Длина вектора это кратко

Обновлено: 06.07.2024

Для того чтобы приступить к разбору формул нахождения длины вектора, необходимо разобраться в основных понятиях и определениях векторов.

Вектор — это отрезок с определённой длиной и направлением.

Графическое изображение вектора - отрезок который имеет указание направления в виде стрелки.

Вектор, который будет иметь начальную точку Х и конец в точке А, правильно обозначать ХА, с верхним подчёркиванием или стрелочкой, а также допустимо прописывать одной прописной буквой.

Длину вектора (модуль), определяет числовое значение длины отрезка, имеющего направление. Обозначается длинна двумя вертикальными отрезками |ХА|.

Понятие нулевого вектора. Такое название получил вектор, у которого и начало, и конец находятся в одной точке. Обозначение он имеет в виде цифры ноль с верхним подчёркивание, а длина равна нулю.
Коллинеарные вектора. Одна прямая может содержать несколько векторов, такие векторы получили название коллинеарных. Также коллинеарными считаются векторы на параллельных прямых.

Сонаправленные. Два коллинеарных вектора считаются сонаправленными, если имеют одно направление.
Противоположно направленные. Вектора, с направлениями в разные стороны, и являются коллинеарными, называют противоположно направленными.
Компланарные вектора. Такими векторами называют, те что лежат в одной плоскости
Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Вектора могут находится не только на плоскости, но и в пространстве, от этого расположения будет зависеть какую формулу необходимо использовать для нахождения их длины или модуля. Стоит также отметить, что вектора могут быть равными, при этом они должны иметь одно направление, одинаковые длины и быть коллинеарными. Существует понятие единичного вектора, таким он будет являться если равен единице измерения.

Как найти длину вектора

Модуль вектора а будем обозначать .

Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy. Допустим в данной системе будет задан, так вектор имеющий координаты (aₓ ; aᵧ). Получим формулу, которая поможет найти длину вектора , через известные нам координаты aₓ и aᵧ.

На взятой системе координат, от её начала отложим вектор
В соответствии с проекцией точки А возьмём и определим Aₓ и Aᵧ на оси координат. Рассмотрим полученный прямоугольник ОAₓ и АAᵧ с диагональю ОА.

Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует

Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора получаем

Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:

Когда вектор дан в формате разложения по координатным векторам , то вычислить его можно по той же формуле , в таком варианте коэффициент aₓ и aᵧ будут выражать в роли координат , в данной системе координат.

Чтобы рассчитать длину = (3, √x), расположенного в прямоугольной системе координат.

Чтобы найти модуль вектора используем ранее приведённую формулу

Ответ:

Существуют также формулы вычисления длины вектора в пространстве, они выводятся аналогично тем, что в системе координат на плоскости. Если взять вектор =(aₓ ; aᵧ ; a )

В таком случае $ AO^2=OA_x^2+OA_y^2+OA_z^2 $ (из рисунка видно, что АО - диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому

из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OA =a , а значение длины ОА совпадает с длиной вектора, которую необходимо найти. Из этого следует:

Ответ:

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.

Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор имеет координаты (bₓ-aₓ ; bᵧ-aᵧ), поэтому его длину мы выразим в формуле

При этом формула вычисления длины вектора для трёхмерного пространства, с координатами и ), будет следующей:

Для прямой системы координат, найти длину вектора $ \overrightarrow$ , где A(1,√3) B(-3,1)

Решение
Применив формулу, для нахождения длины вектора, с известными координатами точек начала и конца, в плоской системе координат, выходит:

Существует второй вариант решения, где формулы применяются по очереди:

Ответ:

Найти, решения, при подстановке которых, длина вектора будет равна корню из тридцати, при координатах точек А (0,1,2) и В (5,2,$λ^2$)

В первую очередь представим длину вектора в виде формулы.
$ \left|\vec\right|=\sqrt<\left ( b_x-a_x \right )^2+ \left ( b_y-a_y \right )^2 + \left ( b_z-a_z \right )^2>$
$=\sqrt <\left ( 5-0 \right )^2+ \left ( 2-1 \right )^2 + \left ( \lambda^2 -2\right )^2>= \sqrt$
Теперь приравняем полученное выражение к корню из тридцати и найдём неизвестное значение, решив полученное уравнение.
$ \sqrt<26+\left(\lambda^2-2\right)^2>=\sqrt $
$ 26+\left(\lambda^2-2\right)^2=30 $
$ \left(\lambda^2-2\right)^2=4 $
$ \lambda^2-2=2 $ или $ \lambda^2-2=-2 $ $ \lambda_1=-2, \lambda_2=2, \lambda_3=0. $
Ответ: $ \lambda_1=-2, \lambda_2=2, \lambda_3=0. $

Длина вектора по теореме косинусов

Так как бывают случаи, когда не известны координаты точек вектора, необходимо искать другие варианты, при помощи которых можно найти длину вектора. Таким способов может стать применение теоремы косинусов.

К примеру, нам известны длины двух векторов $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ , а также угол между ними, или его косинус. При этом необходимо найти длину вектора $ \overrightarrow $ , в таком варианте задания необходимо воспользоваться теоремой косинусов, представив треугольник АВС. В данном треугольнике мы будем искать сторону ВС, она и будет равна длине искомого вектора. Подробнее рассмотрим на примере.

Даны длины двух векторов $ \overrightarrow$ и $ \overrightarrow$ 2 и 4 соответственно, а угол между ними равен $ \frac<\pi> $ . необходимо найти длину $ \overrightarrow$.

В нашем примере длины векторов и длины сторон треугольника АМК совпадают. Две из сторон нам известны это АК и АМ, а также известен угол треугольника, находящийся между этими сторонами. Используя теорему косинусов получим:
$ KM^2=AK^2+AM^2-2\cdot AK\cdot AM\cdot\cos\frac<\pi>$
$=2^2+4^2-2\cdot2\cdot4\cdot\cos\frac<\pi>$
$=4+16-16\cos\frac<\pi>$
$=20-8=12 $
Получается $KM=\sqrt $
Ответ: $ \left|\overrightarrow\right|=\sqrt $

Теперь мы видим, что для нахождения длины вектора существует несколько формул, которыми можно воспользоваться в зависимости от известных параметров.

длина вектора формула для трёхмерного пространства;

длина вектора формула по известным координатам начала и конца вектора находящегося пространстве; $ \left|\vec\right|=\sqrt<\left ( b_z-a_z \right )^2+ \left ( b_y-a_y \right )^2>$ если известны координаты начала и конца вектора на плоскости.

Существует также формула длины вектора перемещения: $ \left|\vec\right|=\sqrt< s_x^2+s_y^2>$ чаще такая формула применима в физике, для того чтобы узнать длину пути материальной точки.

В случае если известен угол, между двумя векторами, можно использовать теорему Пифагора.

Применение векторов в других сферах

Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и других науках:

в физике. Для визуального изображения таких понятий как скорость, сила, ускорение и т.д. А также векторы помогают моделировать физические процессы;
в химии. Для изображения химических процессор. При помощи векторов изображают движение электронов и других частиц;
в биологии. Биологические процессы, также имеют графическое изображение при помощи векторов. К примеру перенос паразитов;
географии. Вектором обозначается движение воздушных масс, или течение реки;

Векторы используются не только в науках, но и различных отраслях и профессиях. В судоходстве и аэрофлоте, архитектуре и конструировании, а также многих других областях. Для того чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что нам о нём известно, и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор.

Определение. Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. (рис.1)

рис. 1

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка А, а концом - точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a .

Длина вектора

Определение. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB .

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Нулевой вектор

Нулевой вектор обычно обозначается как 0 .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Коллинеарные вектора

Определение. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 2).

рис. 2

Сонаправленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a ↑↑ b (рис. 3).

рис. 3

Противоположно направленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a ↑↓ b (рис. 4).

рис. 4

Компланарные вектора

Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 5).

рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Равные вектора

Определение. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.

Единичный вектор

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины.

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка $ A $ , а концом - точка $ B $ , обозначается $ \vec $ . Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например $ \vec $

Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой.

Длина вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа $ \left| \vec \right| $ .

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора $ \left| \vec \right| $ .

Нулевой вектор

Нулевой вектор обычно обозначается как $ \vec $ .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления.

Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.

Длина вектора на плоскости

Длина вектора в трехмерном пространстве

Длина вектора в n-мерном пространстве

Коллинеарные вектора

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами

Сонаправленные вектора

Противоположно направленные вектора

Компланарные вектора

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Равные вектора

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c, проведенный из начала a к концу b, если начало вектора b совпадает с концом вектора a. Разностью двух векторов a и b называется вектор c при условии: c = a − b, если c + b =a.

Произведением вектора u≠0 на число λ≠0 называется вектор w, модуль которого равен |λ||u|, направление которого совпадает с вектором u при λ>0 и противоположно ему при λ

Скалярным произведением векторов u и v называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Векторным произведением векторов u и v называется третий вектор w, модуль которого равен произведению модулей векторов u и v на синус угла θ между ними и перпендикулярен им.

Смешанным произведением трех векторов u, v и w называется скалярное произведение вектора u на векторное произведение векторов v и w

Ведро́ — сосуд для хранения жидких и сыпучих материалов и транспортировки их на небольшие расстояния.

Создать бесплатно пароль любой длины и уровня сложности для ваших приложений, аккаунтов, соц. сетей, паролей к Windows, зашифрованным архивам и т.д.

Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.

О сайте

На нашем сайте вы найдете множество полезных калькуляторов, конвертеров, таблиц, а также справочных материалов по основным дисциплинам.

Самый простой способ сделать расчеты в сети — это использовать подходящие онлайн инструменты. Воспользуйтесь поиском, чтобы найти подходящий инструмент на нашем сайте.

На сайте используется технология LaTeX.
Поэтому для корректного отображения формул и выражений
пожалуйста дождитесь полной загрузки страницы.

Длиной (модулем) вектора $\overline$ называется неотрицательное число, равное расстоянию между его началом и концом, то есть длина вектора - это длина отрезка $A B$. Длина $\overline$ обозначается $|\overline|$

Длина нулевого вектора $\overline$ равна нулю. Длина единичного вектора $\overline$ равна единице.

Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Задание. Найти длину $\overline=(1 ; 0 ;-4)$

Решение. Используя формулу, получаем:

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Читайте также: