Уравнение плоскости в пространстве 11 класс конспект урока

Обновлено: 05.07.2024

Автор разработки:
Малинская Елена Геннадьевна
учитель математики
МАОУ гимназии № 40 имени Ю. А. Гагарина
г. Калининград, 2015 г.

2. Этапы решения задач методом координат

• 1. Выбор системы координат в пространстве
• 2. Нахождение координат необходимых точек и
векторов, или уравнения плоскостей, кривых и
фигур
• 3. Решение примера, используя ключевые задачи
или формулы данного метода
• 4. Переход от аналитических соотношений к
метрическим.
19.03.2019
2

3. Цели:

• Ввести понятия общего уравнения плоскости,
матрицы и определителя.
• Изучить алгоритм нахождения определителя
квадратных матриц второго и третьего
порядков.
• Выработать умение записывать уравнение
плоскости, проходящей через три различные
точки.
19.03.2019
3

4. Общее уравнение плоскости

Если в пространстве фиксирована произвольная декартова
система координат Oxyz, то всякое уравнение первой степени с
тремя переменными x y z определяет относительно этой системы
плоскость.
Ax By Cz D 0 (1)
A; B; C; D – некоторые постоянные, причем из чисел A; B; C хотя
бы одно отлично от нуля.
Общее уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости называется полным, если все
коэффициенты А; B; C; D отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.

5. Виды неполных уравнений

2)
D 0;
A 0;
Ax By Cz 0 Плоскость проходит через точку О.
By Cz D 0 ll (OX )
z
3)
B 0;
Ax Cz D 0
4)
C 0;
Ax By D 0 ll (OZ )
1)
ll (OY )
6)
A 0; B 0 Cz D 0 ll ( XOY )
B 0; C 0 Ax D 0 ll (YOZ )
7)
A 0; C 0
5)
8)
9)
10)
By D 0 ll ( XOZ )
B 0; C 0; D 0 Ax 0 x 0
A 0; C 0; D 0
A 0; B 0; D 0
By 0 y 0
Cz 0 z 0
0
x
(YOZ )
( XOZ )
( XOY )
y

6. Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через три точки

М(x¹,y¹,z¹), N(x²,y²,z²), K(x³,y³,z³)
• Подставить координаты точек в уравнение плоскости
Ax By Cz D 0
Получится система трех уравнений с четырьмя переменными
Решить систему уравнений и найти А; В; С
Подставить найденные значения А, В и С в общее уравнение
плоскости
Замечание :
Если плоскость проходит через начало координат, положить D = 0,
если не проходит, то D = 1

7. Упражнение №1

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки:
а) A (1,0,0), B (0,1,0) и C (0,0,1); б) M(3,-1,2), N(4,1,-1) и K(2,0,1).
Решение:
Подставим координаты точек в уравнение плоскости
Ax By Cz D 0
а)
Ответ: а) x+y+z–1=0;
б)
б) x+4y+3z-5=0.

8. Метод Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных
алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения
переменных, когда с помощью элементарных преобразований система
уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или
треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по
номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
a11 x1 a12 x2 . a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 . a2 n xn b2
.
am1 x1 am 2 x2 . am n xn bn
x1 , x2, …, xn – неизвестные.
ai j - коэффициенты при неизвестных.
bi - свободные члены (или правые части)

9. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (способ №2)

Пусть точки М1(х1 ; у1 ; z1 ), М2(х2 ; у2 ; z2 ) и М3(х3 ; у3 ; z3 )
не лежат на одной прямой.
М3
М1
x x1
y y1
z z1
x 2 x1
y 2 y1
z2 z1 0
x 3 x1
y 3 y1
z3 z1
М
М2
Уравнение плоскости,
проходящей через 3 точки

Матрицы
Матрицей размера m n называется совокупность mn чисел,
расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:
a11 a12 . a1n
Пример:
a
a22 . a2 n
21
.
A
.
.
.
.
a
a
.
a
mn
m1 m 2
2 1 4
A 6 2 8
0 3 6
размера 3 3
Числа, составляющие матрицу, называются элементами
матрицы. Если m≠n, то матрица называется прямоугольной.
Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n.

Диагонали матрицы
a1
a Матрица размера m 1 вида состоит из одного столбца и
2 называется вектор-столбцом, а матрица A=[a1 a2…an]
размера 1 n, состоящая из одной строки –
a m вектор-строкой.
В случае квадратной матрицы
элементы a11, a22,…ann
a11 a12 . a1n
a
a
.
a
22
2n
A 21
.
.
.
.
an1 an 2 . ann
образуют главную диагональ, а
элементы an1, an-1 2,…a1n – побочную диагональ матрицы.

Определители
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.
Определителем n-го порядка матрицы А называется алгебраическая
сумма всевозможных произведений элементов, взятых точно по одному из
каждой строки и каждого столбца матрицы А. Знак каждого слагаемого
определяется специальным правилом.
Определители n-го порядка содержат n! членов.
A
a11
a12
a 21
a 22
= a11a22- a12a21 –
Пример:
A
2 5
3
7
определитель второго порядка.
2 7 ( 5) 3 14 ( 15) 29.

17. Упражнение №2

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки:
а) A (1,0,0), B (0,1,0) и C (0,0,1); б) M(3,-1,2), N(4,1,-1) и K(2,0,1).
Решение:
Подставим координаты точек
в уравнение плоскости
а)
x x1
y y1
z z1
x 2 x1
y 2 y1
z2 z1 0
x 3 x1
y 3 y1
z3 z1
б)
=0
=0
=0
=0
Ответ: а) x+y+z–1=0;
б) x+4y+3z-5=0.

18. Домашнее задание

19. Домашнее задание (дополнительно)

• В правильной
четырехугольной призме
ABCDA¹B¹C¹D¹ со стороной
основания 12 и высотой 21
на ребре АА¹ взята точка М
так,
АМ = 8, на ребре
ВВ¹ взята точка К так, что
В¹К=8.
• Написать уравнение
плоскости D¹МК.
Ответ: 5x + 13y + 12z – 156 = 0

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Цель урока : познакомить учащихся с правилом Саррюса при определении угла между плоскостями, побуждать к умению рассматривать различные подходы к решению задач; продолжить развитие пространственного мышления; показать эффективность использования метода координат на экзамене

Форма занятия : урок-практикум

Оборудование : компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с печатной основой.

I. Организационный момент.

Вводное слово учителя : Сегодня мы с вами познакомимся с замечательным правилом для нахождения углов между плоскостями. Вам уже известно, что Метод координат - весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами.

II. Актуализация знаний учащихся.

- Как определяется угол между плоскостями? (слайд 3)

- Есть и другое определение, связанное с вектором нормали.

- Правило Саррюса (Пьер Фредерик Саррюс французский математик, 1798 – 1861 гг).

IV . Новый материал. Определение угла между плоскостями по правилу Саррюса. Практикум 2. (Слайды 6 – 9).

V . Повторение. Сравним решение этой же задачи геометрическим методом (слайды 10 – 11). Можно осуществить повторение устно, с помощью слайдов.

VI . Заключение . Только ли векторный метод используется для нахождения угла между плоскостями? (Угол между прямой и плоскостью, расстояние от точки до прямо, до плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми ( слайд 12)).

VII . Домашнее задание (слайды 13 – 14) – комментирование. Используя слайды и листы с печатной основой ставится новая задача: используя информационные технологии, более подробно изучить метод координат в пространстве. Окажет неоценимую услугу при подготовке к ЕГЭ (14 задание).

VIII . Рефлексия . Напишите синквейн о правиле Саррюса (выполняют). Прочитать несколько стихов.

Цели: формировать умение обучающихся решать задачи на данную тему; развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию, воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, формировать общие компетенции ОК.2, ОК.3, ОК.4, ОК.5, ОК.6.

Справочный материал и примеры.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Общее уравнение прямой имеет вид: Ax + By + C , где А, В, С – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Вектор нормали - это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: ( n 1; n 2 ) Координаты точки ( х 0 ; у 0 ) .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: n 1 (x-х 0 )+n 2 (y-у 0 )=0

Общее уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax +By+Cz+D=0 , где коэффициенты A, B, C, D одновременно не равны нулю.

Уравнение плоскости по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая плоскости, и вектор n, перпендикулярный этой плоскости (который называют вектором нормали к плоскости), то уравнение данной плоскости можно составить по формуле:

A(x-х 0 )+B(y-у 0 )+C(z-z 0 )=0

Уравнение поверхности сферы:

Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени. x 2 +y 2 +z 2 =R 2 (R – радиус сферы)

Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.

(x−a) 2 +(y−b) 2 +(z−c) 2 =R 2 (R - радиус сферы; a, b, c - смещение центра сферы относительно центра координат)

Уравнение вида задает в пространстве плоскость α.

При этом вектор – это вектор, перпендикулярный плоскости α. Его называют вектор нормали, или нормальный вектор, или нормаль. Очевидно, что нормалью является любой вектор, коллинеарный вектору .

Вектор и любой коллинеарный ему вектор называются направляющим векторами прямой и прямой соответственно.

Основная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 163-170.

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 353-260.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Работа по теме урока. Объяснение новой темы

Мы рассмотрели несложную задачу на применение метода координат в пространстве.

Векторы , угол между которыми мы искали, называются направляющими векторами прямой и прямой соответственно.

Рассмотрим этот метод более подробно.

Суть метода координат на плоскости и в пространстве заключается в следующем.

Ввести систему координат удобным образом (исходя их свойств заданной фигуры)
Записать условие задачи в координатах, определив во введенной системе координат координаты точек и/или векторов
Используя алгебраические преобразования, решить задачу
Интерпретировать полученный результат в соответствии с условием данной задачи

В рассмотренном нами примере, поскольку был дан куб, мы могли ввести систему координат с центром в любой его вершине.

В координатах удобно решать задачи, связанные с поиском расстояний и углов. Но для того чтобы его использовать, нужно знать некоторые формулы:

Угол между прямыми
Угол между прямой и плоскостью
Угол между плоскостями
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между параллельными плоскостями определяется как расстояние от точки, лежащей в одной плоскости, до другой плоскости.

Мы рассмотрим только первые четыре формулы.

Угол между прямыми

Если прямая задана двумя точками A и B, то известен направляющий вектор этой прямой с координатами <>. Пусть вторая прямая имеет направляющий вектор . Тогда угол между векторами вычисляется по формуле:

Дальше ищется арккосинус от найденного числа. Заметим, что если косинус получился отрицательным, то это значит, что угол между векторами тупой. Поэтому мы берем модуль получившегося числа.

Фактически мы уже рассмотрели пример вычисления угла между прямыми в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью

Сначала рассмотрим уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Вам известно, что в пространстве плоскость задается уравнением, аналогичным тому, которое на плоскости задает прямую.

Если линейное уравнение вида на плоскости задает прямую l, то уравнение вида задает в пространстве плоскость α. При этом вектор – это вектор, перпендикулярный плоскости α. Его называют вектор нормали, или нормальный вектор, или нормаль.

Вам известно, что три точки в пространстве определяют единственную плоскость. Поэтому, если заданы три точки, то мы можем найти уравнение плоскости

Мы можем подставить координаты заданных точек в уравнение плоскости и решить систему из трех уравнений с тремя переменными:

В этой системе четыре неизвестных, однако, мы можем избавиться от одной, если разделим все уравнения на D:

Для изучения данного способа в 11 классе на базовом уровне введение понятий матрица, определитель матрицы не желателен, данные понятия не входят в базовый курс изучения геометрии.

Иногда эта система оказывается несложной. Но иногда бывает трудно ее решить, и тогда можно использовать следующую формулу:

Обозначение |M| означает определитель матрицы М.

В нашем случае матрица представляет собой таблицу 3х3 элемента. И определитель |M| вычисляется следующим образом:

Таким образом, уравнение плоскости будет записано так:

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки K(1; -2; 3), L (0; 1; 1), M (1; 0; 1).

Решая ее, получим значения А, В и С: . То есть уравнение плоскости имеет вид:

Ответ: .

Теперь запишем формулу угла между прямой и плоскостью.

Пусть дано уравнение плоскости: и известен - направляющий вектор прямой.

Тогда – синус угла между прямой и плоскостью.

Найдем угол между прямой и плоскостью. В качестве плоскости возьмем ту, уравнение которой мы только что написали:

Прямая проходит через точки Т(2; -1; 4) и Р(3; 2; 2).

Направляющий вектор прямой: .

Найдем синус угла между прямой и плоскостью:

Угол между прямой и плоскостью .

Ответ: .

Угол между плоскостями

Тогда - косинус угла между этими плоскостями.

Найдем угол между плоскостями:

и .

Найдем косинус угла между плоскостями:

Угол между плоскостями:

Ответ:

Расстояние от точки до плоскости

Пусть координаты точки: , уравнение плоскости: .

Тогда Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле: .

Найдем расстояние от точки М(4; 3; 4) до плоскости .

Теперь рассмотрим решение задачи координатным методом с использованием рассмотренных формул.

АВС…D1 – куб с ребром 4. Найти расстояние от точки А до плоскости ЕКС (Е – середина D1C1, K – середина C1B1)

Введем систему координат с началом в вершине А так, как показано на рисунке:

Интересующие нас точки будут иметь координаты:

A(0; 0; 0), C(4; 4; 0), E(4; 2; 4), K(2; 4; 4).

Напишем уравнение плоскости ЕКС:

Решая ее, получим значения А, В, С и D: .

Уравнение плоскости имеет вид:

Ответ: .

Рассмотрим задачу (№14 из варианта ЕГЭ).

В кубе ABC…D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁ построена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P : PB₁ = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

Переформулируем первый пункт этой задачи таким образом:

Проведем плоскость через точки Р, K и C₁ и докажем, что она параллельна прямой BD₁.

Введем систему координат так, как показано на рисунке:

Найдем координаты точек :

Р(; 0; 4), К(4; 0; 3),(4; 4; 4).

Напишем уравнение плоскости :

;

Решая ее, получим значения А, В, С и D: .

- уравнение плоскости

Теперь докажем, что плоскость параллельна прямой BD₁.

Найдем угол между прямой BD₁ и плоскостью .

Точки В и D₁ имеют координаты: В (4; 0; 0), D₁ (0; 4; 4).

Направляющий вектор прямой BD₁ – это вектор .

Теперь найдем синус угла между вектором и плоскостью .

В этом случае нам не нужно считать знаменатель дроби. Так как числитель получился равен 0, то дробь равна 0, то есть синус угла между плоскостью и прямой равен 0, значит, плоскости параллельны или совпадают. Но, так как точка В, например, в плоскости, очевидно, не лежит, то плоскости параллельны.

Это значит, что плоскость, параллельная прямой BD₁ и проходящая через точки действительно пересекает ребро A₁B₁в точке Р так, что A₁P : PB₁ = 2 : 1. Что и требовалось доказать.

Теперь рассмотри второй пункт задачи. Уравнение плоскости у нас есть. Плоскость BB₁C₁ параллельна координатной плоскости YOZ и проходит через точку

В(4; 0; 0). Поэтому она имеет уравнение .

То есть ее коэффициенты .

Найдем угол между плоскостями, используя формулу

Ответ: .

Читайте также: