Числовые последовательности и операции над ними кратко

Обновлено: 05.07.2024

Запишем несколько первых чётных чисел и пронумеруем их:

Этот ряд бесконечен, но, глядя на таблицу, его легко задать формулой: \begin \mathrm> \end

Теперь, пользуясь формулой, для любого порядкового номера n мы сможем найти соответствующее чётное число.

Функцию натурального аргумента $\mathrm>$ называют числовой последовательностью .
Значения y₁, y₂, . y_n. называют членами последовательности .
В символе y_n число n называют индексом последовательности .

Для обозначения членов последовательности и их индексов можно использовать разные буквы: x₁, x₂, . x_m. ; a₁, a₂, . a_k. ; A₁, A₂, . A_s. и т.д.

Числовую последовательность как частный случай функции можно задавать аналитически (формулой), описанием (словесно), рекуррентно, графически и т.д.
Первые три способа используются чаще других.

Например:
Найти 1й, 3й и 4й члены последовательности, заданной формулой $\mathrm>$ $$ \mathrm< y_1=\frac=0,\ \ y_3=\frac=\frac12,\ \ y_4=\frac=\frac35 > $$

п.2. Задание последовательностей описанием

Кроме того, существуют такие последовательности, которые можно задать только описанием.

Например:
1. Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

2. Последовательность десятичных приближений числа $\mathrm>$ по недостатку:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,7302050; 1,73020508,…

п.3. Рекуррентные формулы числовых последовательностей

Важнейшим классом числовых последовательностей, которые широко используются в алгоритмах вычислительной математики, являются рекуррентные отношения (от латинского слова recurrere – возвращаться).

Рекуррентной формулой называют правило, по которому можно найти n-й член последовательности, если известны значения её предыдущих членов.

Например:
Найти y₅, если y₁ = 1, y_n = 2y_n-1 + 1
Проводим последовательные вычисления:
y₂ = 2y₁ + 1 = 3, y₃ = 2y₂ + 1 = 7, y₄ = 2y₃ + 1 = 15, y₅ = 2y₄ + 1 = 31
Интересно, что, если присмотреться, эту последовательность можно также задать аналитически: y_n = 2 n – 1.

п.4. Свойства числовых последовательностей

Числовую последовательность называют возрастающей , если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего: y₁

Например:
Последовательность квадратов натуральных чисел y_n = n 2 возрастающая:

Числовую последовательность называют убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше предыдущего: y₁ > y₂ > y₃ > . > y_n > .

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе $\mathrm$ – убывающая: $$ 1\gt\frac12\gt\frac13\gt. \gt\frac1n\gt. $$

Числовую последовательность называют ограниченной сверху , если существует такое число M, что для любого члена последовательности выполняется неравенство y_n ≤ M

Например:
Последовательность отрицательных дробей с индексом в знаменателе $\mathrm$ ограничена сверху числом M = 0: $$ -1\lt 0,\ \ -\frac12\lt 0,\ \ -\frac13\lt 0. \ \ -\frac1n\lt 0, . $$

Числовую последовательность называют ограниченной снизу , если существует такое число M, что для любого члена последовательности выполняется неравенство y_n ≥ M

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе $\mathrm$ ограничена снизу числом M = 0: $$ -1\gt 0,\ \ \frac12\gt 0,\ \ \frac13\gt 0. \ \ \frac1n\gt 0, . $$

Числовую последовательность называют ограниченной , если она ограничена сверху и снизу, т.е. существуют такие числа M и K, что для любого члена последовательности выполняется неравенство M ≤ y_n ≤ K или M ≥ y_n ≥ K

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе $\mathrm$ ограничена: $$ 1\gt \frac12\gt \frac13\gt . \gt \frac1n\gt . \gt 0 $$ Верхней границей является M = 1, нижней границей K = 0.

Числовую последовательность называют стационарной , если для любого члена последовательности выполняется равенство y_n = C где C - некоторое число.

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной формулой
a) $\mathrm>$

Пример 2. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной рекуррентной формулой
a) y₁ = 3, y_n = 3y_n – 1

Пример 3*. Укажите какую-либо формулу для n-го члена числовой последовательности

а) 3, 5, 7, 9, .
Это – последовательность нечётных чисел, для которой:
y_n = 2n + 1

б) 5, -5, 5, -5.
Это – знакопеременная последовательность, для которой модуль всегда равен 5, а знак меняется. Изменение знака можно записать как степень (–1). Учитывая, что нечётные члены последовательности положительные, а чётные – отрицательные, получаем:
y_n = (–1) n+1 · 5

в) $\mathrm,\ \ \frac,\ \ \frac. >$
Это – последовательность дробей, у которых в знаменателе произведение текущего индекса n на следующий индекс (n + 1):
$\mathrm$

г) 2, 5, 10, 17, 26, 37, .
Заметим, что

5 - 2 = 3, 10 - 5 = 5, 17 - 10 = 7, 26 - 17 = 9, .

Каждый последующий член отличается от предыдущего на возрастающее нечётное число. Можем записать рекуррентную формулу:
y₁ = 2, y_n = y_n-1 + (2n –1)

и т.д.
Задайте эту последовательность 1) рекуррентной формулой; 2) аналитической формулой.

1) Запишем последовательность в явном виде, как это следует из чертежа: $$ \mathrm< y_1=1,\ \ y_2=\underbrace_+2=3,\ \ y_3=\underbrace_+3=6,\ \ y_4=\underbrace_+4=10 > $$ Отсюда получаем следующую рекуррентную формулу: y₁ = 1, y_n = y_n-1 + n

Общий член последовательности является функцией от .

Таким образом, последовательность является функцией натурального аргумента.

Задать последовательность можно различными способами. Необходимо только, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример.

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1) Умножение последовательности на число : , т.е.

2) Сложение (вычитание) последовательностей: .

3) Произведение последовательностей: .

4) Частное последовательностей: при .

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого справедливо неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат отрезку .

Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если для любого существует такое число , что

Определение. Последовательность называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число , что

Пример. – ограничена снизу .

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного существует такой номер , что для всех выполняется неравенство:

Обозначение: . В этом случае говорят, что последовательность сходится к при .

Пример. Доказать, что предел последовательности .

Пусть при верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при последовательность имеет пределом число 2. Имеем ; .Для любого положительного числа существует такое натуральное число , что , т.е. .

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность имеет два предела и , не равные друг другу.

Тогда по определению существует такое число , что

Так как - любоеположительноечисло, то , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если , то .

Доказательство. Из следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если , то последовательность ограничена.

Необходимо отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательность не имеет предел. В то же время

Монотонные последовательности

Определении

1) Если для всех , то последовательность называется возрастающей.

2) Если для всех , то последовательность называется неубывающей.

3) Если для всех , то последовательность называется убывающей.

4) Если для всех , то последовательность называется невозрастающей.

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. – убывающая и ограниченная; – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность монотонная и возрастающая.

Найдем -й член последовательности

Найдем знак разности:

, т.к. , то знаменатель положительный при любом .

Таким образом, . Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

Найдём . Определим разность , так как , то , т.е. . Последовательность монотонно убывает.

Заметим, что монотонные последовательности являютс ограниченными по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

Эта последовательность ограничена сверху: , где – некоторое число. Так как любое ограниченное сверху, числовое множество имеет точную верхнюю грань, то для любого существует число такое, что , где – точная верхняя грань множества значений последовательности.

Так как - неубывающая последовательность, то при ,

. Отсюда или или , т.е. .

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично. Теорема доказана.

Число е

Рассмотрим последовательность .Если последовательность монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел. По формуле бинома Ньютона:

Покажем, что последовательность – возрастающая. Действительно, запишем выражение и сравним его с выражением :

Каждое слагаемое в выражении больше соответствующего значения , и, кроме того, у последовательности добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, для любого натурального числа , т.е последовательность возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: .

Таким образом, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Ключевые слова конспекта: числовая последовательность, способы, конечные и бесконечные, возрастающие и убывающие. Раздел ОГЭ по математике: 4.1. Понятие последовательности.

В школьном курсе рассматриваются только числовые последовательности. Например:
1; 2; 3; 4; 5; … – последовательность натуральных чисел;
1; 3; 5; 7; 9; … – последовательность нечётных чисел;
1; 4; 9; 16; 25; … – последовательность квадратов натуральных чисел.

Числовая последовательность — это занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров. Члены последовательности в общем случае обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, а₁, а₂; а₃; а₄; а₅; … .

Член последоватeльности с произвольным номером n обозначают символом а_n и называют n–м членом последовательности. Тогда a_n_-1 и а_n+1 соответственно члены последовательности, предшествующий n–му члену и следующий за ним. Саму последовательность обозначают так: (а_n).

Последовательность задана, если известен способ, позволяющий найти любой её член. Последовательности чаще всего задают двумя способами:

с помощью формулыn–го члена, т. е. формулы, которая позволит определить любой член последовательности по его номеру. Например, если последовательность задана формулой x_n = x 2 + 1, то пятый член последовательности x₅ = 5 2 + 1 = 26;
с помощью рекуррентной формулы, т. е. формулы, которая выражает любой член последовательности через предыдущий. Например, a_n+1 = a_n – 1,5, тогда, если а₁ = 17, то а₂ = 17 – 1,5 = 15,5 и т. д.

Последовательнoсти бывают конечные и бесконечные.

Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов, например 3, 6, 9, 12. Конечной является последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Последовательность всех натуральных чисел бесконечна.

Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего: x_n+1 > x_n. Например, последовательность 3, 6, 9, 12, … 3n … — возрастающая. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего: x_n+1

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Содержание

Определение

Пусть множество — это либо множество вещественных чисел " width="" height="" />
, либо множество комплексных чисел " width="" height="" />
. Тогда последовательность _^<\infty>" width="" height="" />
элементов множества называется числовой последовательностью.

Примеры

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве . Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множестве определена -арная операция :

$f \colon X^N \rightarrow X$

Тогда для элементов )_^\infty" width="" height="" />
, )_^\infty" width="" height="" />
, …, )_^\infty" width="" height="" />
множества всех последовательностей элементов множества операция будет определяться следующим образом:

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Разностью числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Произведением числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Частным числовой последовательности и числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность \right)_^\infty" width="" height="" />
. Если в последовательности на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность \right)_^" width="" height="" />
.

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности — это последовательность )" width="" height="" />
, где — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

Для всякой подпоследовательности )" width="" height="" />
верно, что .

Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

ограниченная

Свойства ограниченных последовательностей

Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
Для любого наперёд взятого положительного числа все элементы ограниченной числовой последовательности ^<\infty>" width="" height="" />
, начиная с некоторого номера, зависящего от , лежат внутри интервала x_n - \varepsilon, \varlimsup_ x_n + \varepsilon \right)" width="" height="" />
.
Если за пределами интервала лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности ^<\infty>" width="" height="" />
, то интервал x_n, \varlimsup_ x_n \right)" width="" height="" />
содержится в интервале .
Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
Если — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно малой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно малой.
Если — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно большой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества , имеющая предел в этом множестве.
Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
Если последовательность сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.
Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
Любую сходящуюся последовательность можно представить в виде , где — предел последовательности , а — некоторая бесконечно малая последовательность.
Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Читайте также: