Уравнение окружности 8 класс конспект урока
Обновлено: 05.07.2024
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Urok_geometrii_v_8_klasse_po_teme.docx | 305.3 КБ |
| Prilozhenie_1.docx | 13.56 КБ |
| Prilozhenie_2.docx | 14.79 КБ |
| Prilozhenie_3.docx | 161.51 КБ |
| Uravneniya_pryamoy_i_okruzhnosti.ppt | 502.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Конспект урока по геометрии в 8 классе
подготовила учитель математики высшей квалификационной категории Манина Светлана Вячеславовна
- дидактические: отработка ЗУН, приобретенных при изучении данной темы;
- развивающие: развитие логического мышления, воображения, творческих способностей;
- воспитательные: воспитывать аккуратность записей, культуру речи, самостоятельность.
Тип урока: закрепление ЗУН.
Оборудование: компьютер, мультимедийная приставка.
Время урока: 45 минут
2. Устная работа (актуализация знаний)
№1. Составьте уравнение окружностей, изображенных на рисунках:
№2. Определите координаты центра и диаметр окружности, заданной уравнением:
№3 . Определите взаимное расположение окружностей ω1O1;R1 и ω2O2;R2 , если O12;3 , O26;6 и:
№4. Составьте уравнения прямых, изображенных на рисунках:
№5. Найдите несоответствие геометрической иллюстрации данным задачи:
а) касаются внешним образом;
б) не имеют общих точек ;
прямая и окружность не должны иметь общих точек.
прямая и окружность должны пересекаться.
прямая и окружность должны касаться.
3. Решение задач.
№1. Используя геометрические соображения, составьте уравнение окружности, проходящей через началоо координат и точки (6;0) и (0;8).
1) Так как точки A, O и B принадлежат окружности, то они равноудалены от центра этой окружности.
2) Учитывая, что точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалены от концов этого отрезка, проведем две прямые l и m , такие что: .
3) , следовательно точка - центр окружности.
4) Найдем радиус окружности: .
5) Составим уравнение окружности с центром в точке и радиусом :
Дополнительое устное задание: составьте уравнение касательной к этой окружности, если известно, что она параллельна оси Ox .
№2. Докажите, что линия, заданная уравнением x2+6x+y2=0 , является окружностью. Является ли отрезок AB, где A-1;5,, B-5;-5 , диаметром этой окружности?
x2+6x+y2= x2 +6x+9+ y2 - 9=x+32+y2 - 9 . Тогда исходное уравнение примет вид x+32+y2=9 , а это – уравнение окружности с центром в точке -3;0 и радиусом равным 3.
x=-1-52=-3;y=5-52=0 , т.е. координаты середины отрезка AB совпадают с координатами центра заданной окружности.
- Докажем, что точка A , например, принадлежит окружности.
Подставим координаты точки A в уравнение окружности, получим:
9=9 - верное числовое равенство, значит точка A принадлежит заданной окружности, а отрезок AB является ее диаметром.
Совместное решение задачи; одного ученика вызвать к доске для оформления решения задачи.
Поскольку существует две таких касательных, то их уравнения:
Обсудить ход решения задачи с классом (фронтальная беседа). Примерные вопросы:
- Как можно доказать, что перед вами уравнение окружности?
- Какой отрезок называется диаметром окружности?
- Какими свойствами обладает диаметр?
- Любой ли отрезок, середина которого совпадает с центром окружности, может являться диаметром этой окружности?
Дети самостоятельно решают задачу; для проверки правильности решения к скрытой доске вызвать одного ученика.
4. Домашнее задание .
№1. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку 2;3 .
№2. Найдите точки пересечения окружности
x2+y2=1 с прямой: а) y=3x+1 , б) y=kx+1 .
№3. Найдите периметр треугольника ABC , у которого точка A2;3 - центр окружности радиуса 2, точка B - центр окружности x2-12x+y2-6y+36=0 , а точка C – одна из точек пересечения данных окружностей.
Ответ: P ∆ ABC=9 кв . ед .
Обязательное задание дома выполняют все ученики, а дополнительное задание – по желанию. Можно рассмотреть вариант отдельного оценивания этой задачи.
Задача №3 домашней работы – это задача, придуманная одним из учеников.
Самостоятельная работа проводится в форме теста, состоящего из двух частей: тестовой и части с подробной записью решения. Тексты заданий следует раздать ученикам во время комментариев к домашнему заданию.
Работу учащиеся выполняют на двойных листах.
В журнал следует поставить оценки тем ученикам, которые довольны своим результатом, поскольку самостоятельная работа носит обучающий характер.
После того, как ученики сдадут свои работы, при наличии времени можно осуществить мгновенную проверку ( слайд 13 )
Цель урока: ввести уравнение окружности, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.
Оборудование: интерактивная доска.
- Организационный момент – 3 мин.
- Повторение. Организация мыслительной деятельности – 7 мин.
- Объяснение нового материала. Вывод уравнения окружности – 10 мин.
- Закрепление изученного материала– 20 мин.
- Итог урока – 5 мин.
2. Повторение:
− (Приложение1 Слайд 2) записать формулу нахождения координат середины отрезка;
− (Слайд 3) Записать формулу расстояние между точками (длины отрезка).
3. Объяснение нового материала.
(Слайды 4 – 6) Дать определение уравнения окружности. Вывести уравнения окружности с центром в точке (а;b) и с центром в начале координат.
(х – а) 2 + (у – b) 2 = R 2 − уравнение окружности с центром С(а;b), радиусом R, х и у – координаты произвольной точки окружности.
х 2 + у 2 = R 2 − уравнение окружности с центром в начале координат.
Для того чтобы составить уравнение окружности, надо:
- знать координаты центра;
- знать длину радиуса;
- подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности.
4. Решение задач.
В задачах № 1 – № 6 составить уравнения окружности по готовым чертежам.
№ 7. Заполнить таблицу.
№ 8. Построить в тетради окружности, заданные уравнениями:
а) (х – 5) 2 + (у + 3) 2 = 36;
б) (х + 1) 2 + (у – 7) 2 = 7 2 .
№ 9. Найти координаты центра и длину радиуса, если АВ – диаметр окружности.
| Дано: | Решение: | ||
| R | Координаты центра | ||
| 1 | А(0 ; -6) В(0 ; 2 ) | АВ 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; АВ 2 = 64; АВ = 8. | А(0; -6) В(0 ; 2) С(0 ; – 2) – центр |
| 2 | А( -2 ; 0) В(4 ; 0) | АВ 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; АВ 2 = 36; АВ = 6. | А ( -2;0) В (4 ;0) С(1 ; 0 ) – центр |
№ 10. Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку К(-12;5).
R 2 = ОК 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R = 13;
Уравнение окружности: х 2 + у 2 = 169.
№ 11. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром в точке С(3; -1).
R 2 = ОС 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
Уравнение окружности: (х – 3) 2 + (у + 1) 2 = 10.
№ 12. Составьте уравнение окружности с центром А(3;2), проходящей через В(7;5).
1. Центр окружности – А(3;2);
2. R = АВ;
АВ 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; АВ = 5;
3. Уравнение окружности (х – 3) 2 + (у − 2) 2 = 25.
№ 13. Проверьте, лежат ли точки А(1; -1), В(0;8), С(-3; -1) на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
I. Подставим координаты точки А(1; -1) в уравнение окружности:
(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – равенство неверно, значит А(1; -1) не лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
II. Подставим координаты точки В(0;8) в уравнение окружности:
(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит В(0;8) лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
III. Подставим координаты точки С(-3; -1) в уравнение окружности:
(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит С(-3; -1) лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению; формирование критического мышления и навыков работы в группе; развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.
1.Приветствует учащихся, отмечает отсутствующих. (деление на группы с помощью карточек)
Проверка домашнего задания
Теоретическая разминка
1) Расстояние от точек окружности до центра (радиус)
2) Координатные оси разбивают плоскость на четыре части (четверти)
3) Точка равноудаленная от всех точек окружности (центр)
4) Точка, делящая отрезок на две равные части (середина)
5) Хорда, проходящая через центр окружности (диаметр)
6) Абсцисса с ординатой (координаты)
7) Число у точки М называют (ордината)
8) Через любые две точки можно провести (прямая)
9) Геометрическое место точек равноудаленных от данной точки (окружность)
10) Отрезок, соединяющий любые две точки окружности (хорда)
11) Назовите формулу нахождения середины отрезка?
12) Назовите формулы нахождения расстояния между двумя точками?
Решение задач( по билетам)
1. Найдите АВ, если А(-1; 3), В(3; 0). (Ответ. АВ = 5)
2. Найдите расстояние от точки А(-5; 12) до начала координат. (Ответ. ОА = 13)
3. Найдите периметр треугольника ABC , если А(-1; 2), В(3; -1), С(-1; -1). (Ответ. 12)
4. Лежат ли на одной прямой точки А, В, С, если:
а) А(1; 4), В(4; 0), С(2; 2);
б) А(1; 4), В(4; 0), С(2,5; 2)? (Ответ а) Нет; б) да)
5. Какая из точек А (2; 4) В(-3; 2) - лежит ближе к началу координат? (Ответ. В)
6. Даны точки А (-2; 5), В (1; 8). Найдите точку, равноудаленную от точек А и В, которая лежит:
в) отрезка АВ. (Ответ а) (6; 0); б) (0; 6); в) (-0,5; 6,5).)
Пусть дана окружность.
А ( а ; b ) – центр окружности,
С ( х ; у ) – точка окружности.
Найти расстояние между точками
d 2 = АС 2 = ( х – а ) 2 + ( у – b ) 2 ,
Как можно назвать отрезок АС?
d = АС = R R 2 = (х – а) 2 + (у – b) 2
А(2;4) – центр, R = 3, то
(х – 2) 2 + (у – 4) 2 = 3 2 ;
(х – 2) 2 + (у – 4) 2 = 9.
(х – а) 2 + (у – b) 2 = R 2 .
Центр окружности О(0;0),
(х – 0) 2 + (у – 0) 2 = R 2 , х 2 + у 2 = R 2 − уравнение окружности с центром в начале координат. .
О (0;0) – центр, R = 5, тогда х 2 + у 2 = 5 2 ; х 2 + у 2 = 25.
Составление алгоритма составления уравнения окружности
1) узнать координаты центра;
2) узнать длину радиуса;
3) подставить координаты центра (а;b)
и длину радиуса R
в уравнение окружности
(х – а) 2 + (у – b) 2 = R 2 .
Закрепление. Работа с учебником.№ 24,25,26
Билет1. Найдите АВ, если А(-1; 3), В(3; 0).
Билет 2. Найдите расстояние от точки А(-5; 12) до начала координат.
Билет 3. Найдите периметр треугольника ABC , если А(-1; 2), В(3; -1), С(-1; -1).
Билет 4. Лежат ли на одной прямой точки А, В, С, если:
а) А(1; 4), В(4; 0), С(2; 2);
б) А(1; 4), В(4; 0), С(2,5; 2)?
Билет 5. Какая из точек А (2; 4) В(-3; 2) - лежит ближе к началу координат?
Билет 6. Даны точки А (-2; 5), В (1; 8). Найдите точку, равноудаленную от точек А и В, которая лежит:
Воспитательная: воспитать интерес к учебе, прививать умение выслушивать других учащихся, дополнять их ответы, грамотно используя математическую терминологию.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Методы обучения: частично-поисковый, метод наглядности, ИКТ.
Формы обучения: коллективные, парные, индивидуальные.
Оборудование: интерактивная доска, карточки с краткой информацией, таблицы.
Открытый урок
Федоровский район
Учитель математики Аяпбергенова Б.Т.
Образовательная: ввести понятие уравнения окружности, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению;
Развивающая: развивать коммуникативную и творческую активность учащихся, навыки самостоятельной работы, внимание, память, логическое мышление;
Воспитательная: воспитать интерес к учебе, прививать умение выслушивать других учащихся, дополнять их ответы, грамотно используя математическую терминологию.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Методы обучения : частично-поисковый, метод наглядности, ИКТ.
Формы обучения: коллективные, парные, индивидуальные.
Оборудование: интерактивная доска, карточки с краткой информацией, таблицы.
Организационный момент – 3 мин.
Повторение. Организация мыслительной деятельности – 7 мин.
Объяснение нового материала. Вывод уравнения окружности – 10 мин.
Закрепление изученного материала– 20 мин.
Итог урока – 5 мин.
1. Организационный момент
Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:
- Что есть больше всего на свете? – Пространство.
- Что быстрее всего? – Ум.
- Что мудрее всего? – Время.
- Что приятнее всего? – Достичь желаемого.
Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.
Определение темы и целей урока: решить анаграмму.
2. Актуализация знаний:
− сформулируйте формулу нахождения координат середины отрезка;
− сформулируйте формулу расстояния между точками (длины отрезка).
3. Объяснение нового материала.
Дать определение уравнения окружности. Вывести уравнения окружности с центром в точке (а;b) и с центром в начале координат.
(х – а) 2 + (у – b) 2 = R 2 − уравнение окружности с центром С(а;b), радиусом R, х и у – координаты произвольной точки окружности.
х 2 + у 2 = R 2 − уравнение окружности с центром в начале координат.
Для того чтобы составить уравнение окружности, надо:
знать координаты центра;
знать длину радиуса;
подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности.
4. закрепление изученного.
В задачах № 1 – № 6 составить уравнения окружности по готовым чертежам.
№ 7. Заполнить таблицу.
Практическая работа.
Задание 1: Записать своё ФИО в тетради, подсчитать количество букв в каждом слове и записать над словом. Число, которое соответствует фамилии – значение а, имени – b и отчеству – R . Составьте уравнение окружности по данным значениям и начертите окружность в системе координат.
Задание 2: В системе координат нарисуйте снеговика. Найдите центр и радиус каждой окружности и запишите её уравнение.
(задания для дополнительного времени на выборучащихся)
№ 8. Построить в тетради окружности, заданные уравнениями:
а) (х – 5) 2 + (у + 3) 2 = 36;
б) (х + 1) 2 + (у – 7) 2 = 49.
№ 9. Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку К(-12;5).
R 2 = ОК 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R = 13;
Уравнение окружности: х 2 + у 2 = 169.
№ 10. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром в точке С(3; -1).
R 2 = ОС 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
Уравнение окружности: (х – 3) 2 + (у + 1) 2 = 10.
№ 13. Проверьте, лежат ли точки А(1; -1), В(0;8), С(-3; -1) на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 =25.
I. Подставим координаты точки А(1; -1) в уравнение окружности:
(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – равенство неверно, значит А(1; -1) не лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 =25.
II. Подставим координаты точки В(0;8) в уравнение окружности:
(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит В(0;8) лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
III. Подставим координаты точки С(-3; -1) в уравнение окружности:
(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит С(-3; -1) лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
Повторить: уравнение окружности, уравнение окружности с центром в начале координат.
2. Развивающие: развитие математической речи и грамотности учащихся, логического мышления, формировать вычислительные навыки;
3. Воспитательные: воспитывать познавательную активность, культуру общения.
Тема урока: "Уравнение окружности"- 8 класс
Ким Людмила Анатольевна
учитель математики СОШ№53, г.Актобе
Цель и задачи урока:
2. Развивающие: развитие математической речи и грамотности учащихся, логического мышления, формировать вычислительные навыки;
3. Воспитательные: воспитывать познавательную активность, культуру общения.
I. Организационный момент.
Класс разделен на 3 команды. Каждая команда получает оценочный лист. За каждое правильное решение команде выдается лепесток определенного цвета: все ответы верные – красный; одна ошибка – зеленый; две ошибки – жёлтый. Лепестки крепятся на магнитную доску, образуя цветок.
Итоговая оценка выставляется с учетом этого бланка, а также учитывается количество и цвет набранных командой лепестков в цветке на доске.
II.Актуализация знаний учащихся.
Какие фигуры заданы следующими уравнениями?
Команды получают карточки с заданием. Время 2мин.
1
7.
2.
8.
3.
9.
4.
10.
5.
11.
6.
12.
Оценить результат работы команд.
III. Решение задач
Выясните, будет ли данные уравнения задавать окружность, если да, то укажите радиус и координаты центра. Если нет, то почему?
Каждая из команд получают свою карточку. Время 7 минут.
1.
1.
2.
2.
3.
3.
1.
1.
2
2
3
3
Последние уравнение в каждой карточке не задает окружность, и учащиеся поясняют почему. Оценить ответы.
1. Как могут располагаться две окружности? Дается время(3 мин.).
Предлагается ребятам нарисовать различные варианты на ватмане и показать рисунки. После демонстрации и обсуждения всевозможных вариантов предлагается следующая задача.
2. Какое взаимное расположение линий, если они заданы уравнениями?
Ответ: первая внутри второй.
Результат этого задания оценивается следующим образом:
Команда, выполнившая первая – красный; вторая – зеленый; третья – желтый
После подведения итогов предлагается задача общая для всех команд.
Командам выдается карточка с кратким описанием условия. Текст задачи зачитывается.
Окружность задана уравнением .
Точка с координатами (5;4) является центром другой окружности касающейся первой внешним образом. Напишите уравнение этой окружности.
Написать уравнение окружности описанной около треугольника с заданными координатами вершин.
Какие, алгебраические, приемы могут быть использованы для решения поставленной задачи?
Читайте также: