Иррациональные уравнения теория кратко

Обновлено: 05.07.2024

Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным .

Это равенство, по определению квадратного корня, означает, что 2 x + 1 2 = 3 2 . По факту мы преобразовали заданное иррациональное уравнение к рациональному уравнению $2x + 1 = 9$ путём возведения в квадрат обеих частей иррационального уравнения.

Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения является основным методом решения иррациональных уравнений.

Решаем линейное уравнение $2x + 1 = 9$, $x = 4$. Найденное значение $x = 4$ является корнем и линейного уравнения $2х + 1 = 9$, и заданного иррационального уравнения.

Число $6$ является решением уравнения $4x - 3x = -19 +25$, но если подставим его вместо $x$ в уравнение 4 x − 25 = 3 x − 19 , то получим − 1 = − 1 .

Имеем и в правой, и в левой частях равенства выражения, которые не имеют смысла. Получается, что числовое равенство не выполняется.

В таких случаях считают: $x = 1$ — посторонний корень для заданного иррационального уравнения. Получается, что заданное иррациональное уравнение решений не имеет.

Обязательным этапом при решении иррациональных уравнений является проверка. Именно проверка помогает распознать существующие посторонние корни и исключить их.

Иррациональное уравнение решаем с помощью метода возведения обеих его частей в квадрат; полученное рациональное уравнение решаем и выполняем проверку; при необходимости исключаем существующие посторонние корни.

5 x − 26 = x 2 − 8x + 16 ; − x 2 + 13 x − 42 = 0 ; x 2 − 13 x + 42 = 0 ; x 1 = 6 ; x 2 = 7 .

Проверка. Заменяем $x = 6$ в уравнении 5 x − 26 = x − 4 , приходим к равенству 4 = 2 — верно. Заменяем $x = 7$ в уравнении 5 x − 26 = x − 4 , приходим к равенству 9 = 3 — верно. Значит, уравнение 5 x − 26 = x − 4 имеет два корня.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Уравнения, не имеющие решений, также равносильны.

Решая уравнения, стремятся заменить исходное уравнение на более простое, равносильное ему, т. е. выполнить равносильное преобразование уравнения.

К примеру, преобразование уравнения $2x + 5 = 7x - 8$ к виду $2x - 7x = - 8 - 5$ есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что уравнения $2x + 5 = 7x -8$ и $2x - 7x = -8 - 5$ являются равносильными.

К примеру, преобразование уравнения 0,5 x 2 − 0,3 x = 2 к виду 5 x 2 − 3 x = 20 (обе части уравнения умножили почленно на $10$) есть равносильное преобразование уравнения.

1. освобождение от знаменателей, содержащих переменные.
Например, уравнение x 2 x − 3 = 4 x − 3 заменить уравнением x 2 = 9 не является равносильным преобразование уравнения. Уравнение x 2 = 9 имеет два корня: $3$ и $- 3$ — а в заданном уравнении значение $x = 3$ обращает знаменатель в нуль. Поэтому, $x = 3$ является посторонним корнем.

Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных преобразований, тогда необходимо выполнить проверку, т. к. среди решений могут быть посторонние корни.

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.

Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√=g(x)$ или $√=√$
Обе части уравнение возвести в квадрат: $√^2=(g(x))^2$ или $√^2=√^2$
Решить полученное рациональное уравнение.
Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

Решите уравнение $√=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.

Обе части уравнение возведем в квадрат:

Получаем квадратное уравнение:

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.

$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит

$х_1=1$ наименьший корень.

Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Решить уравнение: $х-6=√$

Возведем обе части уравнения в квадрат

В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение

Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.

Приводим подобные слагаемые:

Найдем корни уравнения через дискриминант:

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.

$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Рассмотрим виды иррациональных уравнений

В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня.

Из него следует, что а≥0, тогда

Для нашего случая получим

или

Мы знаем, что сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Т.е.

По определению квадратного корня f(x) > 0. Таким образом, чтобы найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:

следовательно, решений нет

Ответ: решений нет

Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.

Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

Подчеркните корни данного уравнения

Решим данное уравнение.

Получаем три корня из последнего уравнения: -1;0;1

Решите уравнение:

Рассмотрим область определения функций:

х=-2, но -2 не входит в область определения функций, следовательно, решений нет.

В этом видеоуроке мы выясним, какие уравнения называют иррациональными. Обсудим основные методы решения иррациональных уравнений. Рассмотрим основные свойства иррациональных уравнений.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Иррациональные уравнения"

Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Например, ,

….

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Итак, давайте перечислим основные методы решения иррациональных уравнений.

1 метод: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

2 метод: замена переменной.

3 метод: умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию.

4 метод: применение свойств функций, входящих в уравнение.

Чаще всего при решении иррациональных уравнений применяют 1метод, то есть обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного. Следует не забывать, что уравнение-следствие наряду с корнями исходного уравнения может содержать и другие корни, которые называются посторонними. Поэтому после решения уравнения-следствия необходимо найти способ отсеять посторонние корни. Обычно это можно сделать при помощи проверки, которая в данном случае рассматривается как один из этапов решения.

Давайте докажем, что при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение — следствие данного.

Доказательство: пусть у нас есть уравнение и — корень этого уравнения. То есть — верное числовое равенство.

Тогда по свойствам верных числовых равенств равно , где — натуральное число, также будет верным числовым равенством. То есть имеем — корень уравнения . В свою очередь, уравнение – это уравнение-следствие.

Что и требовалось доказать.

Напомним, что при возведении обеих частей уравнения в чётную натуральную степень может получиться уравнение, не равносильное данному.

Например, решим уравнение .

Решение. Возведём в квадрат обе части уравнения . Получим уравнение .

Обратите внимание: второе уравнение не равносильно исходному, так как первое уравнение имеет только один корень — , а второе — два корня – и .

В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения. Отметим, что второй корень является посторонним для исходного уравнения, так как при подставновке его в исходное уравнение получим неверное равенство.

Как видим, при возведении иррационального уравнения в натуральную степень могут появиться посторонние корни, поэтому проверка обязательна.

Если обе части уравнения неотрицательны на множестве, то уравнение равносильно уравнению при .

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать основные свойства иррациональных уравнений:

1. Если показатель радикала – чётное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным, при этом значение радикала также является неотрицательным. Проще говоря, все корни чётной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, то есть если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишён смысла; если подкоренное выражение равно 0, то корень также равен 0; если подкоренное выражение положительно, то значение корня – положительно.

2. Если показатель радикала – нечётное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом. В этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения. Говоря другими словами, все корни нечётной степени, входящие в уравнение определены при любом действительном значении подкоренного выражения и в зависимости от знака подкоренного выражения могут принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения.

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание 1. Решите уравнение .

Решение. Отметим, что при уравнение не имеет корней, так как правая часть нашего уравнения будет принимать отрицательные значения. А мы знаем, что значение корня не может быть отрицательным числом. Значит, нам будут подходить только корни больше либо равные 3.

Итак, возведём в квадрат обе части уравнения . Получим равносильное уравнение .

Перенесём все слагаемые из правой части уравнения в левую . Получим уравнение .

Теперь вынесем общий множитель х за скобки. Получим уравнение . В скобках квадратный многочлен разложим на множители.

Имеем .

Чтобы данное уравнение равнялось 0, нужно чтобы хотя бы один из множителей равнялся 0.

Отсюда полученное уравнение имеет корни ,,.

Вначале решения мы с вами оговаривали, что корни меньше –3 нам не подходят. Проверим, подходят ли корни и . Подставим их в исходное уравнение. При левая часть исходного уравнения равна , а правая – 3. Имеем верное равенство. Значит, является корнем уравнения. При левая часть исходного уравнения равна , правая – 4. Тоже имеем верное равенство.