Тригонометрические функции числового и углового аргумента конспект

Обновлено: 06.07.2024

Тригонометрические функции числового аргумента.

Тригонометрические функции числового аргумента t – это функции вида y = cos t,
y = sin t, y = tg t, y = ctg t.

С помощью этих формул через известное значение одной тригонометрической функции можно найти неизвестные значения других тригонометрических функций.

1) Возьмем формулу cos 2 t + sin 2 t = 1 и выведем с ее помощью новую формулу.

Для этого разделим обе части формулы на cos 2 t (при t ≠ 0, то есть t ≠ π/2 + πk). Итак:

cos 2 t sin 2 t 1
——— + ——— = ———
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Первое слагаемое равно 1. Мы знаем, что отношение синуса к конисусу – это тангенс, значит, второе слагаемое равно tg 2 t. В результате мы получаем новую (и уже известную вам) формулу:

1 π
1 + tg 2 t = ———, где t ≠ — + πk, k – целое число.
cos 2 t 2

2) Теперь разделим cos 2 t + sin 2 t = 1 на sin 2 t (при t ≠ πk):

cos 2 t sin 2 t 1
——— + ——— = ———, где t ≠ πk + πk, k – целое число
sin 2 t sin 2 t sin 2 t

Отношение косинуса к синусу – это котангенс. Значит:

1
1 + ctg 2 t = ———, где t ≠ πk, k – целое число.
sin 2 t

Зная элементарные основы математики и выучив основные формулы тригонометрии, вы легко сможете самостоятельно выводить большинство остальных тригонометрических тождеств. И это даже лучше, чем просто зазубривать их: выученное наизусть быстро забывается, а понятое запоминается надолго, если не навсегда. К примеру, необязательно зазубривать, чему равна сумма единицы и квадрата тангенса. Забыли – можно легко вспомнить, если вы знаете самую простую вещь: тангенс – это отношение синуса к косинусу. Примените вдобавок простое правило сложения дробей с разными знаменателями – и получите результат:

sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + ——— = — + ——— = —————— = ———
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Точно так же легко можно найти сумму единицы и квадрата котангенса, как и многие другие тождества.

Тригонометрические функции углового аргумента.

В функциях у = cos t, у = sin t, у = tg t, у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом.

С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия:
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;

2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси x.

В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом данного угла.

Пояснение . Нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x, а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности) под углом 30º (см.рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны с окружностью соответствует π/6. Нам известны ордината и абсцисса этой точки. Они же являются косинусом и синусом нашего угла:

А зная синус и косинус угла, вы уже легко сможете найти его тангенс и котангенс.

Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат, является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.

Но есть более простой способ. Можно и не рисовать окружность и систему координат. Можно воспользоваться простыми и удобными формулами:

πα
sin αº = sin ——
180

πα
cos αº = cos ——
180

Пример : найти синус и косинус угла, равного 60º.

π · 60 π √3
sin 60º = sin ——— = sin —— = ——
180 3 2

π 1
cos 60º = cos —— = —
3 2

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспект урока алгебры по теме

Выполнила: Кежутина Ольга Владиславовна

Дата проведения: 30.09.16

Цели урока: знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента через единичную окружность .

Образовательные:

повторить и применить понятия s in, c os, t g, ctg острого угла прямоугольного треугольника для единичной окружности;

ввести понятие тригонометрической функции углового аргумента;

ввести понятие радианной меры угла;

формировать умение переводить радианную меру угла в градусную и наоборот.

Воспитательные: способствовать развитию интереса к предмету, активности; воспитывать аккуратность в работе, умение работать в команде; выражать собственное мнение, давать рекомендации.

Развивающие: способствовать развитию алгоритмического, творческого мышления, развивать навыки самоконтроля.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы изучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый

Формы работы учащихся : фронтальная, индивидуальная

Вид урока: урок-беседа.

УМК : Алгебра и начала анализа под редакцией А.Г. Мордковича для 10-11 классов (базовый уровень)

Цели урока: рассмотреть тригонометрические функции углового аргумента через единичную окружность.

Настраивает учащихся на урок, сообщает план урока. Начинает урок с четкой постановки его целей.

Ученики настраиваются на урок.

На предыдущих уроках, мы с вами познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента t. Напомним их. Правильно:

Прежде чем перейти к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, как и зачем появились понятия синус, косинус, тангенс и котангенс.

Появились эти понятия тогда, когда стало необходимым вычислить высоту дерева, не залезая на него.

Рассмотрим Наблюдатель из точки А может измерить длину катета АС может измерить угол α может выставить уменьшенное дерево В₁С₁ известной высоты а₁ (рис.).

Обозначим искомую высоту дерева ВС= x .

Рассмотрим

Отношение зависит только от величины угла, и это отношение назвали тангенсом угла α.

Ответ:

А как же найти расстояние до недоступной вершины B.

Обозначим искомое расстояние за y . Это гипотенуза В обозначим гипотенузу c ₁ (рис. 1).

Из подобия и следует, что

Отношение зависит только от величины угла α это отношение назвали косинусом угла α.

Ответ:

Мы нашли высоту дерева и расстояние от наблюдателя до вершины дерева, не залезая на него. Но для этого потребовалось вспомнить некоторые величины, которые зависят только от величины угла и определяют его. Это тангенс и косинус этого угла.

С понятиями синус, косинус, тангенс, котангенс мы знакомились в прямоугольном треугольнике. Давайте вспомним основные правила, связанные с этими величинами.

Ранее мы изучали тригонометрические функции числового аргумента. Сегодня мы покажем, что между числовым и угловым аргументом нет никакого противоречия. Запишите тему урока: Тригонометрические функции углового аргумента .

Подводит учащихся к теме урока с помощью задачи и ранее изученного материала.

На этом уроке мы познакомимся с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вначале вспомним определение функции в общем и на числовой окружности. Далее вспомним, что такое линия синусов, линия косинусов, линия тангенсов и линия котангенсов. Выведем формулу основного тригонометрического тождества и другие основные формулы, связывающие между собой тригонометрические функции. Далее рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций: знаки функций в четвертях и свойство четности и нечетности тригонометрических функций.

план конспект урока №21 "Тригонометрические функции углового аргумента" Алгебра 10 класс УМК Мордкович А.Г.

Вложение	Размер
plan_konspekt_uroka_no_21._trigonometricheskie_funktsii_uglovogo_argumenta.doc	54.5 КБ

Предварительный просмотр:

План конспект урока № 21. (1 четверть). Алгебра 10 класс.

Тригонометрические функции углового аргумента

ввести понятие тригонометрической функции углового аргумента;
ввести понятие радианной меры угла;
формировать умение переводить радианную меру угла в градусную и наоборот .

Знать и понимать:

числовая окружность,
синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента;
радиан, радианная мера угла;
основные тождества;
соотношения между градусной и радианной мерами угла.

Проверка домашнего задания.
Объяснение нового материала.

180 0 – π радиан. Опрос по теории: Считают, что 30° — это градусная мера угла, а

Домашнее задание № 8.10 (в, г), № 8.11(в, г), №8.1(в, г)

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

План конспект урока № 10 по алгебре 8 класс. "Сложение дробей с разными знаменателями" УМК Мордкович А.Г.

План конспект урока № 11 по алгебре 8 класс. "Сложение дробей с разными знаменателями" УМК Мордкович А.Г.

План конспект урока по алгебре в 7 классе на тему: "Линейная функция и ее график" С использование интерактивной доски.

Обобщающий урок по данной теме с использованием тестов и заданий на интерактивной доске. К уроку прилагается презентация для интерактивной дсоки SMART NOTEBOOK 2011.

План-конспект урока Степенная функция 9 класс

Цель урока. Обобщить и систематизировать знания учащихся по изучаемой теме. Сформировать навыки применения свойств степенной функции при решении математических задач. Тип урока: у.

план-конспект урока по математике в 7 классе на тему "График линейной функции"

в данной разработке урока подробно расписаны деятельность учителя и учащихся, использованы игровые фрагменты, метод проблемного обучения, самостоятельная работа на закрепление изученного материала.

План -конспект урока по алгебре в 9 классе по теме «Модуль в функциях».

Читайте также: