Делимость натуральных чисел кратко

Обновлено: 05.07.2024

Натуральными называются числа, употребляемые при счете предметов: 1, 2, 3.
Сумма и произведение натуральных чисел — число натуральное, разность и частное — не обязательно.

Пусть \( a \) и \( b \) — натуральные числа.
Число \( a \) можно всегда представить в виде
\( a = b \cdot c + r \), где число \(0 \ge r \ge b\).
Число \( r \) называется остатком от деления \( a \) на \( b \).
Если \(r \gt 0\), то \( с \) называется неполным частным,
а нахождение неполного частного и остатка — делением \( a \) на \( b \) с остатком.

Пример:
Нужно 31 разделить на 7 с остатком:
\( 31 = 7 \cdot 4 + 3 \) или \( 31 / 7 = 4 \) (3 в ост.)

Если же остаток равен нулю, равенство принимает вид: \( a = b \cdot c \).
В этом случае \( с \) называют частным и говорят, что \( a \) делится на \( b \) (без остатка или нацело).
Натуральные числа, на которые делится данное число, называются его делителями.
Натуральные числа, которые делятся на данное натуральное число, называются его кратными.

Понятие о необходимых и достаточных условиях

Если из утверждения А следует утверждение В ( \( А \Rightarrow В \) ),
то утверждение А называется достаточным условием для утверждения В,
а утверждение В необходимым условием для утверждения А.

Пример:
если \(a = 0 \), то \(a \cdot b = 0\)
A B
A — достаточное условие для В, но не необходимое ( может ведь и \( b = 0 \) ).
В — необходимое условие для А, но не достаточное, т.к. из того что \( a \cdot b = 0 \) не следует, что \( a = 0 \).

Признаки делимости

Признаки делимости позволяют, не производя непосредственно деления, определить кратно ли данное натуральное число некоторым числам.

Признак делимости на 10: На 10 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются нулями.
Признак делимости на 2: делятся все те и только те числа, запись которых оканчивается четной цифрой.
Признак делимости на 5: делятся все те и только те числа, запись которых оканчивается на пять или нуль.
Признак делимости на 3 и 9: делятся все те и только те числа, у которых сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9.
Признак делимости на 4: делятся все те и только те числа, две последние цифры которых представляют число, делящееся на 4.

Натуральное число называется простым, если оно не имеет других делителей, кроме себя и единицы.

Натуральное число, имеющее более двух делителей, называется составным.

Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам.

Любое натуральное число можно разложить на простые множители, т.е. представить в виде произведения простых чисел.

Пример:
\( 60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \)

Можно это делать по схеме, подбирая для каждого следующего частного наименьший простой делитель, пока само частное не станет простым.

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)

Наибольший общий делитель (НОД) двух или нескольких натуральных чисел — это наибольший из общих делителей этих чисел.

Если НОД двух чисел равен единице (т.е. у них нет других общих делителей), то эти числа называются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких натуральных чисел — это наименьшее из чисел, которые делятся на каждое из данных.

Находить НОД и НОК можно, пользуясь следующими алгоритмами:

Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.

Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.

Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.

Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.

Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.

Алгоритм Евклида – алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел.

Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.

Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.

Метод математической индукции – метод доказательства в математике, необходимый для доказательства истинности утверждения при всех натуральных числах, начиная с некоторого минимального.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2011.

Дополнительная литература:

Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 84-86.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Целое число

Целое число является основополагающим понятием арифметики и математики в целом. Однако их множество, пожалуй, выходит за грань обыденного понимания чисел. Долгое время человечество не использовало для описания явлений, например, отрицательные числа.

Обычно множество целых чисел определяется достраиванием множества натуральных чисел дополнительными элементами. Поэтому, перед тем, как дать определение целых чисел, необходимо ввести понятие натуральных чисел.

Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.

Для иллюстрации множества натуральных чисел отметим их на числовой оси. Для этого построим луч с началом в произвольной точке. Отметим на нем отрезки единичной длины, левый конец которых совпадает с окончанием предыдущего отрезка, а началом первого из них является начало луча.

Поставим в соответствие каждой из точек, отмеченной на прямой, свой порядковый номер. Эти номера являются натуральными числами, возникающими при счете числа точек на луче (рис. 1).

Рисунок 1 – числовой луч

Число точек на луче бесконечно и каждой ставится в соответствие свое натуральное число.

Дополним нашу числовую ось ненатуральными целыми числами. Отложим второй луч в противоположном первому направлении от точки начала первого луча. И также отложим на нем единичные отрезки (рис. 2)

Рисунок 2 – числовой луч

Добавим на ноль и отрицательные числа, чтобы получить иллюстрацию множества целых чисел (рис. 3).

Рисунок 3 – числовой луч

Делимость. Делитель и частное.

Определив натуральные и целые числа, мы можем через них дать понятие делимости чисел.

Целое число m делится на натуральное число n (или n делит m), если для числа m и числа n существует такое целое число q, что m = n · q.

Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.

Например, целое число – 10 делится на натуральное число 5, так как для этих двух чисел существует целое число –2, такое, что –10 = 5 · –2. При этом –10 – кратное числа 5, 5 – делитель 10, а –2 является частным от деления 10 на 5.

Заметим, что делимость можно определить по-разному. Вместо натурального числа n в определении выше, можно было бы задать n как целое число. Однако мы будем придерживаться определения, введенного в данном уроке.

Часто рассматривают лишь делимость натуральных чисел, хотя по определению кратное в общем случае является целым числом.

Свойства делимости.

Перечислим некоторые свойства делимости:

1. Все целые числа делятся на единицу.

2. Каждое целое число, неравное нулю делится на натуральное число равное модулю от данного целого.

3. Все натуральные числа являются делителями нуля.

4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.

5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.

6. Единственный делитель единицы – сама единица.

7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.

8. Пусть целое число a делится на натуральное число m, а число m в свою очередь делится на натуральное число k, тогда a делится на k (свойство транзитивности деления).

9. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.

Свойства делимости удобно использовать при доказательстве теорем и решении задач.

Взаимно простые числа.

Перечислим некоторые первые простые числа в порядке их возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это называется факторизацией натурального числа.

Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.

Наибольший общий делитель.

Например, для чисел 77 и 14 наибольший общий делитель равен 7: НОД (77, 14) = 7.

НОД чисел n и m равен 1 тогда и только тогда, когда числа n и m взаимно просты.

Делимость суммы и произведения.

Рассмотрим свойства делимости суммы разности и произведения чисел. Пусть a и b – целые числа, а m, n и k – натуральные числа.

1) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда числа a + b и a – b также делятся на m.

2) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда при любых k и n число k · a + n · b делится на m.

3) Пусть число a делится на m, а число b не делится на m, тогда числа a + b и a – b не делятся на m.

4) Пусть число a делится на m, а число b делится на n, тогда ab делится на mn.

5) Пусть число a делится на m и n, и при этом m и n – взаимно простые числа, тогда a делится на mn.

6) Пусть число a делится на m, тогда a k делится на m k .

Деление с остатком.

Натуральное число n можно представить в виде:

n = q · m + r ИЛИ n / m = q (остаток r)

где q – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …), m – натуральное число, r – целое неотрицательное число, меньшее m (0, 1, 2, …, m – 1).

Число n называют делимым, m – делителем, q – (неполным) частным, r – остатком (от деления).

Например, число 23 представимо в виде: 23 = 2 · 10 + 3, где 23 – делимое, 10 – делитель, 3 – остаток.

Алгоритм Евклида.

Нахождение наибольшего общего делителя пары чисел может стать весьма сложной задачей. Для упрощения решения подобных примеров существует алгоритм Евклида.

Пусть a и b– натуральные числа, не равные одновременно нулю, и верна последовательность чисел

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток r_k)

ИЛИ(остаток r_n)

ИЛИ (остаток 0)

То есть после первых двух шагов мы получаем последовательность остатков, делящихся друг на друга. При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.

НОД(a, b), равен , то есть последнему ненулевому члену этой последовательности.

Признаки делимости.

Зачастую в задаче требуется ответить, делится ли число на определенное целое число.

Для начала введем вспомогательные понятия, необходимые для формулирования признаков делимости.

Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.

Например, знакочередующаяся сумма всех цифр, записанных от нуля до девяти равна:

0 – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = – 5.

Например, трехзначные грани числа 6579813 это 6, 579, 813.

Таблица 1 – Признаки делимости

Число a делится на число n тогда и только тогда, когда

последняя цифра числа a делится на 2

сумма всех цифр числа a делится на 3

число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4

число a оканчивается цифрой 0 или 5

знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 7

число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8

сумма всех цифр числа a делится на 9

число a оканчивается цифрой 0

знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11

знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 13

число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25

Метод математической индукции для доказательства делимости.

1. Базис индукции.

Доказываем справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение верно.

2. Индукционное предположение.

Предполагаем, что утверждение верно для некоторого натурального значения k.

3. Шаг индукции (индукционный переход).

Доказываем, что утверждение справедливо для значения k+1.

Если утверждение оказалось справедливым при каждом доказательстве в предыдущих шагах, то утверждение верно для любого натурального числа n.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найдите среди чисел пары взаимно простых.

65, 30, 110, 1001, 273, 35, 14, 26

Для начала найдем среди представленных чисел группы, которые имеющие общий делитель не равный единице и которые точно не могут быть взаимно простыми друг для друга.

По признаку делимости на 2, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной. Значит, можно выделить первую группу чисел: 30, 110, 14, 26. Каждое из них делится на 2.

По признаку делимости на 5, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 5 или 0. Значит, можно выделить вторую группу чисел: 65, 30, 110, 35. Каждое из них делится на 5.

По признаку делимости на 7, число делится на 7 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 7. Значит, можно выделить третью группу чисел: 1001, 273, 35, 14. Каждое из них делится на 7.

По признаку делимости на 13, число делится на 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 13. Значит, можно выделить четвертую группу чисел: 65, 1001, 273, 26. Каждое из них делится на 13.

Очевидно, что внутри одной группы не могут находиться пары взаимно простых чисел. Поэтому искать такие пары нужно среди чисел, не принадлежащих одной группе. Начнем с 65. Единственным числом, которое остается после исключения из данных чисел всех, кто находится с ним в одной из групп, является 14.

Проведем аналогичные действия со всеми остальными данными числами, исключая найденные взаимно простые пары.

Получим возможные пары:

(30; 273) или (30; 1001)

(110; 1001) или (110; 273)

Чтобы быть уверенными в найденной паре, необходимо удостоверится, что НОД пары равен 1.

Проверим, действительно ли 65 и 14 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 65 = 5 · 13, 14 = 7 · 2. НОД(65, 14) = 1, они действительно взаимно простые.

Проверим, действительно ли 35 и 26 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 35 = 5 · 7, 26 = 13 · 2. НОД(35, 26) = 1, они действительно взаимно простые.

Проверим пару (30; 273). По признаку делимости на 3 они оба делятся на это число. Значит, они не взаимно простые.

Проверим, действительно ли 30 и 1001 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 30 = 3 · 2 · 5, 1001 = 13 · 11· 7. НОД(30, 1001) = 1, они действительно взаимно простые.

Осталось проверить пару (110; 273). Разложим каждое из них на простые множители. 110 = 2 · 5 · 11, 273 = 3 · 91 = 3 · 7 · 13. НОД(110, 273) = 1, они действительно взаимно простые.

Ответ: (65; 14), (30; 1001), (110; 273), (35; 26).

Найдите НОД(2457, 1473).

Решим задачу с помощью алгоритма Евклида.

Составим последовательность, включающую оба эти числа и остатки от деления предыдущих членов последовательности друг на друга:

2457 = 1 · 1473 + 984

1473 = 1 · 984 + 489

Последний ненулевой член этой последовательности оказался равен 3. Следовательно, НОД(2457, 1473) = 3.

Ответ: НОД(2457, 1473) = 3.

Определите, делится ли число 17943646 на 7.

Для начала разобьем это число на грани: 17|943|646. Получили числа 17, 943, 646. Найдем их знакочередующуюся сумму: 17 – 943 + 646 = –280. Число –280 делится на 7 нацело. Следовательно, по признаку делимости числа на 7 число 17943646 также делится на 7 нацело.

Ответ: число 17943646 делится на 7 без остатка.

Докажите делимость + 6n – 10 на 18 при любом натуральном n.

Воспользуемся методом математической индукции для решения задачи.

1. Проверим справедливость утверждения при n = 1:

+ 6 – 10 = 10 – 10 = 0

Ноль делится на любое натуральное число, значит на 18 тоже. Утверждение справедливо при n = 1.

2. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального значения k. Тогда + 6k – 10 делится на 18. То есть, по определению: + 6k – 10 = 18 · m, где m – целое число.

3. Рассмотрим выражение при n = k +1.

+ 6(k + 1) – 10 = 4 ⋅ + 6k + 6 – 10 = 4 ·+ 6k – 4

Воспользуемся нашим предположением о верности рассматриваемого утверждения для значения k:

+ 6k – 10 = 18m, следовательно = –6k + 10 + 18m.

Подставим полученное значение для в выражение при n = k + 1:

4. Утверждение оказалось справедливым при наименьшем натуральном числе n = 1 и при n = k + 1 с условием его верности при n = k. По методу математической индукции следует, утверждение справедливо при любом натуральном n. Что и требовалось доказать.

Деление – это действие, обратное умножению. Рассмотрим более подробно деление натуральных чисел.

Натуральными числами называют числа, используемые для счета. Каждому количеству предметов счета соответствует некоторое натуральное число. Если предметов для счета нет, то используется число 0, но при счете предметов мы никогда не начинают с 0, и соответственно число 0 нельзя отнести к натуральным. Понятно, что наименьшим натуральное число является единица. Наибольшего натурального числа не существует, потому что каким бы большим не было число, всегда можно прибавить к нему 1 и записать следующее натуральное число.

Разберем простейший пример деления: разделим число 30 на число 5 (остаток при делении числа 30 на число 5 равен 0), по сколку 30 = 5 • 6. Значит число 30 делится нацело на число 5. Число 5 - делитель числа 30, а число 30 — кратно числу 5.

Натуральное число k делится нацело на натуральное число n, если найдётся такое натуральное число m, для которого справедливо равенство k =n • m.

Или другими словами, чтобы разделить одно число на другое, надо найти такое трете число, которое при умножении на второе дает первое

Если натуральное число k делится нацело на натуральное число n, то число k называют кратным числа ,

число n — делителем числа k.

Числа 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 также являются делителями числа 30, а число 30 является кратным каждого из этих чисел. Заметим, что число 30 не делится нацело, например, на число 7. Поэтому число 7 не является делителем числа 30, а число 30 не кратно числу 7.

Легко записать все делители числа 6. Это числа 1, 2, 3 и 6. А можно ли перечислить все числа, кратные числу 6? Числа 6• 1, 6• 2, 6• 3, 6• 4, 6• 5 и т. д. кратны числу 6. Получаем, что чисел, кратных числу 6, — бесконечно много. Поэтому перечислить их все невозможно.

Вообще, для любого натурального числа k каждое из чисел

является кратным числа k.

Наименьшим делителем любого натурального числа k является число 1, а наибольшим делителем — само число k.

Среди чисел, кратных числу k, наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число k.

Каждое из чисел 21 и 36 делится нацело на число 3, и их сумма, число 57, также делится нацело на число 3. Вообще, если каждое из чисел k и n делится нацело на число m, то и сумма k + n также делится нацело на число m.

Каждое из чисел 4 и 8 не делится нацело на число 3, а их сумма, число 12, делится нацело на число 3. Каждое из чисел 9 и 7 не делится нацело на число 5, и их сумма, число 16, не делится нацело на число 5. Вообще, если ни число k, ни число n не делятся нацело на число m, то сумма k + n может делиться, а может и не делиться нацело на число m.

Число 35 делится без остатка на число 7, а число 17 на число 7 нацело не делится. Сумма 35 + 17 нацело на число 7 также не делится. Вообще, если число k делится нацело на число m и число n не делится нацело на число m, то сумма k + n не делится нацело на число m.

Признак делимости — это алгоритм, который помогает быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Рассмотрим алгоритмы для чисел от 1 до 10.

О чем эта статья:

Понятие делимости

Признаки делимости чисел — это особенности чисел, которые позволяют определить, кратно число делителю или нет.

Все целые числа делятся на единицу.

Каждое целое число, не равное нулю, делится на натуральное число, равное модулю от данного целого.

Все натуральные числа являются делителями нуля.

Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.

Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.

Единственный делитель единицы — сама единица.

Чтобы целое число a делилось на натуральное число b, необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.

Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.

Свойства делимости можно использовать при решении задач и доказательстве теорем.

Четные числа — это числа, которые делятся на два: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т. д. Ноль тоже относится к четным числам.

Нечетные числа — это числа, которые на два не делятся: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и т. д.

Признаки делимости

Рассмотрим признаки делимости на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Признак делимости на 1

Каждое целое число делится на 1.

Признаки делимости на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра четная.

Пример: число 2164 делится на 2, так как последняя цифра (6) — четная.

Признаки делимости на 3

На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

Пример: число 81 300 делится на 3, так как сумма его цифр 8 + 1 + 3 + 0 + 0 = 12 делится на 3.

Признаки делимости на 4

Число делится на 4, если две последние его цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.

число 37 100 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями;

число 7524 делятся на 4, так как две последние цифры (24) делятся на 4.

Признаки делимости на 5

На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5.

Пример: число 450 делится на 5, так как последняя цифра 0.

Признаки делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.

число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3;

число 861 не делится на 6, так как оно делится на 3, но не делится на 2.

Признаки делимости на 7

Делимость на число 7 можно проверить так:

Последнюю цифру числа умножить на два.

Полученное произведение вычесть от оставшегося числа (без последней цифры).

Полученная разность должна быть кратна 7.

Пример: число 343 делится на 7, так как 34 − (2 · 3) = 28, и 28 делится на 7.

Признаки делимости на 8

На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8.

число 11 000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями;

число 12 128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.

Признаки делимости на 9

На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

Пример: число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.

Признаки делимости на 10

На 10 делятся те числа, которые оканчиваются на ноль или несколько нулей.

число 980 делится на 10;

число 462 не делится на 10 — последняя цифра 2.

Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Читайте также: