Индекс миллера это кратко

Обновлено: 02.07.2024

При обо­­­зна­чении узлов и направ­ле­­ний в кристал­ли­чес­кой ре­ше­­т­ке ко­ор­ди­­на­ты лю­­бого уз­ла ре­­шетки можно вы­ра­зить как x=m × a , y=n × b , z=p × c , где a , b , c - параметры ре­шетки, m , n , p - це­лые или дро­бные числа. Если за еди­ницы измерения длин при­нять параметры ре­ше­тки, то ко­ор­­ди­на­та­ми узла бу­дут просто це­лые или дро­бные числа m , n , p . Эти числа на­зы­вают индексами уз­ла и за­пи­сывают сле­ду­ю­щим об­разом: [[ mnp ]] (рис. 1.8, а).

Для описания направления в кристалле выбирается прямая , про­­­­­ходящая через начало координат. Ее направление од­но­з­на­ч­но оп­ределяется индексами [[ mnp ]] первого узла, че­рез который о­на про­ходит (рис. 1.8, а). Поэтому индексы уз­ла одновременно яв­ля­­­ю­т­­ся и ин­дек­сами направления. Индексы направления обоз­на­ча­ются так: [ mnp ]. Строго го­воря, указанные индексы оп­ре­де­ля­ют целое се­мейство физичес­ки эквивалентных направлений в кри­с­талле, по­лу­­ча­е­мых циклической перестановкой значений ин­дек­сов m , n , p . Ин­­дексы эквивалентных направлений обо­з­на­ча­ю­т­ся mnp >. Отметим, что если в символах узлов могут применяться дро­­­б­­­ные индексы, то для символов направлений и плоскостей ис­по­ль­зуются то­лько це­ло­численные индексы.

Для обозначения и ндексов плоскостей используются индексы Миллера, которые находятся следующим образом: выра­жа­ют отрезки H, K, L, которые плоскость отсекает на осях решетки (рис. 1.8, б), в осевых единицах H=m , K=n , L=p , где m , n , p - це­­лые числа (координаты узлов), не равные нулю. Записывают ве­­ли­­­­чи­ны, обратные этим отрезкам, 1/ m , 1/ n , 1/ p . Находят на­и­ме­нь­шее це­лое общее кратное (НОК) чисел m , n , p . Пусть НОК=d . В этом случае ин­де­ксами Миллера плоскости будут являться це­лые чи­­сла h=d / m , k=d / n , l=d / p , которые записываются так: ( hkl ).

На­при­­мер, пусть для некоторой пло­с­ко­с­ти m=1, n=4, p=2. Тогда d=4 и, сле­до­ва­те­ль­но, индексы Миллера этой плоскости равны: h=4, k=1, l=2, то есть ( hkl )=(412). Индексы Мил­­ле­­ра для зна­чений m , n или р , рав­ных бе­с­конечности (случай, когда пло­­­с­­кость парал­ле­ль­на одной или двум осям координат), при­ни­ма­ю­тся ра­вными ну­лю. На­при­мер, для зна­че­ний m=3, n= , p = ин­дексы Мил­лера дан­ной пло­с­ко­сти равны (100).

Так же, как и индексы направлений, индексы Миллера опре­де­­­ля­­ют не одну плоскость, а целое семейство плоско­стей. Со­во­ку­п­­­но­сть физически эквивалентных плоскостей, например всех ше­с­ти гра­­ней куба, обозначают < hkl >. В качестве примера на рис. 1.9 при­­­­­ве­дены обозначения основных пло­скостей и на­пра­в­ле­ний в ку­­би­чес­кой и гексагональной ре­­ше­­т­ках. В кубической ре­шетке (рис. 1.9, а- в) ин­де­к­­сы пло­с­ко­с­ти со­в­па­да­ют с ин­дек­са­ми на­п­рав­ле­­ния, перпен­ди­ку­ля­рного этой пло­­­скости.

Для удобства опи­сания гексагональной решетки часто к трех­ос­ной сис­те­ме координат до­ба­вляют четвертую координатную ось u , ко­­то­рая составляет ра­в­ные углы (120 o ) с осями x и y и пер­пе­н­ди­ку­ля­­р­на гексагональной оси z (рис. 1.9, г). В получившейся че­тырех­о­с­ной системе ко­ор­ди­нат ( x , y , u , z ) каждая из граней элементарной гексагональной ячей­ки пе­­ресекает по две ко­ор­­ди­нат­ные оси, от­се­кая от них оди­­на­ковые от­ре­­зки. Про­е­к­ции узловых точек на оси ко­ор­динат x , y , u , z могут пре­д­­с­та­­влять собой дробные или от­ри­ца­те­ль­ные числа.

По­с­ле при­ве­­дения к об­щему знаменателю числители по­­лу­чен­ных дробей яв­ля­ю­­тся ин­де­­ксами направления. В ка­че­стве при­­мера на рис. 1.9, г при­ве­­­дены ин­дексы координатных осей x , y , u . Зна­­че­ния индекса, ме­нь­ше нуля, отмечены знаком инверсии над со­­от­­­ве­т­ствующим ин­де­к­сом. Например, ко­ор­ди­на­ты узла B, ле­жащего на оси y (рис. 1.9, г) ра­­в­ны [[-1/2, 1, -1/2, 0]]. Сле­до­ва­те­ль­­но, индексы на­­правления, со­в­па­да­ющего с осью y , равны . Индексы направлений ко­ор­ди­натных осей х и u ра­в­ны и соответственно.

В природе монокристаллы обычно встречаются среди минералов. Промышленные монокристаллические материалы удается получить с помощью специально разработанной технологии выращивания монокристаллов. Это связано с тем, что в обычных условиях при охлаждении вещества из расплава образуется много центров кристаллизации и возникает поликристаллическое состояние вещества.

Поликристаллические материалы состоят из большого числа сросшихся друг с другом мелких кристаллических зерен (кристаллитов), хаотически ориентированных в разных направлениях. К поликристаллическим материалам относятся металлы, многие керамические материалы. Поликристаллические вещества обычно изотропны. Однако , если в ориентации кристаллитов создать упорядоченность (например, механической обработкой металла в прокатном стане, поляризацией сегнетокерамики ), то материал становится анизотропным. Такие тела с искусственно созданной анизотропией называют текстурами.

Аморфно-кристаллические материалы - это частично закристаллизованные аморфные вещества. Частично кристаллическую структуру имеют многие полимеры. Стекло определенных составов при выдержке при повышенных температурах начинает кристаллизоваться; благодаря образующимся мелким кристалликам оно теряет прозрачность, превращаясь в аморфно-кристаллический материал - ситалл .

индексы Миллера (англ. Miller indices) — индексы, с помощью которых принято описывать расположение атомных плоскостей кристаллической решетки.

Описание

Для определения индексов Миллера необходимо:

  • найти точки пересечения плоскости кристаллической решетки с осями координат;
  • перевести результат в единицы постоянных решетки , , ;
  • взять обратные значения полученных чисел и привести их к наименьшему целому, кратному каждого из чисел.


Результат, заключенный в круглые скобки (), и представляет собой индексы Миллера данной плоскости кристалла.


Например, если плоскость пересекает оси в точках с координатами 1, 2, 3 (рис. а), то обратные им числа будут 1, 1/2, 1/3, а наименьшие целые числа, имеющие те же отношения, соответственно 6, 3, 2, т. е. индексы Миллера для этой плоскости — (632). Если плоскость параллельна одной из осей, то точка пересечения с этой осью принимается за бесконечность, а соответствующий индекс — за ноль. Если плоскость пересекает ось в области отрицательных значений, то соответствующий индекс будет отрицательным. Для указания этого над индексом помещается минус: (). В качестве примера на рис. б приведены индексы Миллера некоторых наиболее важных плоскостей кубического кристалла.

Иллюстрации

а — Заштрихованная плоскость перескает оси , , в точках 1 , 2 , 3 . Индексы Миллера этой плоскости (632).

Идеальная кристаллическая решетка образована из тождественных элементарных ячеек. Каждая такая ячейка представляет собой в общем случае косоугольный параллелепипед, построенный на трех векторах: а, Ь, с. Эти векторы можно принять за орты координатных осей. Модули векторов являются периодами идентичности в направлениях соответствующих осей.

Выбор координатных осей, вообще говоря, неоднозначен. Один и тот же кристалл можно представить сложенным из различных элементарных параллелепипедов. Принято выбирать оси наиболее простым способом с учетом симметрии кристалла.

Для аналитического описания геометрических элементов кристалла, т. е. точек, прямых (направлений) и плоскостей, применяется особая символика.

Возьмем точку с координатами х, у, z. В качестве индексов точки принимается совокупность величин , которые заключаются в двойные квадратные скобки:

Обычно имеют в виду точки, расположенные в пределах ячейки, примыкающей к началу координат. В этом случае индексы будут числами, не превышающими .

Так, например, центру кристаллической ячейки соответствуют индексы центру грани, лежащей в плоскости — индексы

Направление в кристалле можно задать с помощью прямой, проходящей через начало координат. Направление такой прямой определяется наименьшими целыми числами , пропорциональными индексам любой точки, через которую проходит прямая:

Числа называются индексами направления и заключаются в одинарные квадратные скобки: Таким образом, направление прямой, проходящей через начало координат и через точку обозначается символом [2 3 6].

Если какое-либо из чисел оказывается отрицательным, знак минус ставится не перед, а над соответствующим числом. Например, направление, противоположное оси у, обозначается символом [0 1 0].

Положение плоскости в кристалле можно определить, задав отрезки , отсекаемые плоскостью на координатных осях. Однако в случае плоскостей, проходящих через узлы кристаллической решетки, оказывается более удобным задавать положение плоскости с помощью наименьших целых чисел h, k, l, обратных отрезкам

Числа h, k, l носят название индексов Миллера. Записывая символ плоскости, индексы Миллера заключают в круглые скобки: Пусть, например, отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, равны у и 1. Обратными величинами будут 2, и 1. Умножив эти числа на 2, получим индексы Миллера: (4 3 2).

В случае, когда какой-либо отрезок, отсекаемый плоскостью на координатной оси, оказывается отрицательным, знак минус ставится не перед, а над соответствующим индексом Миллера. Если плоскость параллельна координатной оси, отсекаемый ею отрезок бесконечно велик, так что соответствующий индекс равен нулю.

Заметим, что в случае кубических кристаллов плоскость перпендикулярна к прямой . Для кристаллов других систем это, вообще говоря, не имеет места.

Индексы Миллера — кристаллографические индексы, характеризующие расположение атомных плоскостей в кристалле. Индексы Миллера связаны с отрезками, отсекаемыми выбранной плоскостью на трёх осях кристаллографической системы координат (не обязательно декартовой). Таким образом, возможны три варианта относительного расположения осей и плоскости:

  • плоскость пересекает все три оси
  • плоскость пересекает две оси, а третьей параллельна
  • плоскость пересекает одну ось и параллельна двум другим

Индексы Миллера выглядят как три взаимно простых целых числа, записанные в круглых скобках: (111), (101), (110)…

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Индексы Миллера" в других словарях:

индексы Миллера — Система для идентификации плоскостей и направлений в любой кристаллической системе посредством наборов целых чисел. Индексы плоскости относятся к отрезкам, отсекаемым на координатной оси плоскостью с осями элементарной ячейки; индексы направления … Справочник технического переводчика

индексы миллера — Система для идентификации плоскостей и направлений в любой кристаллической системе посредством наборов целых чисел. Индексы плоскости относятся к отрезкам, отсекаемым на координатной оси плоскостью с осями элементарной ячейки; индексы направления … Справочник технического переводчика

индексы Миллера — Термин индексы Миллера Термин на английском Miller indices Синонимы Аббревиатуры Связанные термины Определение индексы, с помощью которых принято описывать расположение атомных плоскостей кристаллической решетки Описание Для определения индексов… … Энциклопедический словарь нанотехнологий

Индексы Миллера — Miller Indices Индексы Миллера Набор из 3 целых чисел h, k и l (4 для гексагональных систем), не содержащих общего множителя, c помощью которых принято задавать ориентацию кристаллографических плоскостей. Эти числа определяют проекции нормали … Толковый англо-русский словарь по нанотехнологии. - М.

Индексы Миллера — Miller indices Индексы Миллера. Система для идентификации плоскостей и направлений в любой кристаллической системе посредством наборов целых чисел. Индексы плоскости относятся к отрезкам, отсекаемым на координатной оси плоскостью с осями… … Словарь металлургических терминов

индексы Миллера — Milerio indeksai statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Kristalinės gardelės simetrijos plokštumų žymėjimo indeksai. atitikmenys: angl. Miller indices vok. Flächenindizes, m; Mille Indizes, m; Millersche Indizes, m rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

индексы Миллера — Milerio indeksai statusas T sritis chemija apibrėžtis Kristalinės gardelės simetrijos plokštumų žymėjimo indeksai. atitikmenys: angl. Miller indices rus. индексы Миллера … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

ИНДЕКСЫ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ — три целых числа, определяющих расположение в пр ве граней и ат. плоскостей кристалла (индексы Миллера), а также направлений в кристалле и его рёбер (индексы Вейса) относительно кристаллографич. осей. Прямая ОА с индексами Вейса (2,3,3) и… … Физическая энциклопедия

Индексы Вейса — кристаллографические индексы, характеризующие направление векторов решётки. Обычно выглядят как группы чисел, заключённые в квадратные скобки, например [110], [101]. Запись вида [lmn] означает, что вектор решётки имеет вид где базисные вектора… … Википедия

МИЛЛЕРА ИНДЕКСЫ — см. в ст. (см. ИНДЕКСЫ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ). Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983 … Физическая энциклопедия

Читайте также: