Арифметический квадратный корень кратко

Обновлено: 02.07.2024

Квадратный корень из числа " width="" height="" />
— это такое число, , то есть решение уравнения =a>" width="" height="" />
относительно переменной " width="" height="" />
. [1] [2]

Содержание

Рациональные числа

При натуральных " width="" height="" />
уравнение =a>" width="" height="" />
не всегда разрешимо в рациональных числах. Более того, такое уравнение, даже при положительном " width="" height="" />
, разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда когда и числитель и знаменатель числа " width="" height="" />
, представленного в виде Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к наничивает точность приближения: , где " width="" height="" />
зависит от [3] [4] . Верно и " width="" height="" />
то, что любая периодическая цепная дробь является Действительные (вещественные) числа

$<\displaystyle a> Теорема. Для любого положительного числа$
существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку. [5]

$<\displaystyle \!a> Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа$
называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием [6] .

Комплексные числа

$<\displaystyle <\sqrt > Над полем часто обозначают как >$
, однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:

$<\displaystyle -1=(<\sqrt <-1> >)^=<\sqrt <(-1)^>>=>=1>$

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

$<\displaystyle \!a=|a|e^<i\phi > >$
,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k = 0 и k = 1 , таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.Ты втираешь мне какую то дичь!

$<\displaystyle y=<\sqrt <x> График функции >>$

$<\displaystyle \!\alpha =1/2> Квадратный корень является с$
. Арифметический квадратный корень является гладким при , в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем. [7]

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, листы которой соединяются в нуле.

Обобщения

В — . Элемент " width="" height="" />
называется квадратным корнем из " width="" height="" />
если " width="" height="" />
.

Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. [11]

Квадратный корень в информатике

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Разложение в ряд Тейлора

$<\displaystyle <\sqrt <1+x> >=\sum _^<\infty >(2n)!>(4^)>>x^=1+\textstyle >x->x^+>x^->x^+\dots ,\!>$
при " width="" height="" />
.

Арифметическое извлечение квадратного корня

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

>" width="" height="" />
>" width="" height="" />
>" width="" height="" />
^=n^>" width="" height="" />

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:

" width="" height="" />
" width="" height="" />
" width="" height="" />

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

Если требуется найти квадратный корень с точностью до нескольких знаков после запятой, то этот метод по-прежнему можно использовать, хотя он и становится очень затратным. Исходное число следует дополнить соответствующим количеством пар нулей, а результат потом соответствующее количество раз поделить на 10. Например, для вычисления корня из 2 с точностью до одного знака нужно исходное число дополнить одной парой нулей, получив 200. В процессе извлечения квадратного корня из 200 описанным методом будет произведено 14 действий вычитания, что после однократного деления на 10 даёт результат 1,4. Для получения корня из 2 с точностью до двух знаков (результат 1,41) потребуется фактически извлекать корень из 20000, что потребует уже 141 действия вычитания.

Грубая оценка

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1 , пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S , пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1 , тогда используем >\approx 2\cdot 10^.>" width="" height="" />
Если D чётно, D = 2n + 2 , тогда используем >\approx 6\cdot 10^.>" width="" height="" />

$<\displaystyle <\sqrt <\sqrt <1\cdot 10> Два и шесть используются потому, что >>=<\sqrt[<4>]>\approx 2\,>$
и >>=<\sqrt[<4>]>\approx 6\,.>" width="" height="" />

При работе в (здесь D это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня

$<\displaystyle |BH|=<\sqrt <|AH|\cdot |HC|> >>$

В частности, если " width="" height="" />
, а " width="" height="" />
, то >>" width="" height="" />
[12]

Итерационный аналитический алгоритм

$<\displaystyle <\begin x_=>\left(x_+<\frac <x_>>\right)\\x_=a\end>>$

$<\displaystyle \lim _<n\to \infty > тогда x_=>$

Столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на N с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234,567 можно представить, как 03 12 34, 56 70 . В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

Наглядное описание алгоритма:

См. также

Примечания

Читайте также: