Компьютерные математические модели конспект

Обновлено: 05.07.2024

Понятие моделирования достаточно сложное, оно включает в себя огромное разнообразие способов моделирования: от создания натуральных моделей (уменьшенных и или увеличенных копий реальных объектов) до вывода математических формул.

Для различных явлений и процессов бывают уместными разные способы моделирования с целью исследования и познания.

Объект, который получается в результате моделирования, называется моделью . Должно быть понятно, что это совсем не обязательно реальный объект. Это может быть математическая формула, графическое представление и т.п. Однако он вполне может заменить оригинал при его изучении и описании поведения.

Хотя модель и может быть точной копией оригинала, но чаще всего в моделях воссоздаются какие-нибудь важные для данного исследования элементы, а остальными пренебрегают. Это упрощает модель. Но с другой стороны, создать модель – точную копию оригинала – бывает абсолютно нереальной задачей. Например, если моделируется поведение объекта в условиях космоса. Можно сказать, что модель – это определенный способ описания реального мира.

  1. Создание модели.
  2. Изучение модели.
  3. Применение результатов исследования на практике и/или формулирование теоретических выводов.

Графические модели. Визуальное представление объектов, которые настолько сложны, что их описание иными способами не дает человеку ясного понимания. Здесь наглядность модели выходит на первый план.

Имитационные модели. Позволяют наблюдать изменение поведения элементов системы-модели, проводить эксперименты, изменяя некоторые параметры модели.

Над созданием модели могут работать специалисты из разных областей, т.к. в моделировании достаточно велика роль межпредметных связей.

Совершенствование вычислительной техники и широкое распространение персональных компьютеров открыло перед моделированием огромные перспективы для исследования процессов и явлений окружающего мира, включая сюда и человеческое общество.

Компьютерное моделирование – это в определенной степени, то же самое, описанное выше моделирование, но реализуемое с помощью компьютерной техники.

При этом программное обеспечение, средствами которого может осуществляться компьютерное моделирование, может быть как достаточно универсальным (например, обычные текстовые и графические процессоры), так и весьма специализированными, предназначенными лишь для определенного вида моделирования.

Очень часто компьютеры используются для математического моделирования. Здесь их роль неоценима в выполнении численных операций, в то время как анализ задачи обычно ложится на плечи человека.

Обычно в компьютерном моделировании различные виды моделирования дополняют друг друга. Так, если математическая формула очень сложна, что не дает явного представления об описываемых ею процессах, то на помощь приходят графические и имитационные модели. Компьютерная визуализация может быть намного дешевле реального создания натуральных моделей.

С появлением мощных компьютеров распространилось графическое моделирование на основе инженерных систем для создания чертежей, схем, графиков.

Если система сложна, а требуется проследить за каждым ее элементом, то на помощь могут придти компьютерные имитационные модели. На компьютере можно воспроизвести последовательность временных событий, а потом обработать большой объем информации.

Однако следует четко понимать, что компьютер является хорошим инструментом для создания и исследования моделей, но он их не придумывает. Абстрактный анализ окружающего мира с целью воссоздания его в модели выполняет человек.

Одной из важных проблем в области разработки и создания современных сложных технических систем является исследование динамики их функционирования на различных этапах проектирования, испытания и эксплуатации. Сложными системами называются системы, состоящие из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов. При исследовании сложных систем возникают задачи исследования как отдельных видов оборудования и аппаратуры, входящих в систему, так и системы в целом.

К разряду сложных систем относятся крупные технические, технологические, энергетические и производственные комплексы.

При проектировании сложных систем ставится задача разработки систем, удовлетворяющих заданным техническим характеристикам. Поставленная задача может быть решена одним из следующих методов:

  • методом синтеза оптимальной структуры системы с заданными характеристиками;
  • методом анализа различных вариантов структуры системы для обеспечения требуемых технических характеристик.

Оптимальный синтез систем в большинстве случаев практически невозможен в силу сложности поставленной задачи и несовершенства современных методов синтеза сложных систем. Методы анализа сложных систем, включающие в себя элементы синтеза, в настоящее время достаточно развиты и получили широкое распространение.

Любая синтезированная или определенная каким-либо другим образом структура сложной системы для оценки ее показателей должна быть подвергнута испытаниям. Проведение испытаний системы является задачей анализа ее характеристик. Таким образом, конечным этапом проектирования сложной системы, осуществленного как методом синтеза структуры, так и методом анализа вариантов структур, является анализ показателей эффективности проектируемой системы.

Среди известных методов анализа показателей эффективности систем и исследования динамики их функционирования следует отметить:

  • аналитический метод;
  • метод натуральных испытаний;
  • метод полунатурального моделирования;
  • моделирование процесса функционирования системы на ЭВМ.

Строгое аналитическое исследование процесса функционирования сложных систем практически невозможно. Определение аналитической модели сложной системы затрудняется множеством условий, определяемых особенностями работы системы, взаимодействием ее составляющих частей, влиянием внешней среды и т.п.

Натуральные испытания сложных систем связаны с большими затратами времени и средств. Проведение испытаний предполагает наличие готового образца системы или ее физической модели, что исключает или затрудняет использование этого метода на этапе проектирования системы.

Широкое применение для исследования характеристик сложных систем находит метод полунатурального моделирования. При этом используется часть реальных устройств системы. Включенная в такую полунатуральную модель ЭВМ имитирует работы остальных устройств системы, отображенных математическими моделями. Однако в большинстве случаев этот метод также связан со значительными затратами и трудностями, в частности, аппаратной стыковкой натуральных частей с ЭВМ.

Исследование функционирования сложных систем с помощью моделирования их работы на ЭВМ помогает сократить время и средства на разработку.

Затраты рабочего времени и материальных средств на реализацию метода имитационного моделирования оказываются незначительными по сравнению с затратами, связанными с натурным экспериментом. Результаты моделирования по своей ценности для практического решения задач часто близки к результатам натурного эксперимента.

Метод имитационного моделирования основан на использовании алгоритмических (имитационных) моделей, реализуемых на ЭВМ, для исследования процесса функционирования сложных систем. Для реализации метода необходимо разработать специальный моделирующий алгоритм. В соответствии с этим алгоритмом в ЭВМ вырабатывается информация, описывающая элементарные процессы исследуемой системы с учетом взаимосвязей и взаимных влияний. При этом моделирующий алгоритм сроится в соответствии с логической структурой системы с сохранением последовательности протекаемых в ней процессов и отображением основных состояний системы.

  • моделирование входных и внешних воздействий;
  • воспроизведение работы моделируемой системы (моделирующий алгоритм);
  • интерпретация и обработка результатов моделирования.

Перечисленные этапы метода многократно повторяются для различных наборов входных и внешних воздействий, образуя внутренний цикл моделирования. Во внешнем цикле организуется просмотр заданных вариантов моделируемой системы. Процедура выбора оптимального варианта управляет просмотром вариантов, внося соответствующие коррективы в имитационную модель и в модели входных и внешних воздействий.

Процедура построения модели системы, контроля точности и корректировки модели по результатам машинного эксперимента задает и затем изменяет блок и внутреннего цикла в зависимости от фактических результатов моделирования. Таким образом, возникает внешний цикл, отражающий деятельность исследователя по формированию, контролю и корректировке модели.

Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи исключительной сложности. Исследуемая система может одновременно содержать элементы непрерывного и дискретного действия, быть подверженной влиянию многочисленных случайных факторов сложной природы, описываться весьма громоздкими соотношениями и т.п. Метод не требует создания специальной аппаратуры для каждой новой задачи и позволяет легко изменять значения параметров исследуемых систем и начальных условий. Эффективность метода имитационного моделирования тем более высока, чем на более ранних этапах проектирования системы он начинает использоваться.

Следует, однако, помнить, что метод имитационного моделирования является численным методом. Его можно считать распространением метода Монте-Карло на случай сложных систем. Как любой численный метод, он обладает существенным недостатком – его решение всегда носит частный характер. Решение соответствует фиксированным значениям параметров системы и начальных условий. Для анализа системы приходится многократно моделировать процесс ее функционирования, варьируя исходные данные модели. Таким образом, для реализации имитационных моделей сложной модели необходимо наличие ЭВМ высокой производительности.

Для моделирования системы на ЭВМ необходимо записывать моделирующий алгоритм на одном из входных языков ЭВМ. В качестве входных языков для решения задач моделирования могут быть с успехом использованы универсальные алгоритмические языки высокого уровня, Си, Паскаль и др.

Анализ развития наиболее сложных технических систем позволяет сделать вывод о все более глубоком проникновении ЭВМ в их структуру. Вычислительные машины становятся неотъемлемой, а зачастую и основной частью таких систем. Прежде всего это относится к сложным радиоэлектронным системам. Среди них различные автоматические системы, в том числе системы автоматической коммутации (электронные АТС), системы радиосвязи, радиотелеметрические системы, системы радиолокации и радионавигации, различные системы управления.

На этапах разработки, проектирования, отладки и испытания сложных систем с высоким удельным весом аппаратно-программных средств вычислительной техники ставится задача анализа и синтеза вариантов организации структуры аппаратных средств, а также разработки и отладки специализированного ПО большого объема. Эта задача может быть решена с помощью аппаратно-программного моделирования с использованием универсальных моделирующих комплексов, построенных на базе однородных ВС с программируемой структурой.

Аппаратно-программное моделирование можно считать частным случаем полунатурного моделирования. На первом этапе разрабатывается концептуальная модель заданного класса систем на основе анализа типовых процессов, структур и аппаратных блоков. Концептуальная модель реализуется на аппаратно-программных средствах моделирующего комплекса. При этом моделирующий комплекс может настраиваться на соответствующую структуру системы программным путем за счет возможности программирования структуры используемой микропроцессорной ВС. Часть аппаратных и программных средств микропроцессорной ВС моделирующего комплекса непосредственно отражает аппаратно-программные средства, входящие в исследуемую систему (аппаратное моделирование), другая часть реализует имитационную модель функциональных средств исследуемой системы, внешней обстановки, влияния помех и т.п. (программное моделирование).

Разработка аппаратно-программных моделирующих комплексов является сложной технической задачей. Несмотря на это, применение таких комплексов находит все большее распространение. При достаточной производительности вычислительных средств комплекса процесс исследования системы может вестись в реальном масштабе времени. В составе комплекса могут использоваться как универсальные микроЭВМ общего назначение, так и вычислительные средства, непосредственно входящие в исследуемую систему. Подобные моделирующие комплексы являются универсальными стендами для разработки и отладки аппаратно-программных средств, проектируемых систем заданного класса. Они могут использоваться в качестве тренажеров по обучению обслуживающего персонала.

Урок предназначен для учеников 11 класса. Информатика. Используемые современные образовательные технологии: проблемная технология, исследовательская технология, компьютерная технология, здоровьесберегающая технология. Содержатся инструкции для работы в группах.

ВложениеРазмер
КОНСПЕКТ УРОКА 11 КЛАСС. ИНФОРМАТИКА 75 КБ
ИНСТРУКЦИЯ ДЛЯ РАБОТЫ 1- ой ГРУППЕ 23.5 КБ
ИНСТРУКЦИЯ ДЛЯ РАБОТЫ 2-ой ГРУППЕ 25 КБ
ИНСТРУКЦИЯ ДЛЯ РАБОТЫ 3-ой ГРУППЕ 25.5 КБ
ИНСТРУКЦИЯ ДЛЯ РАБОТЫ 4-ой ГРУППЕ 470 КБ

Предварительный просмотр:

Открытый интегрированный урок

в 11 классе математика и информатика

Методическая разработка интегрированного урока

Учитель: Васильева Людмила Валентиновна

Предмет: Информатика и математика

Тема: Математическое и компьютерное моделирование

Продолжительность занятия: 45 мин

Образовательное учреждение: МБОУ СОШ №155

  • презентация из 77 слайдов (среда POWER POINT);
  • SMART приложение

проектор, экран, ноутбук, интерактивная доска, компьютеры, раздаточный материал.

MS Office – PowerPoint, Excel, SMART.

  • комплект карточек с задачами;
  • буклет
  • вооружить учащихся знаниями основных понятий по теме;
  • закрепить практические навыки по составлению моделей в электронных таблицах;
  • организовать деятельность учащихся по созданию компьютерной модели в электронных таблицах для практического использования в различных жизненных ситуациях.
  • формировать межпредметную связь;
  • расширить мировоззрение и кругозор учащихся;
  • развивать аналитические способности, внимание, мышление.
  • способствовать обогащению внутреннего мира учащихся;
  • воспитывать чувство патриотизма;
  • воспитать устойчивый интерес к изучению информатики

Тип урока: усвоение новых знаний.

Современные образовательные технологии:

- з доровьесберегающие технология;

  • информационный (словесный);
  • наглядно - иллюстративный;
  • практический

Формы организации учебной деятельности:

  • беседа;
  • практическая работа с комментариями учителя;
  • самостоятельная практическая работа с раздаточным материалом;
  • моделирование;
  • исследование.

I. Организационная часть

Приветствие. Учитель: Здравствуйте, ребята! Я думаю, что у вас, ребята, хорошее настроение, и мы с вами успешно поработаем

II. Постановка темы, задач урока. Мотивация. Актуализация знаний учебной деятельности

Учитель : Сегодня за окном зима. Вы любите это время года? С чем у вас ассоциируется зима? (Ответы учеников).

Вот и я люблю зиму. А особенно, когда тихо падает снег. Однажды, гуляя в такой день в парке, на мою ладошку падали снежинки. Они были мелкие и крупные. За определенный промежуток времени на моей ладони их всего стало 17. А вот мелких снежинок на 5 меньше, чем крупных.

Я предлагаю вам, ребята, решить задачу, узнать, сколько крупных и мелких снежинок выпало на мою ладонь. С чего начнем?

Актуализация знаний учебной деятельности

Учитель: У каждого из вас есть текст, прочитайте, и скажите, какие есть предложения по решению задачи? (Ребята предлагают одно решение, составляя уравнение к задаче )

Как иначе можно решить задачу? (Ребята предлагают другое решение, составляя систему уравнений к задаче).

Вы предложили 2 способа решения задачи, один – составлением уравнения. А другой – составлением системы двух уравнений.

Такие математические представления реальности, позволяющие прийти к решению задачи, называются математическими моделями. А значит, уравнение и система уравнений – есть математические модели к решению задачи.

А что ещё можно отнести к математическим моделям? ( Ребята предлагают свои идеи)

К математическим моделям также относятся формулы, неравенства, системы неравенств, геометрические фигуры.

Ребята, а как будет называться процесс получения таких моделей? (математическое моделирование)

Да, математическое моделирование.

Моделирование является одним из способов изучения окружающей действительности.

И главным является умение составлять модели.

Модели могут быть записаны аналитически (формулами) и графически.

Между аналитическими и графическими моделями всегда можно установить соответствие.

Предлагаю задание это сделать. (Ребята идут к интерактивной доске и выполняют задание на соответствие). SMART приложение.

Постановка (темы), задач урока.

Вернемся в парк, где я гуляла. Поднялся ветер! Подхватил снежинки с моей ладони и закружил, поднимая их вверх. Формулы для описания их движения очень сложные. Одна из них – перед вами. У=-5хsinх +2Х 2

Сможем ли мы теперь легко найти соответствующий данной формуле график? И построить

А быстро, легко это будет сделать? (Сложно и долго)

Поэтому нам нужны новые современные технологии. Какие? ( компьютерные)

То есть мы можем применить компьютерное моделирование.

В настоящее время компьютерное моделирование мощным потоком влилось почти во все сферы нашей жизни.

В каких программах можно моделировать на компьютере? (Ребята перечисляют несколько программ, в каждой программе можно построить любую информационную модель)

MS Excel является гибким инструментом для компьютерного моделирования. MS Excel является мощным вычислительным инструментом, позволяющим производить простые и сложные расчеты в различных областях человеческой деятельности. В данной программе можно строить графики функций, круговые и столбчатые диаграммы, делать сложные расчеты.

Лист в данной программе разбит на что? (Ячейки) У каждой ячейки есть что? (Адрес) Он состоит из чего? (Буквы и числа) Как правильно вводятся формулы в ячейки? (С помощью знака равно и на английском языке)

III. Освоение нового материала (через выдвижение гипотез и анализ результатов исследования моделей). Практическая работа.

Рассмотрим схему этапов моделирования. Предлагаю выйти к доске и распределить порядок этапов моделирования. (Ученики выполняют задание на интерактивной доске SMART, проектируя этапы моделирования )

Итак, начнем вместе изучать полёт снежинок с помощью компьютерного моделирования.

Кто-нибудь может предположить какая будет траектория?

Открыли программу Microsoft Excel. Будем совместно моделировать. Если нужно учителю повторить, поднимаем красную карточку, которая будет сигналом – стоп.

Далее учитель по слайдам объясняет алгоритм построения модели на компьютере.

Получили компьютерную модель полета снежинок.

Мне удалось пронаблюдать полет снежинок только 25 секунд. Но компьютерное моделирование позволяет не только построить модель, но и провести исследование на любых промежутках времени. Давайте, исследуем поведение снежинок далее, например, за 48 секунд. Оказывается, траектория движения снежинок повторяется и это не случайно!!

Также повторение мы часто наблюдаем в живой природе. Судите сами!! Посмотрите фильм.

(ФИЛЬМ о фракталах в природе)

Далее учитель с помощью презентации рассказывает о фракталах

(определение, о первооткрывателе).

Демонстрирует с помощью слайдов виды фракталов.

Изучая фракталы, ученые составляют математические модели – формулы. Эти формулы сложны, но с помощью компьютерного моделирования мы их можем увидеть в виде красивых фигур. Вам хотелось бы смоделировать фракталы на компьютере?

Этап самостоятельной практической работы по парам.

Я вам предлагаю смоделировать на компьютере фракталы.

  1. Закроем один ноутбук.
  2. Разобьемся на пары.
  3. Сядем за один ноутбук.
  4. Получаем инструкцию.
  5. Выполняем.

Учитель раздаёт задания с инструкциями

по построению фракталов и листом отчета.

Итак, ребята моделируют фракталы, а на экране идет автоматический показ слайдов - фракталов под фрактальную музыку.

Как группы будут готовы, сигналами служат – зеленые карточки, поднимите их вверх. Заполните листы отчета, подумайте над дополнительным (исследовательским) заданием, если у вас останется время.

Группы все справились с работой. Построили модель фрактала .

Вам понравилось моделировать фракталы? ( Ответы учеников)

Этап анализирования результатов. Рефлексия

От группы выходит ученик с заполненным листом отчета и рассказывает о построенной компьютерной модели. (Ребята выходят и показывают свою работу, рассказывая, как это делали).

Что понравилось? Какие трудности? Были ли неожиданности? (Ответы учеников)

Этап подведения итогов

Я рада, что у вас получилось и хочу сказать, что наука, изучающая фракталы, молодая. И может быть вы, выпускники, будете изучать их, потому что фракталы применяются широко. А где? Посмотрите на экран.

Учитель демонстрирует слайды о применении фракталов.

Ребята, а вы помните, с чего начинался урок? (со снежинок)

Как вы считаете, снежинка обладает фрактальными свойствами? (Да)

Да, снежинка также фрактал. Вспомните, как мы её рисуем, вырезаем, она состоит из самоподобных частей. (Учитель показывает фрактальную снежинку – модель фрактала).

Увидеть удивительный и сложный мир природы фракталов нам сегодня помогли знания математического и компьютерного моделирования.

Ребята, вы убедились, что можно моделировать на компьютере реальные процессы, явления (траектории) и объекты (фракталы). (Да)

Значит, цель достигнута, задачи решены.

Но компьютерным моделированием занимались не только вы. Я тоже применила компьютерное моделирование, подготовив для вас буклет – компьютерную модель сегодняшнего урока.


В данном видеоуроке рассматриваются компьютерные математические модели и инструменты их реализации. Рассказывается о различных компьютерных математических моделях, их применении при решении задач, а также рассматриваются методы имитационного моделирования.


В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности




Конспект урока "Знаковые модели. Компьютерные математические модели"

· Определение компьютерной математической модели.

· Использование компьютерной математических моделей.

· Применение при решении задач.

Самые разные математические модели широко использовались и используются при изучении многих научных областей и дисциплин. Так, на пример, учёные астрономы используют математические модели, чтобы предсказать движение небесных тел. Как мы уже знаем, при составлении любых информационных моделей учитываются существенные свойства объекта или явления. Но что делать, если этих свойств очень много или они очень сложны для расчёта? Ведь человеку понадобится немало времени для реализации такой математической модели.

Реализация – это расчёт состояния объекта или системы, по формулам из математической модели, которые связывают значения его исходных и результирующих параметров.

Это одна из важнейших областей применения компьютеров. Ведь компьютер способен выполнять миллионы математических операций в секунду.

Математические модели, реализованные на компьютере с помощью тех или иных программных средств, называются компьютерными математическими моделями.

Для реализации математических моделей на компьютере могут использоваться:

· различные языки программирования,

· различные математические пакеты.

При использовании некоторых средств визуализации можно наглядно представить результаты и процесс работы той или иной системы.

Компьютерные математические модели широко используются в различных областях науки. На пример, используя средства визуализации табличного процессора Microsoft Excel (его вы будете изучать позже) можно отобразить в виде линии траекторию полёта снаряда, который выпущен из пушки, расположенной на земле. Снаряд был выпущен с известной начальной скоростью, под определённым углом к горизонту.

Реализация математической модели в Microsoft Excel

После того, как математическая модель была задана достаточно нескольких нажатий клавиш, чтобы изменить исходные данные системы. И мы тут же получили результирующие данные для системы с другими параметрами.

Особую роль среди компьютерных математических моделей занимают модели систем, параметры которых могут принимать случайные значения в определённых пределах. Часто для того, чтобы оптимизировать работу такой системы, моделируют её работу при различных параметрах и находят их оптимальные значения. Такая математическая модель называется имитационной.

Имитационные модели применяются во многих сферах жизни человека. Например, моделирование системы обслуживания покупателей в магазине, чтобы выяснить, какое количество продавцов необходимо для нормальной его работы. Ведь мы не можем точно предсказать количество покупателей, пришедших в магазин за единицу времени или точное время обслуживания продавцом каждого из них.

Подобные модели могут применяться во многих областях науки. Рассмотрим пример из теории вероятности. Хорошо известно, что вероятность выпадения герба или цифры при подбрасывании монеты равна 50%, но как это проверить? Можно много раз подбросить монету, записывая результат. При этом очевидно, что чем большее число подбрасываний мы совершим, тем результат будет точнее. Некоторые математики проделывали этот опыт. Результаты некоторые результаты представлены в таблице.

Любое явление или объект обладает огромным количеством свойств, характеристик или параметров, охватить которые бывает очень сложно, поэтому приходится проводить упрощение такого объекта, отбрасывая несущественные детали. Иными словами, строить модель.

Под моделью мы будем понимать любой материальный или идеальный объект, обладающий некоторыми свойствами, совпадающими со свойствами реального объекта.




При этом исследователь будет выбирать такие свойства, которые являются существенными для изучаемого объекта. Например, при проектировке здания архитектору важен внешний вид объекта, для инженера — прочность и материалы, для инженера-геолога – нагрузка на грунт. Поэтому модель одного и того же здания будет различна.

Давайте рассмотрим еще один класс моделей — это математические модели. Например, все геометрические объекты (круг, треугольник, прямая) являются моделями. В окружающем нас мире не существует таких объектов.

Например, стол. Можем ли мы сказать, что он идеально прямоугольный? Нет, конечно, так как каждый край стола не может быть идеальной прямой линией. Однако, во многих случаях можно считать, что это так.

Подобные рассуждения справедливы и для всех других математических объектов — вектор, числа, функций, производных, интегралов.

Будем считать, что математическое моделирование — это описание реальной ситуации с помощью математических терминов, математических операций и математической символики.


Основоположником математического моделирования в России был академик Российской академии наук Александр Андреевич Самарский, который первый предложил использовать математические модели, реализуемые с помощью компьютера и дальнейшее их исследование. Важнейшим преимуществом использования таких моделей заключается в невысоких финансовых затратах и относительной простоте. При этом практика является и остается критерием истинности и завершающим звеном в исследовании.


Моделирование требует четкого плана действий. На первом этапе формируется задача, которую необходимо решить с помощью модели, далее разрабатывается некий математический эквивалент исследуемого объекта, после чего происходит тестирование такой модели и сравнение с практическими знаниями. Если модель на тестовом этапе не противоречит практике, то проводится эксперимент с моделью, после чего анализируются результаты и делаются выводы. Давайте рассмотрим все этапы моделирования на примере колеса, вращающегося внутри более большого:

ЭТАП 1. Постановка задачи

В колесе радиуса R катится колесо радиуса r. Какую траекторию описывает точка, расположенная на ободе колеса r?

ЭТАП 2. Математическая модель

Траектория движения этой точки находится по формулам:


где φ изменяется от 0 до 2π (угол смещения колеса r).

Вывод уравнения движения смотри по ссылке .

ЭТАП 3. Алгоритм решения

Для получения траектории движения колеса, нам необходимо изменять значение φ от 0 до 30. Вычислять координаты и представлять их на графике. Попробуем это сделать с помощью программы Excel.

ЭТАП 4. Разработка программы. Тестирование

Создадим таблицу по образцу:


В столбец А занесем значения угла φ от 0 до 6.28 с шагом 0.01.



Запишем в ячейку а в ячейку

С помощью маркера заполнения распространим эти формулы до конца таблицы.


По значениям столбцов B и С построим точечный график:


ЭТАП 5. Вычислительный эксперимент

Изменяя значения в ячейках F3 и F4, получи различные картинки:

ЭТАП 6. Анализ результатов. Выводы

Вычислительный эксперимент показал, что вид фигуры зависит от отношения радиусов маленького и большого колеса. Такие фигуры носят названия — ГИПОЦИКЛЫ.

Читайте также: