Геометрия римана кратко и понятно

Обновлено: 02.07.2024

В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т.д., но через данную точку нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формула /," width="" height="" />
где — сумма углов треугольника, — радиус сферы, на которой реализована геометрия.



Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана

Геометрия Римана (называемая также эллиптическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий постоянной кривизны (другие — это геометрия Лобачевского и сферическая геометрия). Если геометрия Евклида реализуется в пространстве с нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с отрицательной, то геометрия Римана реализуется в пространстве с постоянной положительной кривизной (в двумерном случае — на проективной плоскости и локально на сфере).

В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но в геометрии Римана нет параллельных прямых. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формула Σ = π + S / R 2 , />,> где Σ — сумма углов треугольника, R — радиус сферы, на которой реализована геометрия.

Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана

Риманова геометрия это филиал дифференциальная геометрия что изучает Римановы многообразия, гладкие многообразия с Риманова метрика, т.е. с внутренний продукт на касательное пространство в каждой точке, которая меняется плавно от точки к точке. Это дает, в частности, локальные представления о угол, длина кривых, площадь поверхности и объем. Из них можно получить некоторые другие глобальные величины: интеграция местные взносы.

Содержание

Вступление


Риманова геометрия была впервые предложена в общих чертах Бернхард Риманн в 19 ​​веке. Он имеет дело с широким спектром геометрий, метрика свойства варьируются от точки к точке, включая стандартные типы неевклидова геометрия.

Каждое гладкое многообразие допускает Риманова метрика, что часто помогает решить проблемы дифференциальная топология. Он также служит начальным уровнем для более сложной структуры псевдоримановы многообразия, которые (в четырех измерениях) являются основными объектами общая теория относительности. Другие обобщения римановой геометрии включают Финслерова геометрия.

Существует близкая аналогия дифференциальной геометрии с математической структурой дефектов в регулярных кристаллах. Вывихи и дисклинации производят скручивания и искривления. [1] [2]

Следующие статьи содержат полезный вводный материал:

Классические теоремы

Ниже приводится неполный список наиболее классических теорем римановой геометрии. Выбор делается в зависимости от его важности и элегантности формулировки. Большинство результатов можно найти в классической монографии А. Джефф Чигер и Д. Эбин (см. ниже).

Приведенные формулировки далеко не очень точные и не самые общие. Этот список ориентирован на тех, кто уже знает основные определения и хочет знать, о чем эти определения.

Общие теоремы

  1. Теорема Гаусса – Бонне Интеграл гауссовой кривизны на компактном двумерном римановом многообразии равен 2πχ (M) где χ (M) обозначает Эйлерова характеристика из M. Эта теорема имеет обобщение на любое компактное четномерное риманово многообразие, см. обобщенная теорема Гаусса-Бонне.
  2. Теоремы вложения Нэша. Они заявляют, что каждый Риманово многообразие может быть изометрически встроенный в Евклидово пространстворп .

Геометрия в целом

Читайте также: