом золотого сечения пользуются архитекторы, художники, дизайнеры. Золотое сечение часто встречается в природе и повседневной жизни, даже пропорции тела человека близки к этому числу.

Мы установили связь цепных дробей и понятия рекурсии. Функция называется рекурсивной , если она содержит одно или несколько обращений к самой себе. Рекурсии можно использовать для получения различных привлекательных картинок. Фигуры с рекурсивным подобием называются фракталами . Увеличенные детали фрактала подобны полному изображению.

Гипотеза : Фрактал является графическим отображением цепной дроби.

В процессе работы над проектом я изучила много литературы о цепных дробях, научилась использовать их при вычислениях. Также укрепила и расширила свои знания в программировании на языке Pascal.

Возникнув из проблемы решения вычислительного задания, проект перерос в интересное исследование. Я убедилась, что математика действительно красивейшая из наук. Моя работа вдохновила меня на создание фрактала. Вот, что у меня получилось.

Было бы интересно попробовать построить фрактал с помощью компьютерных программ. Так остался открытым вопрос о связи фракталов и цепных дробей. Если она все-таки есть, хотелось бы научиться по цепной дроби строить фрактал и описывать цепной дробью уже готовое изображение.

где a₀ есть целое число и все остальные a_n натуральные числа (т.е. положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

Содержание

Разложение в цепную дробь

$<\displaystyle x> Любое ненулевое вещественное число$
может быть представлено цепной дробью ;a_,a_,a_,\cdots ]>" width="" height="" />
, где

=\lfloor x\rfloor ,x_=x-a_,>" width="" height="" />
=\left\lfloor >\right\rfloor ,x_=>-a_,>" width="" height="" />
" width="" height="" />
=\left\lfloor >>\right\rfloor ,x_=>>-a_,>" width="" height="" />
" width="" height="" />

$<\displaystyle \lfloor x\rfloor > где$
обозначает целую часть числа " width="" height="" />
.

Для рационального числа " width="" height="" />
это разложение оборвётся по достижению нулевого >" width="" height="" />
для некоторого n. В этом случае " width="" height="" />
представляется конечной цепной дробью ;a_,\cdots ,a_]>" width="" height="" />
.

Для иррационального " width="" height="" />
все величины >" width="" height="" />
будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае " width="" height="" />
представляется бесконечной цепной дробью ;a_,a_,a_,\cdots ]>" width="" height="" />
.

Подходящие дроби

n-ой подходящей дробью для цепной дроби ;a_,a_,a_,\cdots ]>" width="" height="" />
, называется конечная цепная дробь ;a_,\cdots ,a_]>" width="" height="" />
, значение которой равно некоторому рациональному числу >>>" width="" height="" />
. Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен " width="" height="" />
. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен " width="" height="" />
.

$<\displaystyle q_<-1> Эйлер вывел =0,\quad q_=1,\quad q_=a_q_+q_.>$

$<\displaystyle p_<n> Таким образом, величины >$
и >" width="" height="" />
представляются значениями континуант:

$<\displaystyle p_ =K_(a_,a_,\cdots ,a_)>$
=K_(a_,a_,\cdots ,a_)>" width="" height="" />

$<\displaystyle \left\<p_<n> Последовательности \right\>>$
и \right\>>" width="" height="" />
являются возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением

$<\displaystyle p_ q_-q_p_=(-1)^,>$

которое можно переписать в виде

$<\displaystyle <\frac <p_ >>>->>>=>q_>>.>$

Откуда следует, что

Приближение вещественных чисел рациональными

$<\displaystyle x> Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число$
разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

Отсюда, в частности, следует, что Свойства и примеры

Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:

Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Для некоторых чисел можно найти более сложную закономерность. Например, для основания натурального логарифма:

Приложения цепных дробей

$<\displaystyle \zeta (3)> <ul> <li>Приближение вещественных чисел рациональными</li> <li>Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана$

Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля)

Алгоритмы факторизации CFRAC .

Характеристика ортогональных многочленов

Характеристика стабильных многочленов

Ссылки

ca:Fracció contínua pl:Ułamek łańcuchowy pms:Frassion continuà sv:Kedjebråk

Читайте также: