Взаимное расположение прямой и окружности конспект

Обновлено: 05.07.2024

Конспект
Рассмотрим окружность с центром в точке О и прямую a, её не пересекающую.
Расстояние от центра окружности до прямой равно длине перпендикуляра ОВ.

Это расстояние больше радиуса окружности.
Будем перемещать прямую, параллельно самой себе в сторону центра окружности. В определённый момент, прямая коснется окружности.

Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку называется касательной к окружности.
Общая точка прямой и окружности называется точкой касания.
Будем передвигать прямую далее к центру. Прямая пересечет окружность в двух точках.
Расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса.

Продолжая движение дальше, мы получим еще одну касательную к окружности.

Продолжим движение прямой дальше, она опять не будет иметь с окружностью общих точек.
Расстояние от центра окружности опять больше её радиуса.

Рассмотрим случай, когда прямая имеет с окружностью одну общую точку.

Сформулируем свойство касательной.
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Дано: Окружность с центром О, a – касательная, B – точка касания.
Доказать: a ⊥ OB
Доказательство:
Пусть утверждение неверно, т.е. прямая a не перпендикулярна радиусу OB. Тогда OB – наклонная к прямой a. Перпендикуляр меньше наклонной, тогда расстояние от центра O до прямой a меньше радиуса. Следовательно, прямая a и окружность имеют 2 общие точки. Но это противоречит условию, т.к. прямая a – касательная. Значит наше предположение неверно и a ⊥ OB.
Верно и обратное утверждение:
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Проведем к окружности две касательные из одной точки, не принадлежащей окружности.

Выполняется утверждение:
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Докажите его самостоятельно, используя равенство треугольников AOВ и AOС.
Дано: окружность с центром O, касательные AB и AC
Доказать: AB = AC, ∠OAB = ∠OAC
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспект урока по геометрии для учащихся 8 класса средних общеобразовательных учреждений.

- образовательная – ввести возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности, рассмотреть задачи на применение данной темы

ввести различные случаи расположения прямой и окружности;

рассмотреть задачи на применения данных темы.

- развивающая – развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;

- воспитательная – воспитание дисциплины, аккуратности, чувства ответственности, уверенности в себе.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный, дедуктивно-исследовательский.

Требования к знаниям, умениям, навыкам:

Учащиеся должны знать: взаимное расположение прямой и окружности

Учащиеся должны уметь: решать задачи на применение данной темы.

Оборудование: доска,линейка,циркуль.

Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразоват. учреждений / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – 2-е изд. – М.: Просвещение, 20014. – 383 с.

1) Организационный момент (2 мин.);

2) Актуализация знаний (7 мин.);

3) Изучение нового материала (10 мин.);

4) Первичное закрепление материала (23 мин.);

5) Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин.).

Организационный момент

Приветствие учителем учащихся, проверка готовности класса к уроку и проверка отсутствующих.

Актуализация знаний.

Запись на доске и в тетрадях: Число.

Взаимное расположение прямой и окружности

Учитель: Прежде чем начать изучение нового материала, давайте вспомним, что такое окружность?

Ученик: Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всехточек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Учитель: Что такое радиус?

Ученик: Радиус окружности - отрезок ,соединяющий центр с какой-либо точкой окружности.

Учитель: Что называется хордой?

Ученик: Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Учитель: А как называется хорда, проходящая через центр окружности?

Изучение нового материала

Учитель: А теперь преступим к изучению нового материала. Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их расположения.

1 случай взаиморасположения прямой и окружности.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности ( d r ), то прямая и окружность имеют две общие точки

d -это расстояние от центра окружности до прямой АВ

r -это радиус окружности.
В этом случае АВ называется секующей по отношению к окружности.

Запись на доске и в тетради:

d -это расстояние от центра окружности до прямой АВ

r -это радиус окружности.
АВ-секущая

2 случай расположения прямой и окружности

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

В этом случае прямую p называют касательной относительно к окружности

Запись на доске и в тетради:

В этом случае прямую p называют касательной относительно к окружности

Учитель: И последний случай расположения прямой и окружности

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Запись на доске и в тетради:

Первичное закрепление материала

Учитель: А теперь мы с вами разберем несколько номеров, чтобы закрепить рассмотренную новую тему.

№ 631 стр.166(устно). Пусть d -расстояние от центра окружности радиуса r до прямой р. Каково взаимное расположение прямой р и окружности, если:

а) r =16 см, d =12см;(имеют 2 общие точки)

б) r =5 см, d =4,2см;(имеют 2 общие точки)

в) r =7,2 см, d =3,7см;(имеют 2 общие точки)

г) r =8 см, d =1,2дм;(не имеют общие точки)

д) r =5 см, d =50 мм;(имеют 2 общие точки)

Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая ,проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности

Подведение итогов урока и домашнее задание.

Учитель: Сегодня на уроке мы рассмотрели расположение прямой и окружности. В каком случае прямая и окружность имеют 2 общие точки.

Ученик: В случае, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса.

Учитель: В каком случае прямая и окружность не имеют общих точек?

Ученик : В случае ,если расстояние от центра до прямой больше радиуса окружности.

Учитель: Если прямая и окружность имеют одну общую точку, то как в этом случае называется прямая?

Учитель: Запишите задание на дом. § 1 п.70,стр.162

Запись на доске и в тетрадях:

Д/з: § 1 п.70,стр.162

Учитель: если есть ко мне какие-то вопросы, задавайте.

Учитель: Урок окончен. До свидания.

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 611 031 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

25.10.2015 13914
DOCX 214.8 кбайт
600 скачиваний
Рейтинг: 2 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Зимина Анастасия Игорьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Время чтения: 2 минуты

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Школы граничащих с Украиной районов Крыма досрочно уйдут на каникулы

Время чтения: 0 минут

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Взаимное расположения прямой и окружности"

Прежде чем приступить к новой теме, давайте вспомним, что такое окружность и вспомним основные элементы окружности.

Напомню, что окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, равноудаленных от точки О, которую называют центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности, называется радиусом. Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром и равна двум радиусам.

Сегодня мы выясним, сколько общих точек могут иметь окружность и прямая. Если прямая p проходит через центр окружности, то, очевидно, она имеет с окружностью две общие точки.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда прямая p не проходит через центр окружности. Опустим на прямую перпендикуляр из центра окружности и обозначим его буквой d. Длина этого перпендикуляра – расстояние от центра окружности до данной прямой p.

Теперь давайте попробуем определить взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения d и радиуса окружности. Возможны три случая:

Первый случай.

Получим, что ОА и ОB равны радиусу окружности, то есть точки А и B лежат на окружности. А, значит, они являются общими точками прямой p и окружности.

А может быть есть еще общие точки, у прямой и окружности? Допустим, что, действительно, есть еще одна общая точка C. Тогда медиана ОD равнобедренного треугольника OBC, проведенная к основанию AC, является высотой, то есть перпендикулярна прямой p. Поскольку середина отрезка AB – точка H не совпадает с серединой отрезка AC – точкой D, значит, отрезки ОD и ОH не совпадают. Получается, что из точки О проведены два перпендикуляра к прямой p, а такого быть не может.

То есть доказали, что если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки. В таком случае, прямая называется секущей по отношению к окружности.

Рассмотрим второй случай.

В этом случае, длина перпендикуляра ОH=r, то есть точка H лежит на окружности. Больше общих точек у прямой и окружности нет.

Докажем это. Возьмем на прямой точку М. В любом случае ОМ будет больше OH, следовательно, точка М не будет лежать на окружности.

Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. В таком случае, прямая называется касательной к окружности.

Теперь, давайте, рассмотрим третий случай.

В этом случае, , то есть, окружность и прямая не имеют общих точек. Можно сказать, что если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Задача. Определить взаимное расположение прямой и окружности, если:

а) , ; б) , ; в) , ;

а) , прямая является секущей для окружности и они имеют две общие точки

б) , прямая и окружность не пересекаются

в) , прямая и окружность имеют одну общую точку

Задача. Диаметр окружности равен см а расстояние от центра окружности до прямой равно: см дм мм см

дм см.

Найдем радиус окружности.

см

Теперь сравним получившийся радиус с расстоянием от центра окружности до прямой. Не забудем все перевести в одни единицы измерения.

дм см

мм см

дм см

Получим, что с прямой, расстояние до которой равно четырем целым пятнадцать сотых сантиметра, окружность имеет две общие точки.

С прямой, расстояние до которой равно двум дециметрам или двадцати сантиметрам, окружность не имеет общих точек.

С прямой, расстояние до которой равно сто три миллиметра, окружность не имеет общих точек.

Задача. Даны окружность с центром в точке и точка . Где находится точка , если см, а длина отрезка равна: см, см, мм.

Решение. Для определения места положения точки А, сравним длину отрезка ОА с радиусом окружности.

Получим, что в случае, когда длина отрезка равна 4 сантиметрам, точка А лежит внутри окружности), в случае, когда ОА равно 10 сантиметрам, точка А лежит вне окружности (). В случае, когда ОА равно 50 миллиметрам или, что тоже самое, 5 сантиметрам, точка А лежит на окружности( мм см)

Итак, сегодня на уроке мы рассмотрели три случая взаимного расположения прямой и окружности, в зависимости от соотношения расстояния от центра окружности до прямой и радиуса окружности. Повторим их.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

Разработка урока по геометрии 8 класс "Взаимное расположение прямой и окружности" в соответствии с ФГОС. Технологическая карта урока. Презентация. Автор: Федотова Е.В.

Конспект урока геометрии, 8 класс

Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний.

Содержательная цель урока: познакомить с тремя случаями взаимного расположения прямой и окружности, с понятием касательная к окружности, обучить использовать полученные на уроке факты, определения для решения задач.

Дидактические цели (УУД):

Познавательные:

- уметь устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и выводы на протяжении всего урока;

- умение анализировать объекты и выделять существенные признаки;

- умение находить информацию в тексте (чтение и работа с информацией);

- использовать знаково-символические средства (модели) для решения задач;

- извлекать информацию и перерабатывать ее.

Регулятивные:

- умение ставить и сохранять на протяжение всего урока учебную задачу;

- планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей;

- осуществление итогового и пошагового контроля по результату;

- преобразовывать познавательную задачу в практическую.

Коммуникативные:

- учитывают разные мнения и стремления к координации различных позиций в сотрудничестве;

- умение работать в группе – договариваться и приходить к общему решению;

- умение строить монологическое высказывание;

- формулировать собственное мнение и позицию.

Личностные:

- формирование учебно-познавательного интереса к новому учебному материалу;

- формирование причин успеха и неуспеха в учебной деятельности;

- формирование самооценки, основных моральных норм.

1. Организационный момент

2. Мотивация учебной деятельности

3. Актуализация знаний

4. Постановка проблемы

5. Открытие нового знания

7. Применение нового знания

9. Домашнее задание

Организационный момент (1 мин)

- Здравствуйте, ребята! Пожалуйста, присаживайтесь! Это занятие сегодня проведу я. Напоминаю, меня зовут – Екатерина Викторовна. Для дальнейшей предлагаю вам разделиться на 3 рабочие группы.

Мотивация учебной деятельности (2 мин)

- Сегодня урок, посвятим изучению материала, основы которого вы уже изучали в 7 классе. А материал этот относится к одной из древнейших геометрических фигур, считавшейся самой совершенной. Представление о ней дает также линия движения вращающейся модели самолета, соединенной шнуром с рукой человека или обода колеса, спицы которого относятся к элементам этой геометрической фигуры. На слайде еще представлены изображение предметов, которые мы можем встретить в жизни, напоминающие контуры этой геометрической фигуры.

- Может, кто-то уже догадался, о какой линии, геометрической фигуре идёт речь?

(Если ученики не догадываются, то учитель делает ещё попытки их натолкнуть).

Актуализация знаний (4 мин)

Итак, для начала вспомним, что же такое окружность, продолжите фразу окружность – это…

Вспомним, как задается окружность.

- Скажите с помощью какого инструмента можно построить окружность?

- Для построения окружности необходимо определить?

- Хорошо, а как называются отрезки АВ, ВС, ОК?

- Что можно сказать о взаимном расположении точек и окружности, изображенных на чертеже?

- А есть у нас определение у точки?

- А какая еще геометрическая фигура также не имеет определение?

- Давайте попробуем сформулировать задачу урока.

4. Постановка проблемы(4 мин)

- Как вы думаете, сколько общих точек может иметь прямая и окружность?

- На этот вопрос я предлагаю вам ответить совместно, работая в группах.

- Подумайте, как могут располагаться по отношению друг к другу прямая и окружность

(каждой группе раздаются кейсы с заданиями) (Приложение 1)

На доске приготовлен чертеж окружности.

- Итак, сделаем вывод: сколько случаев у нас получилось?

- А теперь подумайте, от чего зависит то, что окружность и прямая имеют две или одну общую точку или не имеют их совсем.

- Давайте вспомним, что же является расстоянием от точки до прямой?

5. Открытие новых знаний (14 мин)

- Итак, рассмотрим подробнее все эти случаи (учащимся раздаются кейсы) (Приложение 2).

- Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в первом случае.

[Учитель вывешивает на доску наглядный материал по каждому рассмотренному случаю]

- Расстояние от центра окружности до прямой обозначим буквой d .

- Что можно сказать про d и r в этом случае?

- Как бы вы назвали прямую АВ в соответствии с ее расположением относительно окружности?

- Исследуем взаимное расположение прямой и окружности во втором случае.

- Что можно сказать про d и r в этом случае?

- Как бы вы назвали прямую р в соответствии с ее расположением относительно окружности?

- Попробуйте дать самостоятельно определение касательной.

- Проверим истинность вашего высказывания, обратившись к учебнику на странице 166.

- Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в третьем случае.

- Что можно сказать про d и r в этом случае?

- Итак, сделаем вывод. Каково взаимное расположение прямой и окружности.

6. Физкультминутка (1 мин)

7. Применение нового знания (10 мин)

- Теперь нам необходимо наши с вами знания применить на практике.

[Каждой группе раздается конверт с кейсами (Приложение 3). Карточки содержат задания на соответствие]

- На выполнение задания вам 2 минуты.

[Проверка задания. Учащиеся свои ответы с ответами на слайде]

- А сейчас предлагаю вместе заполнить таблицу?

(изображена на доске) (Приложение 5)

[Таблица изображена на доске]

- Первая группа заполняет первые 1-2 колонки, вторая группа заполняет 3-4, а 3 группа 5-6.

- На выполнение задания вам 2 минуты, после по одному человеку от команды выходят к доске и заполняют таблицу.

- Итак, чему мы учились на данном этапе?

- Ребята, а вы давно были в цирке?

- А вы знаете, что во всех цирках мира окружность арены имеет длину 40,8 метра, а ее диаметр составляет 6,8 метра.

- Представьте такую ситуацию в цирке. В центре арены стоит клоун у него в руках веревочка, на конце которой привязана мышка, он ею пугает зрителей. Расстояние от края арены до первого ряда равно 1 метр. Сможет ли клоун достать мышкой зрителя сидящего в первом ряду, если длина его веревочки 5 метров?

-Итак, сделаем вывод, сможет ли клоун напугать зрителя в первом ряду?

8. Рефлексия (3 мин)

- А теперь подведем итоги нашего урока.

- Давайте вернемся к началу урока и вспомним, какую задачу мы себе поставили.

- Какое взаимное расположение прямой и окружности вы сегодня узнали?

- Какая прямая называется касательной к окружности?

- Для того чтобы проверить свои знания по пройденному сегодня материалу, выполним небольшой тест (Приложение 4).

- Ребята обратите внимание на слайде, там написаны начала фраз, закончите эти фразы:

Читайте также: