Свойства функции 9 класс мерзляк конспект и презентация
Обновлено: 06.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ Конспект урока по алгебре.docx
Разработала учитель математики
МОУ Большечирклейской СОШ
Айбулатова Гюзяль Алиевна
Конспект урока по алгебре.
Тема: Функция y = ax 2 , ее график и свойства.
Тип урока: изучение нового материала.
Ввести определение квадратичной функции.
Рассмотреть графики функций y = ax 2 ( а>0, и а ) и их свойства .
Повторить решение квадратных уравнений.
Оборудование: доска, мел, линейка, презентация (Приложение 1).
Место проведения: Кабинет математики.
Организационный момент (1 мин).
Актуализация знаний (10 мин).
Ознакомление с новым материалом (20 мин).
Первичное закрепление темы (12 мин).
Подведение итогов урока. Домашнее задание (2 мин).
Актуализация знаний .
Учитель: Ребята, сегодня мы будем изучать новую тему. Для этого вспомним ранее изученный материал, в частности повторим определение функции, некоторые понятия, связанные с функциями и вспомним известные нам функции и их некоторые свойства.
Далее задаем вопросы ( Слайд № 2 – 5. ):
Что называется функцией? Дайте определение функции?
Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x , при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y . Переменную x называют независимой переменной или аргументом, переменную y называют зависимой переменной.
Что называется областью определения и областью значений функции?
Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.
Что называется графиком функции?
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
С какими функциями вы уже знакомы?
С линейной функцией, прямой и обратной пропорциональности, функциями, заданными формулами:
Что представляет собой график:
Линейной функции?
Прямой пропорциональности?
Обратной пропорциональности?
Функции, заданной формулой
Дайте определение функции, возрастающей в промежутке; убывающей в промежутке?
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Ознакомление с новым материалом.
Введение понятия квадратичной функции осуществляем, используя метод целесообразных задач. Для этого предлагаем учащимся последовательно решить две задачи. ( Слайд № 6. ).
Выразить площадь поверхности куба через его ребро x . Найти площадь S при x =2; 3; 5.
S 1= x 2 , число граней равно 6,
S=6x 2 ,
Задача 2.
Тело движется с ускорением а=6 м/с 2 и к началу отсчета времени t прошло путь S 0 =20 м, имея в этот момент скорость V 0 =5 м/с. Найдите пройденный путь S при t =2, 4.
Выразим зависимость пути S от времени t .
S= +V 0 t+S 0 , S=3t 2 +5t+20,
T 1 =2 S 1 =3*4+5*2+20=42;
T 2 =4 S 2 =3*16+5*4+20=88.
После решения предложенных задач, задаем учащимся следующие вопросы:
И в первой, и во второй задаче зависит ли значение переменной S от какой – либо другой переменной?
( Да. В первой задаче S зависит от x ; во второй задаче S зависит от t )
Значит, S какая переменная? ( зависимая переменная )
А переменные x и t ? ( независимые переменные )
А сколько значений зависимой переменной соответствует каждому значению независимой переменной в первой задаче? А во второй задаче?
( Каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной и в первой, и во второй задаче )
Значит, что мы получили? ( Функции )
Теперь, запишем полученную функцию в общем виде. Для этого заменим переменную S на переменную y , переменную t на – x , а числа обозначим через a , b и c . Тогда полученная функция будет иметь следующий вид: y = ax 2 + bx + c . Ребята, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной функцией.
В этой функции число а – коэффициент при x 2 может ли быть равным нулю? Тогда, что мы получаем?
(Ч исло а может быть равным нулю, тогда функция примет вид: y = bx + c )
А с функцией y = bx + c мы знакомы? Какая это функция?
( Да. Это линейная функция )
Значит, на число а накладывается ограничение – оно не может быть равным нулю. Теперь, ребята, давайте попробуем дать определение квадратичной функции.
Учащиеся вместе с учителем формулируют определение квадратичной функции. ( Слайд №7. )
Определение: Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax 2 + bx + c , где x – независимая переменная , a , b и c – некоторые числа, причем a ≠0.
Как вы думаете, что является областью определения квадратичной функции?
( Множество всех чисел )
Правильно, областью определения квадратичной функции является множество всех чисел или вся числовая прямая.
Изучение квадратичной функции начнем с частного случая, а именно с функции y = ax 2 , которая получается из функции y = ax 2 + bx + c при b =0 и c =0. Примером является функция S =6 x 2 , полученная в первой задаче.
При а =1 формула y = ax 2 принимает вид y = x 2 . С этой функцией вы встречались, ее графиком является парабола.
Теперь давайте построим график функции y =2 x 2 . Для этого составим таблицу значений этой функции.
Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях.
Теперь, постройте точки, координаты которых указаны в таблице. Далее соедините их плавной линией. Получаем график функции y =2 x 2 .
Ученики строят график функции y =2 x 2 в тетрадях, а у учителя на слайде появляется график функции y =2 x 2 , а потом график функции y = x 2 . ( Слайд №8. )
Далее задаем вопросы:
Сравнивая графики функций y =2 x 2 и y = x 2 , ч то мы видим?
(О ни похожие, при любом x значение функции y =2 x 2 больше соответствующего значения функции y = x 2 в 2 раза )
Правильно, при любом x ≠ 0 значение функции y =2 x 2 больше соответствующего значения функции y = x 2 в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции y = x 2 вверх так, чтобы расстояние от этой точки до оси x увеличилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции y =2 x 2 . При этом каждая точка графика функции y =2 x 2 может быть получена из некоторой точки графика функции y = x 2 .
Иными словами, график функции y =2 x 2 можно получить из параболы y = x 2 растяжением от оси x в 2 раза.
Далее предлагаем ученикам построить график функции y =1/2 x 2 . Для этого составляем таблицу значений этой функции.
Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях.
Теперь, постройте точки, координаты которых указаны в таблице. Далее соедините их плавной линией. Получаем график функции y =1/2 x 2 .
Ученики строят график функции y =1/2 x 2 в тетрадях, а у учителя на этом же слайде появляется график функции y =1/2 x 2 . На данном слайде также для более наглядного сравнения появляются графики всех трех функций на одной координатной плоскости. ( Слайд №8. )
Далее задаем вопросы:
Сравнивая графики функций y =1/2 x 2 и y = x 2 , ч то мы видим?
(О ни похожие, при любом x значение функции y =1/2 x 2 меньше соответствующего значения функции y = x 2 в 2 раза )
Правильно, при любом x ≠ 0 значение функции y =1/2 x 2 меньше соответствующего значения функции y = x 2 в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции y = x 2 вниз так, чтобы расстояние от этой точки до оси x уменьшилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции y =1/2 x 2 , причем каждая точка графика функции y =1/2 x 2 может быть получена из некоторой точки графика функции y = x 2 .
Таким образом, график функции y =1/2 x 2 можно получить из параболы y = x 2 сжатием к оси x в 2 раза.
Какой вывод из всего выше сказанного можно сделать? Как можно получить график функции y =а x 2 из параболы y = x 2 ?
Ученики вместе с учителем делают краткий вывод:
В общем случае, график функции y =а x 2 можно получить из параболы y = x 2 растяжением от оси x в a раз, если а>1, и сжатием к оси x в 1/а раза, если 0
Далее, рассматривая графики функций, учитель вместе с учениками перечисляют свойства функции y =а x 2 , при а>0 ( Слайд №9. ):
Если x =0,то y =0. График функции проходит через начало координат.
Если x ≠0, то y ›0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y.
Функция убывает в промежутке(-∞;0] и возрастает в промежутке [0;+∞).
Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при x =0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0;+∞).
Теперь давайте построим график функции y =-1/2 x 2 . Для этого составим таблицу значений этой функции.
Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях.
Попробуйте УМНЫЙ ПОИСК по курсам повышения квалификации и профессиональной переподготовки
Войти с помощью:
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Всего 7 материалов
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
40%
Если Вы не нашли темы для своего учебника, то можете добавить оглавление учебника и получить благодарность от проекта "Инфоурок".
- Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- Для учеников 1-11 классов
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие
Время чтения: 15 минут
Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России
Время чтения: 1 минута
Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование
Время чтения: 1 минута
Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной
Время чтения: 1 минута
В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик
Время чтения: 2 минуты
Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Материал закрепит знания и умения учащихся при нахождении области определения и области значения функции; нулей функции; ограниченности; монотонности; исследовании функции на четность и нечетность, поможет развивать умение описывать свойства функции по заданному графику.
Описание разработки
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Цель урока: закрепить представление о свойствах функции.
Задачи урока:
Закрепить знания и умения учащихся при нахождении области определения и области значения функции; нулей функции; ограниченности; монотонности; исследовании функции на четность и нечетность.
Развивать умение описывать свойства функции по заданному графику.
Формировать познавательную активность учащихся.
Воспитывать аккуратность при построении графиков функций.
Оборудование: проектор, компьютер, презентация, индивидуальные задания для работы у доски; распечатанные листы с заданиями для самостоятельной работы.
Структура урока:
Ознакомление с темой урока, постановка его целей (2 мин).
Актуализация знаний учащихся:
а) повторение определений (2 мин)
б) устные упражнения (5 мин).
Отработка свойств функции. Решение упражнений (10 мин).
Психофизиологическая пауза (2 мин).
Закрепление материала. Самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой (20 мин).
Объяснение домашнего задания (2 мин).
Подведение итогов урока (2 мин).
Ход урока
1. Ознакомление с темой урока, постановка его целей.
2. Актуализация знаний учащихся. Повторение теоретического материала:
Дать определение функции.
Что такое область определения функции?
Что такое область значений функции?
Дать определение нулей функции.
Задание 1. Какие из предложенных графиков являются графиками функции? Объясните почему (устно)
Задание 2. Найти область определения и область значения функции, заданной графически.
Задание 3. Соотнесите область определения и нули функции с геометрической моделью (устно)
Задание 4. Найдите область определения функции
Задание 5 - 6. Найти область определения и нули функции. Заполнить таблицу
Задание 7 (индивидуальное) готовиться на доске заранее
1. Что называется графиком функции?
2. Дать определение возрастающей и убывающей функции.
3. Построить графики функций у=х; у=√х; у=х²; у=1/х. Какие из заданных функций возрастающие, какие убывающие.
Определить характер монотонности заданных функций (устно)
Какие из заданных функций являются ограниченными снизу
Задание 10. (индивидуальное) готовиться на доске заранее
Весь материал – смотрите архив.
-75%
После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.
Подписи к слайдам:
в которых значение
Функции равно нулю)
(промежутки, в которых функция
принимает только положительные
или только отрицательные значения)
Выполним № 2.2(в,г), 2.4(в,г), 2.5(а,в)
- Функция называется ограниченной снизу на множестве X Є D(f), если существует такое число m, что для любого значения х Є D(f) выполняется неравенство f(x) > m.
k 0 , убывает, если k 0; графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх
- функция вида y = kx², k>0; графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх
Свойства функции y=kx² (k>0)
1. Область определения
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
6. Область значений
- D(f)=(-∞;+∞).
- Убывает на луче (-∞;0], возрастает на луче[0;+∞).
- Ограничена снизу, не ограничена сверху.
- Yнаим.=0; Yнаиб. не существует.
- Функция непрерывна.
- E(f) )= [0;+∞).
- Выпукла вниз.
- функция вида y = ; графиком функции является гипербола
k 0 и выпукла вниз x 0)
1. Область определения
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
6. Область значений
- D(f)=(-∞;0)U(0;+∞).
- Убывает на всей области определения.
- Не ограничена ни снизу, ни сверху.
- Нет ни наибольшего ,ни наименьшего значения.
- Функция непрерывна на открытом луче (-∞;0) и на открытом луче (0;+∞).
- E(f) )=(-∞; 0)U(0;+∞).
- Выпукла вверх при x 0.
- функция вида y = ; графиком функции является ветвь параболы.
- 1. D( f ) = [0;∞);
- 2. E( f ) = [0;∞);
функция вида y = |x|; функция вида y = |x|; 1. D( f ) = R; 2. E( f ) = [0;∞); 3. график функции на промежутке [0;∞) совпадает с графиком функции у = х, а на промежутке (-∞;0] – с графиком функции у = -х
Выполним № 2.13, 2.15
Укажите область определения функции. Укажите область определения функции Найдите область определения этой функции. Укажите область определения этой функции. Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке. Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке. Укажите множество значений функции Найдите множество значений этой функции. Укажите множество значений функции
Функция у=f(x), называется чётной, если область её определения симметрична относительно начала координат и выполняется равенство
Функция у=f(x) называется нечётной, если область её определения симметрична относительно начала координат и выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Четность и нечетность функций
Укажите график нечетной функции. Укажите график нечетной функции. Укажите график четной функции. Укажите график четной функции.
- Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объяснить, что функция ни четная, ни нечетная. Если да, то продолжить проверку.
- Составить выражение f(-x).
- Сравнить f(x) и f(-x)
- Если f(x) = f(-x), то функция четная
- Если f(-x) = -f(x), то функция нечетная
- В другом случае функция является ни четной, ни нечетной.
Определение 1: Функцию y=f(x) называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.
Какая из предложенных функций обратима?
Если функция монотонная на промежутке, то она обратима.
Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.
Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R.
Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим
Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.
Пример 2: Показать, что для функции y=x2, х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.
Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, можно сделать вывод об аналитическом выражении для обратной функции.
Читайте также: