Задачи приводящие к понятию производной конспект

Обновлено: 07.07.2024

Воспитательные: продолжить воспитывать познавательную активность, самостоятельность, диалоговую культуру, интерес к предмету, поисково-познавательную деятельность.

Методы обучения: частично - поисковый, объяснительно - иллюстративный.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.

I. Организационный момент (1-2 мин.)

II. Актуализация и проверка усвоения изученного материала(5-6 мин.)

III. Устная работа класса (5-7 мин.)

IV. Изучение нового материала (20-25 мин.)

V. Подведение итогов урока (2-3 мин.)

VI. Домашнее задание (1-2 мин.)

Приветствие класса учителем;

отмечает с дежурными отсутствующих.

Проверка домашнего задания.

1.Дайте определение предела функции на бесконечности. Геометрический смысл. (Графики на интерактивной доске Слайд №2)

2.Дайте определение предела функции в точке. Какая функция называется непрерывной в точке?

3.Дайте определение приращения аргумента и приращения функции.

1. Пусть дана функция , в области определения которой содержится луч [а; ), и пусть прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции : . И говорят: предел функции при стремлении х к плюс бесконечности равен b) Если же дана функция , в области определения которой содержится луч (-; а], и прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции , то в этом случае: . И говорят, что предел функции при стремлении х к минус бесконечности равен b)

2. Число b называют пределом функции при стремлении х к а, = b

Функцию называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение

С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели - пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю.

(Слайд 3) Впервые название этой модели и ее обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году - основоположник дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в Берлине, он же рекомендовал Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию производной:

Задача о скорости движения. (Слайд 4)

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела. Закон движения задан формулой S = S(t), т.е. каждому моменту времени t соответствует определённое значение пройденного пути S. Найти скорость движения тела в момент времени t.

Решение: Пусть в момент времени t тело находится в точке М.

Дадим аргументу t приращение Δt, за это время тело переместится в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь ΔS.

Итак, за время Δt тело прошло путь ΔS.

Что можно найти, зная эти два значения?

, т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени .

Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден.

В физике часто идёт речь о скорости v(t), т.е. скорости в определённый момент времени t, часто её называют мгновенной скоростью.(Слайд 5)

Можно рассуждать так: мгновенную скорость получим если Δt, т.е. Δt выбирается всё меньше и меньше, т.е.

Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость - это производная пути по времени: v = S ′ (t)

Еще одна задача, приводящая к понятию производной, - задача о касательной к графику функции .

Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную к графику

Прямая АВ - секущая, ee уравнение y = k_секх +b, где k_сек - угловой коэффициент секущей,

k_сек =∆y/∆x = tg α_сек, где α_сек - угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).

Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению - к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей: = k_кас, причем k_кас = tg α, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.

Значит, k_кас = tg α =

Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой равен производной функции в этой точке: k_кас = tg α = f ′ ()

Итак, две различные задачи привели к одной и той же математической модели - пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи физики, химии, экономики

и т. д. приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучить.

Итак, введем понятие производной: (Слайд 9)

Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции (при переходе от точки к точке ) и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают (). Итак, .

Обозначается или , где df - дифференциал функции, dx - дифференциал аргумента (дифференциал - бесконечно малое приращение).

Если функция имеет производную в точке х_о, то ее называют дифференцируемой в точке х_о. Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции.

- Урок подходит к концу, давайте повторим, кто является основоположником дифференциального и интегрального исчисления?

Задача 1 (о скорости движения). Материальная точка движется по прямой, на которой заданы начало отсчёта, единица измерения (метр) и направление. Закон движения задан формулой \(s=s(t)\), где \(t\) — время (в секундах), \(s(t)\) — расстояние материальной точки от начала отсчёта (её координата) в момент времени \(t\) (в метрах). Найти скорость движения материальной точки в момент времени \(t\) (в \(м/с\)).

Решение. Пусть в момент времени \(t\) материальная точка была в положении \(T\).

В момент времени t + Δ t материальная точка будет в точке \(K\), то есть OK = s t + Δ t .

Значит, за Δ t секунд материальная точка переместилось из \(T\) в точку \(K\). Имеем: TK = OK − OT = s t + Δ t − s ( t ) . Полученную разность мы назвали приращением функции: s t + Δ t − s ( t ) = Δ s . Итак, TK = Δ s ( м ) . Средняя скорость v ср движения материальной точки за промежуток времени t ; t + Δ t равна v ср = Δ s Δ t \((м/с)\).

А скорость \(v(t)\) в момент времени \(t\) (мгновенная скорость) — это тоже скорость движения за промежуток времени t ; t + Δ t , но Δ t выбирается очень маленьким, почти равным нулю, то есть Δ t → 0 . Это значит, что v ( t ) = lim Δ t → 0 v ср .

Задача 2 (о касательной к графику функции). На графике функции \(y=f(x)\) взяли точку \(M(a;f(a))\) и в этой точке провели касательную к графику функции. Необходимо определить угловой коэффициент этой касательной.

Решение. Дадим аргументу приращение Δ x и рассмотрим на графике точку \(P\) с абсциссой a + Δ x . Ордината точки \(P\) равна f a + Δ x . Угловой коэффициент секущей \(MP\) равен тангенсу угла между секущей и осью \(x\): k сек = Δ y Δ x .

При Δ x , стремящемся к нулю, точка \(P\) будет приближаться по графику к точке \(M\). При этом касательная будет предельным положением секущей. Значит, угловой коэффициент касательной равен k кас = lim Δ x → 0 k сек . Используя приведённую выше формулу для k сек , получаем:

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной. Физический и геометрический смысл производной.

1 ) ввести понятие производной;

2) рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной;

3) рассмотреть примеры на вычисление производной по определению

4) закрепить умение применять физический и геометрический смысл производной на конкретных примерах из ЕГЭ.

I . Организационный момент ( 3 мин )

Сообщить тему и цели урока.

II . Проверка домашнего задания. Актуализация знаний учащихся.(10 мин)

Два ученика у доски решают №39.40 (б) и 39.43(а) из домашнего задания, в это время идет фронтальный опрос, после которого обсуждается решение примеров на доске. Два ученика на крыльях доски оформляют свое индивидуальное домашнее творческое задание ( применить алгоритм нахождения производной базовых функций.)

Устно по учебнику№39.1

Фронтальный опрос.( слайд2)

Дать определение функции.

Дать определение предела функции на бесконечности. Геометрический смысл.

Дать определение предела функции в точке. Какая функция называется непрерывной в точке?

Устно определить тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ( слайды 3-4)

Дать определение приращения аргумента и приращения функции.

Определение приращения функции и приращения аргумента.( слайд 5)

III . Изучение нового материала. (20мин.)

Ученик (небольшая историческая справка)

С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю. Впервые название этой модели и ее обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году – основоположник дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в Берлине, он же рекомендовал Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница.

Мы рассмотрим две задачи, которые приводят к понятию производной.

1. Задача о скорости движения.(слайд7)

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела. Закон движения задан формулой S = S ( t ), т.е. каждому моменту времени t соответствует определённое значение пройденного пути S . Найти скорость движения тела в момент времени t .

Решение: Пусть в момент времени t тело находится в точке М.

Дадим аргументу t приращение Δ t , за это время тело переместится в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь Δ S .

Итак, за время Δ t тело прошло путь Δ S .

Что можно найти, зная эти два значения?

, т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени .

Определение: Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден.

В физике часто идёт речь о скорости v ( t ), т.е. скорости в определённый момент времени t , часто её называют мгновенной скоростью.

Можно рассуждать так: мгновенную скорость получим если Δ t , т.е. Δ t выбирается всё меньше и меньше, т.е.

2. Еще одна задача, приводящая к понятию производной, – задача о касательной к графику функции 𝒚 = f ( 𝑥 ). Сначала напомнить определения касательной и секущей к графику(слайд8)

Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную к графику(слайд9)

Прямая АВ – секущая, ee уравнение y = k _сек х + b , где k _сек – угловой коэффициент секущей,

k _сек =∆ y /∆ x = tg α _сек , где α _сек – угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).

Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению – к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей: = k _кас , причем k _кас = tg α, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.

Значит, k _кас = tg α =

Итак, определение производной: (слайд11)

Производная непрерывной функции в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначается f ′ (х) или df / dx , где df – дифференциал функции,

dx - дифференциал аргумента (дифференциал – бесконечно малое приращение).

Если функция имеет производную в точке х _о , то ее называют дифференцируемой в точке х _о . Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции.

Вывод.(слайд12) Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость – это производная пути по времени:

Вспомним определение ускорения: а = ∆ v /∆ t , но если ∆ t 0, то

а = Итак, задача механики о нахождении скорости тела в любой момент времени решена. Нужно только вычислить предел отношения приращения пути к приращению времени, если приращение времени стремится к нулю, т. е. найти производную пути.

Вывод.(слайд13) Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой 𝑥 равен производной функции в этой точке:

Алгоритм нахождения производной функции у = f ( x ) (слайд14)

Зафиксировать значение х, найти f ( x ).

Дать аргументу приращение Δ х, перейти в новую точку х + Δ х, найти f ( x + Δ х).

Найти приращение функции Δ у = f ( x + Δ х) - f ( x ).

Составить отношение Δ у\ Δ х

Вычислить lim Δ у\ Δ х при Δ х стремящемся к 0

Этот предел и есть f ’( x ).

заслушать творческое задание на доске и записываем в тетрадь

Найти производную функции y =.