Геометрия 8 класс кратко атанасян

Обновлено: 02.07.2024

Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон.

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.

Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Cумма углов выпуклого n-уголника равна (п—2) 180°.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не

являющиеся соседними, также называются противоположными.

Cумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

1°. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2°. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1°. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник— параллелограмм.

2°. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

3°. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойство прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника: Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т. е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба:

1. Все углы квадрата прямые.

2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Две точки А и А₁называются симметричными относительно точки О, если О— середина отрезка АА₁. Точка О считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Так, если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см 2 . Аналогично определяется квадратный метр (м 2 ), квадратный миллиметр (мм 2 ) и т. д.

Основные свойства площадей:

1°. Равные многоугольники имеют равные площади.

2°. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3°. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна длины на ширину.

Площадь параллелограмма равна произведению его высоты на длину стороны к которой проведена высота.

Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на длину стороны к которой проведена высота.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Площадь трапеции равна произведению длины средней линии трапеции на высоту.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема, обратная теореме Пифагора: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским.

Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т. е.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Другими словами, два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения ABC и А₁В₁С₁ так, что:

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных

треугольников, называется коэффициентом подобия.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если

1°. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

2°. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

т. е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Основное тригонометрическое тождество:

Взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и r. Возможны три случая:

В справочнике представлены все темы по геометрии за 8 класс по учебнику Атанасян "Геометрия 7-9": основные понятия, свойства, теоремы, чертежи и некоторые задачи.

Вложение	Размер
spravochnik_po_geometrii_za_8_klass_.pdf	1.32 МБ

Предварительный просмотр:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Справочник по геометрии 7-9 класс

Цели и задачи создания справочника:•систематизировать материал по основным математическим понятиям и формулам школьного курса алгебры; •создать учащимся условия для беспроблемного решения многих.

Справочник по геометрии 7-9 класс

Важную роль играет использование математического справочника при подготовке к ГИА в 9 классе. В 2012-2013 учебном году изменилась структура экзаменационной работы, был включен модуль «Геом.

Справочник по геометрии 7-9

Электронный справочник по геометрии для учащихся 7,8 классов "Геометрические фигуры и их свойства"

Электронный справочник содержит определения основных геометрических фигур, свойства и признаки треугольников и практические задания для оценки знаний учащихся по данным темам.

Мини-справочник по геометрии

Мини-справочник по геометрии содержит основные формулы и понятия за курс 7-9 классов.

Справочник по геометрии для подготовки к ОГЭ

Справочник содержит весь необходимый теоретический материал для систематизации знаний по геометрии 7 - 9 классов.

Издание: Геометрия 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций / Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 2-е издание. Просвещение, 2014-2019г.

Поиск в решебнике

Структура решебника

Номера

Решебник по геометрии для 7-9 класса Атанасян – это совокупность готовых домашних заданий, составленная по учебнику авторитетных российских ученых – Атанасяна Л.С., Бутузова С.Б. и др. Учебное пособие используется в большинстве российских школ. При этом многие школьники и их родители испытывают серьезные затруднения в подготовке домашней работы по планиметрии.

ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, Бутузов, Кадомцев

Геометрия – наука, требующая от школьника умения эффективно визуализировать задание. Стандартным применением типовых формул здесь не обойтись. Оттого не все школьники могут качественно усвоить этот предмет.

Родители стремятся помочь ребенку, нанимают дорогостоящих репетиторов…Однако проблема может быть решена и с меньшими материальными и временными затратами. Достаточно лишь воспользоваться ГДЗ по геометрии для 7-9 класса Атанасяна.

В учебном пособии приведены пошаговые алгоритмы выполнения геометрических задач с комментариями и готовыми ответами. В итоге школьники могут без труда разобраться в решении примеров и задач самостоятельно.

Удобным способом использования решебника по геометрии Атанасяна выступает наш сайт. На нем достаточно кликнуть номер задания на странице соответствующего решебника – и система выведет правильный вариант решения.

Мы контролируем удовлетворение пользователей ресурса и потому добились:

Такие критерии работы сайта обеспечивают экономию времени и удобство в получении готовых решений.

Решебник по геометрии для 7-9 классов Атанасян, 2014-2019г.

Луч, прямая, отрезок и угол и особенностями их измерения;
Треугольники, их свойства, виды, законы равенства и подобия;
Параллельность и перпендикулярность прямых и виды многоугольников;
Окружность и векторы.

Учебник подкреплен задачами повышенной сложности; краткими сведениями из теории 7-8 классов и предметным указателем.

Учебное пособие не только гарантирует эффективное постижение алгебры, но и помогает подготовится к итоговой государственной аттестации.

Читайте также: