Сложная функция 10 класс конспект

Обновлено: 07.07.2024

Сложная функция — это функция от функции. Если u — функция от x, то есть u=u(x), а f — функция от u: f=f(u), то функция y=f(u) — сложная.

А u в этом случае называют промежуточным аргументом. Еще часто f называют внешней функцией, а u — внутренней. Лучший способ понять, что такое сложная функция — рассмотреть примеры сложных функций.

y=sin (x+1). Эта функция — сложная. Внутренняя функция u здесь равна x+1, а внешняя функция f — это синус. То есть u=x+1, f=sin u.

Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y ∈ E ставит в соответствие такое значение x ∈ D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Конспект урока по теме Сложная функция.docx

Департамент внутренней и кадровой политики Белгородской области

областное государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Методическая разработка

открытого урока

Съедина В.В .

Белгород - 2014

Пояснительная записка

Урок разработан для обучающихся 1 курса специальностей среднего профессионального образования, реализующих образовательные программы среднего (полного) общего образования.

Урок рассчитан на 1 академический час (45 минут).

Приложения к конспекту урока;

- индивидуальные карты-модули для учащихся.

Конспект открытого урока по математике

Тип урока – изучение нового материала

создать условия для развития познавательного интереса учащихся, развития аналитического мышления, расширения кругозора учащихся.

создать условия для развития математической культуры, культуры речи, создать условия для воспитания целеустремленности, аккуратности

Целью изучения данной темы является формирование общих и профессиональных компетенций обучающихся:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ

ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию

Оборудование:

Экран, проектор, доска;

Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2010, Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2009.

Структура урока:

I . Организационный момент - 0,5 мин.

II . Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний – 4,5 мин.

III . Этап усвоения новых знаний – 30 мин.

IV . Этап закрепления новых знаний – 8 мин.

V . Этап информирования учащихся о домашнем задании и инструктажа по его выполнению - 2 мин.

I . Организационный момент

II . Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний

Наша с вами задача убедиться, что сложная функция – это не значит трудная!

Прежде чем рассматривать сложную функцию, давайте вспомним основные понятия, которые нам сегодня потребуются при изучении нового материала. Перед каждым из вас лежат индивидуальные карты, прочтите 5 вопросов, которые там приведены, подумайте и ответьте на них. У вас в распоряжении 1,5 мин.

Вводная беседа по ранее изученному материалу:

1. Что значит задать функцию?

2. Что такое аргумент функции?

3. Что такое значение функции?

4. Что называют областью определения функции?

5. Что называют областью значений функции?

Итак, еще раз обращаю ваше внимание, что функция, это прежде всего некоторое соответствие между множеством Х (независимых переменных) и множеством У (значений функции), при этом обязательно нужно помнить что каждому значению х соответствует единственное значение у.

III . Этап усвоения новых знаний

Рассмотреть слайд, обратить внимание на промежуточный шаг x ₀ → t ₀ → y ₀ .

Сложную функцию можно задать формулой y = f ( g ( x )), где g ( x ) – внутренняя функция, f ( t ) – внешняя функция. Обратите внимание, эта формула есть в ваших индивидуальных картах .

Рассмотрим пример сложной функции

g ( x ) = – внутренняя функция, f ( t ) = – внешняя функция.

Найдите y (2)-?

1) Сначала нужно найти значение подкоренного выражения 2 2 -4=0, то есть g ( x ) = x 2 -4 – будет внутренней функцией;

2) затем уже находим значение корня =0, то есть f ( t ) = будет внешней функцией.

Перед вами на экране и в индивидуальных картах приведены примеры сложных функций: y = sin 2 x , y = (x 3 – 1 ) 5 , y = cos (7 x + 2), ,

y = sin 2 x + sin x .

Вам необходимо определить какая функция является внутренней, а какая внешней, и заполнить таблицу. На выполнение задания вам дается 3 минуты.

Помимо умения различать в заданных функциях внутреннюю и внешнюю функции необходимо уметь составлять композицию функций.

На экране приведены три элементарных функции. Вам необходимо составить композицию этих функций по заданным формулам.

Например y = h ( f ( x ))=[ f ( x )= t = x 2 , h ( t )= sin t ] = sin x 2

Рассуждая аналогично, составьте, пожалуйста, композицию из функций в соответствии с заданием, на выполнение этого задания вам дается 3 минуты.

Итак, мы с вами рассмотрели, как в аналитически заданной функции определить внутреннюю и внешнюю функции.

Что бы еще раз убедиться, что сложная функция является композицией двух функций, построим график функции _.

_{Фронтальная беседа (2 мин):}

_{1. Определите внутреннюю и внешнюю функции.}

_{2. Укажите область определения каждой функции}

_{3. Что можно сказать о четности этой функции.}

Как мы уже говорили, сложная функция – это композиция функций. Построим графики внутренней и внешней функции в координатных осях XOG и GO У. Для этого составим таблицы значений каждой функции. Заполните таблицы в индивидуальных картах (2 минуты).

Проверьте правильность своих вычислений, и как показано на экране, постройте графики двух функций в разных системах координат (на построение у вас - 3 минуты).

Посмотрите на экран, вот что у вас должно было получиться.

А теперь рассмотрим как, используя полученные графики, построить график сложной функции.

Возьмем некоторое х ₀ =0 и по первому графику найдем соответствующее ему значение g ₀ =-1, затем по второму графику для g ₀ =-1, найдем у ₀ =1/2 и построим в новой системе координат точку с координатами (0:1/2). Аналогично, можно построить и другие точки x ₁ =1 → g ₁ =0 → y ₁ =1→(1;1), учитывая четность функции, получаем точку (-1;1). И строим эскиз графика сложной функции.

Проделайте эту операцию самостоятельно в своих индивидуальных картах, для удобства можете использовать вспомогательную таблицу. На выполнение работы 5 мин. (пройти для проверки и корректировки выполнения задания, проверить выполнение заданий по определению внутренней и внешней функции, составлению сложных функций).

IV . Этап закрепления новых знаний

Используя имеющиеся графики, постройте график функции y =(2 x ) 2 -1

(на выполнение 4 минуты) – первый справившийся учащийся на доске выполняет чертеж графика

Итак, мы рассмотрели понятие сложной функции как композицию двух функций, внешней и внутренней. Научились распознавать эти функции в конкретно заданной функции, а также составлять композицию двух функций. А также посмотрели, как с помощью графиков элементарных функций можно построить график сложной функции.

2. Как распознать внешнюю и внутреннюю функции?

3. Можно ли утверждать, что график сложной функции - это обязательно сложная кривая, для построения которой необходимы сложные вычисления и преобразования?

По итогам работы на уроке выставляются отметки активным учащимся.

V . Этап информирования учащихся о домашнем задании и инструктажа по его выполнению

В ваших индивидуальных картах записано домашнее задание: построить график функции

10.4.1.7 уметь распознавать сложную функцию f(g(x)) и составлять композицию функций.

-знает понятие композиции функций (сложной функции);

-находит композицию двух функций;

- применяет полученные знания при выполнении заданий.

Критерии оценивания

Учащийся достиг цели, если:

- знает и применяет понятие композиции функций (сложной функции);

- использует изученный материал при решении задач.

Языковые цели

Предметная лексика и терминология:

описывает свойства функций по заданному графику;

объясняет алгоритм нахождения функции, обратной заданной;

- комментирует составление композиции функций;

Серия полезных фраз для диалога/письма

чтобы найти функцию, обратную данной, надо…;

данная сложная функция составлена из …;

если функция возрастает (или убывает) на некотором промежутке, то она называется … на этом промежутке;

функция называется четной, если…;

функция называется нечетной, если…;

график четной (нечетной) функции симметричен…;

чтобы построить график четной (нечетной) функции, надо;….

Привитие ценностей

Умение учиться, добывать самостоятельно информацию, анализировать ситуацию, адаптироваться к новым ситуациям, ставить проблемы и принимать решения, работать в команде, отвечать за качество своей работы, умение организовывать свое время

Привитие ценностей осуществляется посредством работ, запланированных на данном уроке.

Межпредметные связи

У учащихся закладываются базовые знания в определении понятия функции, исследования их, построения и преобразования графиков функций.

Навыки использования ИКТ

Предварительные знания

Функция и способы задания функции. Свойства функции.

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Организационный момент. Приветствие, проверить готовность учащихся к уроку. Ознакомление с целью обучения, целью урока и ожидаемым результатом.

Цель работы: повторение пройденного материала, актуализация знаний.

1. Повторение пройденного материала.

2. Изучение нового материала.

Для введения понятия сложной функции можно рассмотреть пример:

Если и , найдите .

Дана функция , где .

Попросите учащихся ответить на вопрос:

Учащиеся должны понимать запись , .

3.Практическая работа по теме.

Объедините учащихся в пары. Предложите учащимся карточки с заданиями. Пары могут обмениваться заданиями и проводить взаимопроверку по готовым ответам.

Дана функция и . Найти .

Составьте сложные функции и , если

Найдите область определения сложной функции

, если и .

5. На каких рисунках показаны функции:

Презентация

Виленкин Н.Я.и др. Алгебра для 9 класса. – М.: Просвещение, 1996.

Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. – М.: Просвещени

10.4.1.7уметь распознавать сложную функцию и составлять композицию функций

Учащийсяумеет распознавать сложную функцию ;

Учащийся применяет определение сложной функции на практике, составляет композицию функций;

Критерии успеха

Многие демонстрируют усвоение материала при выполнении практических заданий;

- после усвоения понятия сложной функции, будут создавать композии сложных функций;

- находят композиции двух функций;

Некоторые используют рациональный способ решения, объясняют логику рассуждений;

- решают задания среднего и сложного уровня;

Языковые цели

Лексика и терминология, специфичная для предмета:

Полезные выражения для диалогов и письма:

Привитие ценностей

обучение на протяжении всей жизни:

установление соответствий между понятиями и примерами

работа с партнером, взаимопроверка

проверка выполненных работ с обратной связью учителя, тем самым итоги работы прозрачны и обобщены.

Межпредметные связи

Орыс тілі, ағылшін тілі

Навыки использования ИКТ

Интерактивтік құралдарды қолдану

Предварительные знания

Понятие обратная функция

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Учащиеся предложено вычислить ряд примеров, записать ответы в таблицу. По предоставленной таблице кодов расшифровать высказывание.

Преемственность материала. Мотивация учащихся.

4. Изучение нового материала

а) Сложная функция

ә) Внутренняя и внешняя функция

y=f(g(x)) – сложная функция

g(x) – внутренняя функция

f(t) – внешняя функция

Пример:

g(x)= – внутренняя функция

f(t) = - внешняя функция

5. Индивидуальная работа .

( задания на закрепление)

Учащиеся после выполнения задания, сами себя оценят.

№ 220(а, в), № 221(а, в ), № 222(а, в ), № 226

6. Повторение темы урока, целей, критериев успеха.

7 . Парная работа : № 227, № 228

1.) Let f(x)=x+3 and g(x)=3x+5. Find f(g(4))-g(f(4))

2.) Let f(x)=5x 2 -5. What is f(f(x)?

3.) Let f(g(x))=3x+3 and f(x)=x+6. If g(x)=ax+b, compute a+b

4.) Let f(x)=2x-3 and g(f(x))=5-4x. Find g(4)

5.) Let g(2x+5)=4x 2 -3x+2. Find g(-3)

6.) If f(2x)= for all x>0, then what is 2f(x)

7.) If f(x)=2x and g(x)=x+1, find g(f(g(f(1)))

8.) Let p(x)=2x-7 and q(x)=3x-b. If p(q(4))=7, what is b?

9.) Let f(x)=x+5. Find f 19 (8)

10.) Let f(x)=3x 2 -7 and g(f(4))=9. What is g(f(-4))

8. Индивидуальная работа

запишите сложную функцию и найдите значение выражения:

Читайте также: