Интерполяционный многочлен лагранжа кратко

Обновлено: 02.07.2024

Выборка экспериментальных данных представляет собой массив данных, который характеризует процесс изменения измеряемого сигнала в течение заданного времени (либо относительно другой переменной). Для выполнения теоретического анализа измеряемого сигнала необходимо найти аппроксимирующую функцию, которая свяжет дискретный набор экспериментальных данных с непрерывной функцией - интерполяционным полиномом n -степени. Одним из способов представления данного интерполяционного полинома n-степени может быть использован многочлен в форме Лагранжа.

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа – это математическая функция позволяющая записать полином n -степени, который будет соединять все заданные точки из набора значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки в различные моменты времени с непостоянным временным шагом измерений.

1. Интерполяционная формула Лагранжа

В общем виде интерполяционный многочлен в форме Лагранжа записывается в следующем виде:

где ˗ степень полинома ;

˗ значение значения интерполирующей функции в точке ;

˗ базисные полиномы (множитель Лагранжа), которые определяются по формуле:

Так, например, интерполяционный многочлен в форме Лагранжа, проходящий через три заданных точки , будет записываться в следующем виде:

Многочлен в форме Лагранжа в явном виде содержит значения функций в узлах интерполяции, поэтому он удобен, когда значения функций меняются, а узлы интерполяции неизменны. Число арифметических операции, необходимых для построения многочлена Лагранжа, пропорционально и является наименьшим для всех форм записи. К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что при построении полинома степени n+1 полностью теряется информация о предыдущем полиноме степени n, т.е. с изменением числа узлов приходится все вычисление выполнить заново.

2. Погрешность интерполяционного полинома в форме Лагранжа

Рассмотрим функцию f ( x ), которая непрерывна и дифференцируема на рассматриваемом отрезке [a, b]. Интерполяционный полином L (x) в форме Лагранжа принимает в точках заданные значения функции . В остальных точках интерполяционный полином L (x) отличается от значения функции f ( x ) на величину остаточного члена, который определяет абсолютную погрешность интерполяционной формулы Лагранжа:

А бсолютную погрешность интерполяционной формулы Лагранжа определяют следующим образом:

где n ˗ степень полинома

Переменная представляет собой верхнюю границу значения модуля (n +1)-й производной функции f(x) на заданном интервале [a, b]

Погрешность интерполяции методом Лагранжа зависит от свойств функции f ( x ), а также от расположения узлов интерполяции и точки x. В случае если погрешность не достигает нужной точности, то нужно разбить отрезок на части и интерполировать каждую часть в отдельности – кусочная интерполяция.

Выбор узлов интерполяции

С помощью корректного выбора узлов можно минимизировать значение в оценке погрешности, тем самым повысить точность интерполяции. Данная задача может быть решена с помощью многочлена Чебышева:

В качестве узлов следует взять корни этого многочлена, то есть точки:

3. Методика вычисления полинома в форме Лагранжа

Алгоритм вычисления полинома в форме Лагранжа позволяет разделить задачи определения коэффициентов и вычисления значений полинома при различных значениях аргумента:

1. В качестве исходных данных задается выборка из n -точек, которая включает в себя значения функции и значения аргумента функции.

2. Выполняется вычисление полинома n-степени в форме Лагранжа по следующей формуле:

Алгоритм вычисления полинома в форме Лагранжа представлен на рисунке 1.

Методика вычисления полинома в форме Лагранжа

Рис.1 . Методика вычисления полинома в форме Лагранжа

В качестве примера рассмотрим следующую практическую задачу. В рамках задачи известен набор шести значений, которые получены методом случайной выборки для различных моментов времени. Следует отметить, что данная выборка значений описывает функция на интервале [0, 10]. Необходимо построить многочлен в форме Лагранжа для представленного набора значений. С помощью интерполяционной формулы вычислить приближенное значение функции в точке , а также определить оценку погрешности результата вычислений.

Многочлен в форме Лагранжа, который строится на основании шести значений, представляет собой полином 5 степени. Результат построения полинома в форме Лагранжа показан в графическом виде.

Рис.2 . Исходная функция и полином в форме Лагранжа, построенный по шести заданным точкам

Интерполяционный полином в форме Лагранжа часто оказывается удобным для проведения различных теоретических исследований в области вычислительной математики. Так, например, полином в форме Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования таблично-заданной функцией.

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

(31.1)

Этот многочлен удовлетворяет условиямГде—

Узлы (или полюсы) интерполяции,— заданные числа.

Интерполяционной формулой Лагранжа называется формула

(31.2)

Формулы (31.1) и (31.2) можно записать так:

(31.3)

Производя интерполирование функцииПо формуле Лагранжа (31.2), заменяют эту функцию полиномом, совпадающим с ней вДанных точках отрезка, В остальных точках этого отрезка разность

Отлична от нуля и представляет собой погрешность метода. Эта разность, называемая остаточным членом интерполяции, определяется формулой

В которойВыражается равенством (31.3),- точка промежутка

Зависящая от

Пример 31.1. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа, который в точкахПринимает соответственно значения

ПриФормула (31.1) имеет вид

Подставляя в эту формулу заданные значения, находим Итак,

Пример 31.2. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа, для которого

В данном случае

ПриФормула (31.1) принимает вид

Подставляя в эту формулу данные значения, получаем Следовательно,

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для " width="" height="" />
пар чисел ,y_),(x_,y_)\dots (x_,y_)>" width="" height="" />
, где все >" width="" height="" />
различны, существует единственный многочлен " width="" height="" />
степени не более " width="" height="" />
, для которого )=y_>" width="" height="" />
.

$<\displaystyle n=1> В простейшем случае$
это линейный многочлен, Определение

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5) , (-4,2) , (-1,-2) и (7,9) , а также полиномы y_j l_j(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных x_i

где базисные полиномы определяются по формуле:

$<\displaystyle l_<j> (x)=\prod _^>-x_>>=>-x_>>\cdots >-x_>>>-x_>>\cdots <\frac <x-x_>-x_>>\,\!>$

$<\displaystyle l_<j> Легко видеть что (x)>$
обладают такими свойствами:

Отсюда следует, что " width="" height="" />
, как линейная комбинация (x)>" width="" height="" />
, может иметь степень не больше " width="" height="" />
, и )=y_>" width="" height="" />
, Применения

$<\displaystyle y_ Полиномы Лагранжа используются для известны значения =f(x_)>$
в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

$<\displaystyle f(x)\approx \sum _<j=0> ^f(x_)l_(x)>$

$<\displaystyle \int \limits _^ f(x)dx\approx \sum _^f(x_)\int \limits _^l_(x)dx>$

Значения интегралов от >" width="" height="" />
не зависят от " width="" height="" />
, и их можно вычислить заранее, зная последовательность >" width="" height="" />
.

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

$<\displaystyle x_ В указанном случае можно выразить >$
через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку >" width="" height="" />
:

$<\displaystyle x_<j> \equiv +jh>>$
,

$<\displaystyle <x_ -x_>\equiv (i-j)h>$
.

Подставив эти выражения в формулу полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

$<\displaystyle l_ (x)=<\prod _^<(x-x_) \over (x_-x_)>>=<\prod \limits _^(x-x_-jh) \over h^\prod \limits _^(i-j)>>$

Теперь можно ввести замену переменной

$<\displaystyle y=<<x-x_<0> > \over h>\,\!>$

и получить полином от XY, который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования cs:Lagrangeova interpolace nl:Lagrange-polynoom

$(x_0, y_0), (x_1, y_1)\dots ,(x_n, y_n)$

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все x_i различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n , для которого L(x_i) = y_i .

В простейшем случае ( n = 1 ) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Содержание

Определение

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

$L(x) = \sum_<j=0> ^n y_j l_j(x)$

где базисные полиномы определяются по формуле:

$l_j(x)=\prod_<i=0, j\neq i> ^ \frac = \frac \cdots \frac>> \frac>> \cdots \frac<x-x_><x_j-x_>\,\!$

l_j(x) обладают следущими свойствами:

Отсюда следует, что L(x) , как линейная комбинация l_j(x) , может иметь степень не больше n , и L(x_j) = y_j ,

Применения

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

Пусть для функции f(x) известны значения y_j = f(x_j) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

$f(x) \approx \sum_<j=0> ^n f(x_j) l_j(x)$

$\int\limits_a^b f(x)dx \approx \sum_<j=0> ^n f(x_j) \int\limits_a^b l_j(x) dx$

Значения интегралов от l_j не зависят от f(x) , и их можно вычислить заранее, зная последовательность x_i .

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

В указанном случае можно выразить x_i через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x₀ :

$x_j \equiv <x_0 + jh> $
,

$<x_i - x_j> \equiv (i - j)h$
.

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

$l_i(x) = < \prod_ ^n <(x - x_j) \over (x_i - x_j)>> = <\prod\limits_^n (x - x_0 - jh) \over h^ \prod\limits_^n (i - j)>$

Теперь можно ввести замену переменной

$y = <<x - x_0> \over h>\,\!$

и получить полином от y , который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования алгоритмов с многобайтным представлением чисел.

Внешние ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Полином Лагранжа" в других словарях:

Лагранжа полином — Интерполяционный многочлен Лагранжа многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.… … Википедия

ЛАГРАНЖА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА — форма записи многочлена степени п(интерполяционного многочлена Лагранжа), интерполирующего заданную функцию f(х).в узлах х 0, x1. х п: В случае, когда значения х i являются равноотстоящими, т. е. с помощью обозначений (х x0)/h=t формула (1)… … Математическая энциклопедия

Полином — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Полином Бернштейна — В вычислительной математике многочлены Бернштейна это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна. [1] [2] Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм… … Википедия

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для пар чисел , где все различны, существует единственный многочлен степени не более , для которого . В простейшем случае ( … Википедия

Интерполяционная формула Лагранжа — Интерполяционный многочлен Лагранжа многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.… … Википедия

Многочлен Лагранжа — Интерполяционный многочлен Лагранжа многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.… … Википедия

Интерполирование — О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто … Википедия

Интерполяция (матем.) — О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто … Википедия

Интерполяция — О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция, интерполирование в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и… … Википедия

Читайте также: