Тригонометрические уравнения сводящиеся к квадратным конспект

Обновлено: 09.07.2024

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения с неизвестной, которая расположена строго под знаком тригонометрической функции.

Квадратные тригонометрические уравнения являются такими уравнениями, которые имеют вид:

a sin 2 x + b sin x + c = 0

Здесь a отлично от нуля.

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, обладают следующими признаками:

Наличие в уравнении тригонометрических функций от одного аргумента, либо таких, которые можно просто свести к одному аргументу.
Присутствие в уравнении единственной тригонометрической функции, либо все функции можно свести к одной.

Правила решения тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным

Рассмотрим случай, когда преобразованное уравнение записано таким образом:

a f 2 ( x ) + b f ( x ) + c = 0

При этом а отлично от нуля, f ( x ) является одной из функций sin x , cos x , tg x , ctg x .

Тогда данное уравнение путем замены f ( x ) = t сводится к квадратному уравнению.

Существует ряд правил, позволяющих решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. Данная информация будет полезна при выполнении самостоятельных работ и практических заданий в десятом классе.

sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α · ctg α = 1 tg α = sin α cos α ctg α = cos α sin α 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α ▸

Формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α sin α cos α = 1 2 sin 2 α cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α tg 2 α = 2 tg α 1 - tg 2 α ctg 2 α = ctg 2 α - 1 2 ctg α ▸

Последовательность действий при решении тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным:

выражение одной тригонометрической функции с помощью другой путем применения основных тождеств;
выполнение подстановки;
преобразование уравнения;
введение обозначения, к примеру, sin x = y;
решение квадратного уравнения;
обратная замена;
решение тригонометрического уравнения.

Рассмотрим решение тригонометрического уравнения:

6 cos 2 x - 13 sin x - 13 = 0

cos 2 α = 1 - sin 2 α

В результате уравнение преобразуется таким образом:

6 sin 2 x + 13 sin x + 7 = 0

Заменим sin x на t. Зная, что ОДЗ синуса sin x ∈ [ - 1 ; 1 ] , запишем, t ∈ [ - 1 ; 1 ] . Тогда:

6 t 2 + 13 t + 7 = 0

Заметим, что t 1 не соответствует условиям. Выполним обратную замену и получим решение уравнения:

sin x = - 1 ⇒ x = - π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ .

Разберем другой пример:

5 sin 2 x = cos 4 x - 3

Воспользуемся уравнением двойного угла для косинуса:

cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α

cos 4 x = 1 - 2 sin 2 2 x

Подставим значения и преобразуем уравнение:

2 sin 2 2 x + 5 sin 2 x + 2 = 0

Заменим sin 2 x на t. Зная, что ОДЗ для синуса sin 2 x ∈ [ - 1 ; 1 ] , можно записать:

2 t 2 + 5 t + 2 = 0

Заметим, что t 1 является посторонним, так как не соответствует условию. Путем обратной замены получим:

sin 2 x = - 1 2 ⇒ x 1 = - π 12 + π n , x 2 = - 5 π 12 + π n , n ∈ ℤ .

Примеры решения задач с пояснениями

Найти корни уравнения:

tg x + 3 ctg x + 4 = 0

При tg x · ctg x = 1 имеем, что:

Заменим tg x на t. Зная, что ОДЗ тангенса tg x ∈ ℝ , запишем:

t + 3 t + 4 = 0 ⇒ t 2 + 4 t + 3 t = 0

Вспомним, что дробь может обладать нулевым значением при нулевом числителе и знаменателе, отличном от нуля. В результате:

Путем обратной замены получим:

Ответ: x = - arctg 3 + π n , x = - π 4 + π n , n ∈ ℤ .

Решить тригонометрическое уравнение на интервале ( - π ; π ) :

2 sin 2 x + 2 sin x - 2 = 0

Заменим sin x на t. В результате уравнение преобразуется:

2 t 2 + 2 t - 2 = 0

Определим дискриминант уравнения:

Таким образом, корни равны:

Исходя из того, что t = sin x ∈ [ - 1 ; 1 ] , можно сделать вывод о лишнем корне t 2 . В результате:

sin x = 2 2 ⇔ x = π 4 + 2 π n

x = 3 π 4 + 2 π m , n , m ∈ ℤ .

Выполним проверку корней на соответствие условиям задания:

- π π 4 + 2 π n π ⇔ - 5 8 n 3 8 ⇒ n = 0 ⇒ x = π 4 .

- π 3 π 4 + 2 π m π ⇔ - 7 8 m 1 8 ⇒ m = 0 ⇒ x = 3 π 4 .

Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π n ; 3 π 4 + 2 π m ; n , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу π 4 ; 3 π 4 .

Дано тригонометрическое уравнение, которое нужно решить на отрезке ( 0 ; π ) :

2 sin 2 x + 2 = 5 sin x

Заметим, что область допустимых значений определяет х как произвольное число. Перенесем члены в левую часть:

2 sin 2 x + 2 - 5 sin x = 0

Данное уравнение является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. Тогда уравнение будет преобразовано таким образом:

2 t 2 - 5 t + 2 = 0

Исходя из того, что sin x ≤ 1 , sin x = 2 является лишним корнем. Таким образом:

Решениями sin x = a являются:

x = arcsin a + 2 π k

x = π - arcsin a + 2 π k

Здесь k ∈ ℤ . В результате, корнями уравнения sin x = 0 , 5 являются:

x = 5 π 6 + 2 π k

Определим, какие корни соответствуют интервалу:

0 π 6 + 2 π k π ⇔ - π 6 2 π k 5 π 6 ⇔ - 1 12 k 5 12

Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае из этих корней подходящими являются лишь те, что соответствуют условию k = 0:

Рассмотрим другие решения:

0 5 π 6 + 2 π k π ⇔ - 5 π 6 2 π k π 6 ⇔ - 5 12 k 1 12

Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае выберем решение при k = 0:

Ответ: корни уравнения π 6 + 2 π k , 5 π 6 + 2 π k , при k ∈ ℤ ; решения, соответствующие интервалу π 6 , 5 π 6 .

Решить уравнение на промежутке [ π ; 3 π ) :

ctg 2 x + 1 cos x - 11 π 2 - 1 = 0

Вспомним формулу приведения:

cos x - 11 π 2 = - sin x

Также пригодится формула:

ctg 2 x + 1 = 1 sin 2 x

1 sin 2 x - 1 - 1 sin x - 1 = 0 ⇔ 1 sin 2 x - 1 sin x - 2 = 0

Заменим 1 sin x на t. В результате:

Путем обратной замены получим:

sin x = - 1 ⇔ x = - π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ sin x = 1 2 ⇔ x = π 6 + 2 π k ; x = 5 π 6 + 2 π m , k , m ∈ ℤ .

Определим подходящие решения:

Ответ: корни уравнения - π 2 + 2 π n ; π 6 + 2 π k ; 5 π 6 + 2 π m ; n , k , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу 3 π 2 ; 13 π 6 ; 17 π 6 .

Определить корни уравнения на отрезке ( π ; 2 π ) :

cos ( 2 x ) + 3 2 sin x = 3

Область допустимых значений предусматривает произвольные значения для х. На первом этапе следует преобразовать уравнение с помощью формулы косинуса двойного угла и перенести члены уравнения в левую сторону:

1 - 2 sin 2 x + 3 2 sin x - 3 = 0 ⇔ 2 sin 2 x - 3 2 sin x + 2 = 0

Заметим, что в результате получено уравнение, которое является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. В результате:

2 t 2 - 3 2 t + 2 = 0

t 1 , 2 = 3 2 ± 2 4

Исходя из того, что sin x ≤ 1 , делаем вывод о лишнем корне sin x = 2 . В результате:

Решения для уравнения sin x = a следующие:

x = arcsin a + 2 π k

x = π - arcsin a + 2 π k

Здесь k ∈ ℤ . В результате получим следующие решения для sin x = 2 2 :

x = 3 π 4 + 2 π k

Определим подходящие корни:

π π 4 + 2 π k 2 π ⇔ 3 π 4 2 π k 7 π 4 ⇔ 3 8 k 7 8

Заметим, что k ∈ ℤ . Тогда указанные корни не соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .

Определим корни, которые подходят к задаче:

π 3 π 4 + 2 π k 2 π ⇔ π 4 2 π k 5 π 4 ⇔ 1 8 k 5 8

Зная, что k ∈ ℤ , можно сделать вывод об отсутствии корней, которые соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .

Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π k , 3 π 4 + 2 π k , где k ∈ ℤ , решения, соответствующие интервалу, отсутствуют.

Требуется найти решения тригонометрического уравнения:

3 tg 4 2 x - 10 tg 2 2 x + 3 = 0

Корни нужно записать в соответствии с интервалом - π 4 ; π 4

Область допустимых значений в данном случае:

Заменим tg 2 2 x на t, при t ⩾ 0 . Уравнение будет преобразовано таким образом:

3 t 2 - 10 t + 3 = 0

Путем обратной замены получим:

Можно сделать вывод о выполнении условия относительно области допустимых значений при найденных значениях х . Тогда остается отобрать нужные корни:

- π 4 π 6 + π 2 n 1 π 4 ⇒ - 5 6 n 1 1 6 ⇒ n 1 = 0 ⇒ x = π 6

Вычислим еще три решения, которые включены в заданный интервал:

x = - π 12 ; - π 6 ; π 12 .

Ответ: корнями уравнения являются ± π 6 + π 2 n , ± π 12 + π 2 m , n , m ∈ ℤ , из них соответствуют промежутку - π 6 ; - π 12 ; π 12 ; π 6 .

тригонометрических уравнений – у равнений, сводящихся к квадратным.

2. Содействовать развитию математического мышления у чащихся.

3. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности,

вызывать у них потребность к обоснованию своих высказываний.

I. Постановка цели и мотивация учебной деятельности уча щихся. (2 мин.)

II . В осстановление опорных знаний – актуа лизация. (11 мин.)

IV . Формирование способов умственных и практических действий с новыми знаниями. (10

листы для самостоятельной работы, карточки с тригонометрическими уравнениями .

I. На прошлом уроке мы у чились решать простейшие тригонометрические уравнени я,

однако существует более широкий кру г разных видов тригонометрических уравнений. сегодня

мы будем учиться решать у равнения, сводящиеся к квадратным.

II. Но сначала повторим то, что нужно бу дет для из у чения новой темы.

1.Найди ошибк у ( записано на обратной стороне доски слева)

2 . Решите простейшие тригонометрические уравнения под копировальную бумагу. (Работа

проводится по карточкам, на которых записаны 10 простейших тригонометричес ких у равнений.

после отведённого времени листы сдаются, копии остаются у учащихся. Учитель открывает

заранее записанные на закрытой доске справа правильные решения и критерии оценок.

3. В то время, пока учащиеся реша ют тест, одного уч еника вызвать к доске решать уравнение

- х - 1=0. После а нализа теста рассмотреть решение и повторить

способы решения квадратного уравне ния в зав исимости от дискриминанта.

III . Мы научились решать простейшие тригонометрические уравнения вида sin x=a, cos x=a,

tg x=a . Но есть более сложные уравнения. Для их решения требуется применение различных

формул и преобразование тригонометрических выражений. Сегодня будем учиться решать

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели урока: Образовательная: закрепить знания и умения решения простейших

тригонометрических уравнений, научить решать тригонометрические уравнения

методом введения новой переменной.

Развивающая: развить умение решения тригонометрических уравнений, развить

способность быстро и верно определять тип уравнения и способ его решения.

Воспитательная: формировать культуру труда и уважения друг к другу.

План урока: 1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

4. Изучение нового материала.

5. Закрепление нового материала.

6. Физкультминутка.

7. Первичный контроль знаний.

8. Подведение итогов.

9. Рефлексия.

10. Домашнее задание.

1. Организационный момент .

2. Проверка домашнего задания. 18 № 13(в)

3. Актуализация знаний. Решить уравнение:

Как называются уравнения, записанные в левой колонке? в правой колонке?

Какими методами применяли для решения уравнений, левой колонки?

sin 2 x - 6 sin x + 5 =0

Как вы думаете, а какая тема урока будет сегодня?

Какую цель поставим на урок? Научить решать тригонометрические уравнения, методом замены переменной.

4. Изучение нового материала.

На данном занятии будут рассмотрены наиболее часто встречающийся метод решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным .

К этому классу могут быть отнесены уравнения, в которые входят одна функция (синус или косинус, тангенс или котангенс) или две функции одного аргумента, но одна их них с помощью основных тригонометрических тождеств сводится ко второй. а sin 2 x + bsin x + c =0, a .

Например, если c о s х входит в уравнение в четных степенях, то заменяем его на 1- sin 2 x , если sin 2 x , то его заменяем на 1- cos 2 x .

5. Закрепление нового материала.

Решить уравнение: sin 2 x - 6 sin x + 5 =0, 2 sin 2 х - 3 cos х -3 = 0 .

6. Физкультминутка.

Задание для снятия утомляемости глаз: нельзя водить руками, а лишь только глазами В таблице расположены числа от 1 до 20, но четыре числа пропущены. Ваша задача: назвать эти числа.

7. Первичный контроль

Работа в парах: решить уравнение:

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2. 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Обсуждаем решения уравнений, решаем, а затем проверяем решения с доской.

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1= 0

3 t 2 + 2 t – 1 = 0

Вернёмся к исходной переменной:

tg x = или tg x = -1

2. 5 sin 2 x + 6cos x - 6 = 0

5( 1 - с os 2 x ) + 6cos x - 6 = 0

5 cos 2 x - 6cos x +1 = 0

5 t 2 - 6 t + 1 = 0

Вернёмся к исходной переменной:

cos x = или cos x = 1

8. Закрепление.

1. 2 с tg 2 x + 3 с tg x + 3= 5;

2. 2sin 2 - sin х + 2 = 3.

1. Решите уравнение 2 cos 2 x - 3 cos ( x ) - 3 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ - ; ].

2. 3tg x - 2 с tg x = 5

Каждый вариант решает уравнения и сверяется с ответами на доске. За эту работу ребята себя сами оценивают. Листочки с решениями сдают. На следующем уроке объявлю оценки за эту работу.

8. Подведение итогов .

Вспомните : Какая тема урока? Какую цель мы сегодня поставили на урок? Достигли ли нашей цели?

9. Рефлексия.

"На сегодняшнем уроке я разобрался…";

"Я похвалил бы себя…";

"Особенно мне понравилось…";

"Сегодня мне удалось…";

"Я почувствовал, что…";

10. Домашнее задание.

2) §18, № 7(б), 9(г). Задачи №1 или 2.

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ ; ].

Данная методическая разработка помогает совершенствованию методики ведения традиционного урока. Методическая разработка содержит в себе пример построения и оформления традиционного урока, раскрывает его структуру, вопросы применения традиционных методов и приемов обучения.

Методическая разработка может быть использована преподавателями точных дисциплин.

План - конспект урока 5

Приложение 1. 10

Приложение 2 Ошибка! Закладка не определена.

Приложение 3 10

Список используемой литературы 12

Методическая разработка отражает особенности ведения традиционного урока изучения нового материала на принципах деятельностного обучения: сочетание индивидуальной, групповой и фронтальной форм работы при выполнении упражнений. Это дает возможность формированию у студентов компетенций, которые в полной мере отвечают требованиями ФГОС:

Целью данного урока является формирование умения применять метод замены переменной для решения тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным. Эта цель достигается путем решения образовательных, воспитательных и развивающих задач: усвоить метод замены переменной при решении тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным, способствовать развитию логического мышления: способствовать формированию умения работать рационально, планомерно, организованно, контролировать и анализировать итоги своей работы.

Данные задачи реализуются с помощью разнообразных методов и форм обучения, что способствует развитию практических навыков у студентов, а также повышает уровень их познавательной активности.

План - конспект урока

Учебная дисциплина: Математика

Дата проведения: 18.11.2016

Место проведения: кабинет 316

Группа: СР-15(3/4)

Специальность: 43.02.01 Реклама

Время урока: 45 минут

Тема урока: Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным.

Тип урока: изучение нового материала

Цель урока: Формирование умения применять метод замены переменной для решения тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным.

Образовательная: усвоить метод замены переменной при решении тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным;

Развивающая: способствовать развитию логического мышления; (ОК2)

Воспитательная: способствовать формированию умения работать рационально, планомерно, организованно, контролировать и анализировать итоги своей работы. (ОК6)

Формируемые компетенции:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями

Методы обучения: беседа, объяснение, диалог, объяснение, практический метод (выполнение упражнений).

Формы организационно-познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Цель методическая: Методы ведения урока теоретического обучения

КМО и МТО урока: меловая доска, раздаточный материал.

Учебно-методический комплекс: Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. [Текст]: Учебник 10-11 кл. ОО/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 464с.

Организационный момент

Актуализация знаний

Изучение нового материала

Закрепление изученного материала

Подведение итогов

Постановка домашнего задания.

Организационный момент (2 мин)

Преподаватель:

Доброе утро, дорогие студенты и гости нашего урока.

Староста группы, скажите, кто сегодня отсутствует?

Отмечает отсутствующих в журнале.

Староста группы сдает рапорт.

Актуализация знаний (10 минут)

Преподаватель:

Итак, друзья, прежде чем мы перейдем к рассмотрению новой темы, нам необходимо проверить, как вы усвоили предыдущий материал, для этого вы выполните тест по предыдущей теме. У вас на столах уже лежат тесты (Приложение 1) по вариантам на листочках, подпишите их, укажите номер группы. Для написания теста вы можете воспользоваться вспомогательными таблицами, которые также лежат у вас на столах. (Приложение 2)

Каждая карточка содержит по пять тестовых заданий на установление соответствия. Время на выполнение задания 10 минут.

Студенты выполняют тестовые задания.

Преподаватель:

После выполнения тестовых заданий студенты меняются листочками. (студенты проводят взаимопроверку)

Отметки будут выставлены вам на следующем уроке.

Изучение нового материала (20мин)

Преподаватель:

На доске заранее написаны тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.

-Итак, теперь запишите число в ваши рабочие тетради и посмотрите на доску. Что вы видите? (тригонометрические уравнения).

Преподаватель:

-Что между ними общего? (почти все уравнения имеют вторую степень*).

-Рассмотрим первое уравнение на доске или раздаточного материала, который находится у вас на столах. (Приложение 3)

- что вы можете сказать об этом уравнении? (уравнение содержит одну тригонометрическую функцию и является квадратным)

- Как вы думаете, каким способом можно решить это уравнение? (Чтобы решить данное уравнение, необходимо ввести новую переменную).

Цель урока: научиться решать тригонометрические уравнения методом замены переменной

Студенты записывают число, тему

-теперь запишите в ваши тетради первое уравнение.

Студенты записывают уравнение

Преподаватель:

Обозначим , получим уравнение Далее через дискриминант находи его

* - предполагаемые ответы студентов записаны в скобках

корни. Его корни Таким образом, решение исходного уравнения сводится к решению простейших уравнений и . Уравнение имеет корни х = А уравнение не имеет корней.

Ответ: х =

Преподаватель:

-Запишете второе уравнение. Данное уравнение решается также методом замены, только оно является квадратным относительно функции косинус.

Студент решает второе уравнение у доски.

Замена:

y₁==-

y₂==-

Возврат к замене:

Студент: это частный вид решения уравнения для функции косинус, поэтому сразу записываем ответ: x =

Студент: данное уравнение корней не имеет

Ответ: x =

Преподаватель:

- Переходим к решению 3-го уравнения. (Для решения 2х следующих уравнений к доске вызывается следующий студент. Остальные студенты выполняют соответствующие записи у себя в тетрадях).

Студент: это уравнение является квадратным относительно функции тангенс и решается методом замены переменной.

y₁==-

Возврат к замене:

x = -arctg 2 +πn, n

х = arctg 0.5 +πn, n

Ответ: x = -arctg 2 +πn, n

х = arctg 0.5 +πn, n

Преподаватель:

Переходим к решению четвертого уравнения. (этот же студент решает следующее уравнение у доски)

Студент: заменим квадрат синуса на косинус через основное тригонометрическое тождество

Замена:

Студент: Возвращаемся к замене

Преподаватель:

Отлично, теперь рассмотрим следующее уравнение.

Для решения уравнения к доске вызывается следующий студент.

tg x-3ctg x=2

Преподаватель:

- Является ли это уравнение квадратным относительно одной тригонометрической функции?

Студент: нет

Преподаватель:

-Сначала это уравнение нужно преобразовать. Найдите в своих рабочих тетрадях формулы и посмотрите как связаны между собой функции тангенс и котангенс.

Студенты смотрят формулы в тетрадях.

Студент: ctg x = .

tg x-3=2

Преподаватель:

- Что нужно сделать, чтобы найти его корни?

Студент: Нужно левую и правую часть уравнения помножить на tg x

Возврат к замене:

х = arctg 3 +πn, n

Закрепление (8 мин)

Студентам предлагается решить уравнения.(приложение 3)

tg x = 2-

Подведение итогов постановка домашнего задания. (3 мин)

Акцентирует внимание на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на уроке.

-Какой метод мы использовали при решении тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным? (метод замены переменной)

- Каковы особенности этого метода?(Введение новой переменной, получение квадратного уравнения, нахождение корней уравнения)

- На следующих уроках мы продолжим с вами применять данный метод при решении тригонометрических уравнений.

постановка домашнего задания. (2 мин)

Выставление отметок. Отметки за урок получают все с учетом результатов выполненных тестов и работы на уроке.

Постановка и комментарии к выполнению домашнего задания № 621(1-4).

Формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

Общая формула: х =

Частные случаи: а) , х=

Общая формула: х =

Частные случаи: а) , х=

в) cos x = -1, x =

Самостоятельная работа на проверку пройденного материала

а) корней нет

б) х =

г) х = arctg 3 +

д) х =

а) х =

Читайте также: