Системы неравенств с двумя переменными 9 класс конспект урока макарычев

Обновлено: 07.07.2024

Цель: построение решения системы неравенств с двумя переменными на координатной плоскости.

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых неравенством.

III. Изучение нового материала

В ряде случаев на координатной плоскости приходится изображать множество решений системы неравенств с двумя переменными. Напомним, что пара значений неизвестных, которая одновременно является решением и первого и второго неравенства, называется решением системы двух неравенств с двумя переменными.

Рассмотрим систему неравенств с двумя переменными

Пара значений переменных (1; 4) является решением системы неравенств, т. к. является решением каждого неравенства: или

Пара значений переменных (1; 1) не является решением системы неравенств, т. к. не является решением первого неравенства: или

Множеством решений системы неравенств с двумя переменными является пересечение множеств решений всех неравенств, входящих в систему. На координатной плоскости множество решений системы неравенств изображается множеством точек, являющихся общей частью множеств, представляющих собой решения каждого неравенства системы.

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств

Первое неравенство системы задает на координатной плоскости круг с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Второе неравенство задает полуплоскость, расположенную ниже прямой 2х + у = 0.

Итак, решениями данной системы неравенств являются точки полукруга (они заштрихованы).

На плоскости х0у изобразим точки, удовлетворяющие системе неравенств

Изобразим сначала точки, удовлетворяющие первому неравенству. Построим график границы - график функции у = х2 - 2х - 1. Эта парабола пересекает ось 0у в точке у = -1, ось 0х в точках Вершина параболы находится в точке (1; -2), ветви параболы направлены вверх. Эта кривая разбила координатную плоскость на часть, заключенную между ветвями параболы, и часть, находящуюся за ветвями параболы. Взяв любую точку, например (1; -1), из первой части плоскости, видим, что она удовлетворяет неравенству у > х2 - 2х - 1. Поэтому все точки этой части также удовлетворяют неравенству (за исключением границы, т. к. неравенство строгое).

Аналогично, построив границу (х - 1)2 + (у + 2)2 = 1, видим, что неравенству (х - 1)2 + (у + 2)2 ≤ 1 удовлетворяют внутренние и граничные точки окружности.

Штриховкой показаны те точки, которые удовлетворяют системе неравенств. Причем стрелки показывают, что данная граница (часть параболы) не входит в множество решений системы неравенств.

Изобразим множество точек, которые являются решениями системы неравенств и вычислим площадь этой фигуры.

Запишем систему неравенств в следующем виде: или

Графиком первого неравенства является круг с центром в точке O1(4; -4) и радиусом Графиком второго неравенства являются точки, расположенные за окружностью с центром в точке O2(2; -2) и радиусом Итак, решениями данной системы неравенств являются точки, расположенные между двумя касающимися в начале системы координат окружностями (эти точки заштрихованы).

Найдем площадь этой фигуры. Она равна разности площадей окружностей: Таким образом, площадь заштрихованной фигуры ровно в 3 раза больше площади малого круга.

IV. Задание на уроке

№ 496 (а, б); 497 (б, г); 498 (а); 499 (б); 500 (а, в); 501 (а); 502 (б); 503.

V. Задание на дом

№ 496 (в, г); 497 (а, в); 498 (в); 499 (а); 500 (б, г); 501 (б); 502 (а).

Конспект урока в 9 классе по теме: "Системы неравенств с двумя переменными".

Вложение	Размер
Системы неравенств с двумя переменными.	339.46 КБ

Предварительный просмотр:

- Здравствуйте, ребята, садитесь.

- Какую тему вы изучали на прошлом уроке? ( Неравенства с двумя переменными ).

- Каким методом вы решали неравенства с двумя переменными? ( Графическим ).

- Сегодня вы продолжите решать неравенства с двумя переменными. Я надеюсь, что вы будите вдумчиво, быстро и хорошо работать на уроке. Желаю вам успеха.

Актуализация знаний и фиксация индивидуальных затруднений в пробном учебном действии.

Ответ: пара чисел (1; 1) является решением неравенства .

Центр окружности , r = 5

Учитель разворачивает диалог с учащимися:

- У кого вызвало затруднение решение № 519 (а) ?

- Каким правилом нужно было воспользоваться, чтобы решить задание? ( Пара чисел является решением неравенства, если значения переменных обращают данное неравенство в истинное ) .

- У кого вызвало затруднение выполнение № 510 (в) ?

Аналогично вопросы по № 522 (в), № 520 (в) .

- Какой алгоритм вы применили для того, чтобы выполнить эти задания? ( Алгоритм графического решения неравенства с двумя переменными ) .

- Сформулируйте этот алгоритм. ( Ученик формулирует алгоритм, а учитель вывешивает его на доску ) .

Алгоритм графического решения неравенства с двумя переменными

Если неравенство ложное, то заштриховать область, не содержащую данную точку.

- Что еще необходимо знать, чтобы решить неравенство с двумя переменными? ( Знать, что является графиком уравнения с двумя переменными и уметь строить график ) .

- Хорошо, ребята. Продолжим. Запишите в тетради дату, классная работа.

Задание 1. Установите соответствие между графиками уравнений с двумя переменными и уравнениями, задающими эти графики. В тетрадь ответы запишите в следующем виде:

- Проверяем. ( А – 2, Б – 1, В – 3, Г – 4 ).

Задание 2. Решите систему неравенств и определите на каком из рисунков изображено множество ее решений?

- Проверяем. ( рисунок В).

Если были ошибки, то учащиеся объясняют решение.

Задание 3. (Пробное учебное действие).

- Найдите множество решений еще одной системы неравенств

- У кого нет ответа?

- Почему не смогли выполнить задание? ( Мы еще не решали системы неравенств с двумя переменными, не знаем как их решать).

Далее учитель организует диалог с учащимися в зависимости от результатов.

Если у ученика ответ неверный, то учитель задает вопросы:

- Вы можете доказать, что правильно выполнили задание?

- В чем испытываете затруднение?

Если у ученика ответ верный, но решением системы является одна точка или несколько точек, то учитель задает вопросы:

- Вы можете доказать, что правильно выполнили задание?

- Вы нашли множество всех решений системы неравенств?

- В чем испытываете затруднение?

Если у ученика ответ верный, то учитель задает вопросы:

- Вы можете доказать, что правильно выполнили задание?

- Каким алгоритмом вы воспользовались? ( Такого алгоритма нет ).

- Итак, какое задание вы должны были выполнить? ( Найти множество решений системы неравенств с двумя переменными).

- Что вы использовали при выполнении задания?

- В каком месте у вас возникло затруднение?

– Почему это задание у вас вызвало затруднение? ( У нас нет алгоритма решения системы неравенств с двумя переменными).

- Над каким вопросом вы будите работать? (Как найти множество решений системы неравенств с двумя переменными?).

- Какова цель урока? (Найти метод, алгоритм решения системы неравенств с двумя переменными).

- Сформулируйте тему урока. Запишите ее в тетради. ( Учитель записывает тему урока на доске так как ее предложили учащиеся или при необходимости ее уточняет).

Далее учитель разворачивает диалог с учащимися в зависимости от уровня подготовки учащихся.

На уровне гипотез с их последующей проверкой .

- Посмотрите внимательно на доску. Какие решенные вами задания дома и в классе могут помочь решить систему неравенств с двумя переменными?

- Какие есть идеи?

- Сформулируйте алгоритм решения системы неравенств с двумя переменными.

На уровне подводящего диалога.

- Какие неравенства даны в системе? (С двумя переменными).

- Вы умеете находить множество решений неравенства с двумя переменными? (Да).

- Каким способом? (Графически).

- Вы умеете решать системы неравенств с одной переменной? (Да).

- Что является решением системы неравенств? (Пересечение числовых промежутков).

- Составьте план, алгоритм наших действий. (Составляется алгоритм).

- Проверим правильно ли вы составили алгоритм. Уточним его как это принято в математике. (Учащиеся проверяют алгоритм, достав его из конверта, зачитывают, учитель вывешивает алгоритм на доску).

Алгоритм решения системы неравенств с двумя переменными

Построить график каждого из неравенств системы.

Найти пересечение получившихся частей плоскости.

К доске приглашается ученик, который пошагово выполняет задание на доске в соответствии с алгоритмом. Учащиеся выполняют в тетрадях. Целесообразно использовать цветные ручки и мел.

- Мы решили задачу?

Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.

Выполняется в парах. На столах карточка № 1 с заданием (экземпляр для каждого ученика). Через 2 – 3 минуты учащиеся проверяют решение по образцу, который вывешивает на доску учитель.

Изобразите множество решений системы неравенств

Выполняется в группах по 4 человека. Через 3 – 4 минуты представителем от каждой группы вывешивается результат работы на доску. Учитель так же вывешивает образец на доску.

На столах маркеры, листы бумаги формата А3 с заготовленной системой координат и графиками уравнений, которые построены заранее карандашом.

Изобразите множество решений системы неравенств

Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

КАРТОЧКА № 3. 1 вариант

Покажи штриховкой на координатной плоскости множество решений

КАРТОЧКА № 3. 2 вариант

Покажи штриховкой на координатной плоскости множество решений

Образец. 1 вариант 2 вариант

- Ребята, как вы думаете, где применяется умение графически решать системы неравенств с двумя переменными?

- В экономике. Если бизнесмен, директор фирмы желает повысить прибыль предприятия при одновременном снижении затрат на производство, то ему приходится решать задачу на оптимизацию, где и применяется умение решать графически системы неравенств с двумя переменными.

Учитель показывает решение задачи линейного программирования на оптимизацию в экономике (при наличии времени – подробно, если времени осталось мало, то кратко).

Решение: пусть х – объем стекла в неделю

у – объем пенопласта в неделю

– недельное рабочее время

Систему решаем графически.

z – наибольшая прибыль

В точке О (0;0) z = 0

Наибольшая прибыль z = 1450, следовательно, x = 5, y = 30. Значит, необходимо выпускать в неделю 5 т стекла и 30 т пенопласта.

- Также решают задачи на грузоперевозки, на составление меню и диет . Задачи на оптимизацию вы будите решать на уроках информатики в 11 профильном классе.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Алгебра 9 класс Урок №___________________________________________________
Решение систем неравенств второй степени с двумя переменными

Тип урока: Урок формирования новых знаний.

Дидактические

Развивать вычислительные навыки при решении систем уравнений второй степени

Сформировать понятие системы неравенств

формировать умение решать системы неравенств второй степени с двумя переменными.

Рассмотреть два способа решения систем неравенств (графический и аналитический способы) и научиться их решать, пользуясь алгоритмом

проконтролировать степень усвоения материала по теме.

Развивающие:

способствовать развитию навыка самостоятельного применения знаний;

развивать навыки самоконтроля;

продолжить работу по развитию логического мышления и устной математической речи при поиске решения поставленной проблемы.

Воспитательные:

приучать к умению общаться и выслушивать других;

воспитывать внимательность и наблюдательность;

стимулировать мотивацию и интерес к изучению математики.

Цель деятельности учителя

Создать условия для формирования способов решения систем решении задач

Термины и понятия

Системы неравенств, способы решения

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

У меют демонстрировать знание основных понятий, применять полученные знания для решения основных и качественных задач, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

Познавательные: осуществляют логические действия; формулируют ответы на вопросы.

Регулятивные: умеют самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения математических проблем, адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математатических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

I. Организационный момент.

II. Устная работа. Является ли решением системы неравенств пара чисел:а) (5; –3); б) (3; 1); в) (–1; 2)?

III .Проверка домашней работы (решение примеров ,аналогичных ДР)

IV. Объяснение нового материала. Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о решении систем линейных неравенств с двумя переменными, а затем разобрать пример 2 из учебника.

Формирование умений и навыков. Упражнения:

1. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы:

а)

Изобразим на координатной плоскости множество решений этой системы, предварительно преобразовав ее:

Таким образом, множество решений этой системы неравенств задает треугольник ОАВ . Для нахождения его площади нужно знать высоту ВН , то есть абсциссу точки В . Точка В является точкой пересечения прямых у = х и у = 5 – х . Решим уравнение:

х = 5 – х; 2 х = 5; х = 2,5.Значит, в треугольнике ОАВ АО = 5 и ВН = 2,5.

S = ∙ AO ∙ BH;S = ∙ 5 ∙ 2,5 = 6,25.О т в е т: 6,25 ед 2 .

4. № 503. Р е ш е н и е

Построим искомый угол: Получим систему неравенств:

V. Итоги урока. В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением неравенства с двумя переменными?

– Что называется решением системы неравенств с двумя переменными?

– Как решаются неравенства с двумя переменными?

– Как решаются системы неравенств с двумя переменными?

Домашнее задание: № 500 (б, г), № 501 (б), № 502 (а). Д о п о л н и т е л ь н о: № 557 (б).

Тип урока: Урок закрепления знаний, ,формирование умений и навыков знаний.

Дидактические

формировать умение решать системы неравенств второй степени с двумя переменными.

проконтролировать степень усвоения материала по теме.

Развивающие:

способствовать развитию навыка самостоятельного применения знаний;

развивать навыки самоконтроля;

Воспитательные: приучать к умению общаться и выслушивать других;

воспитывать внимательность и наблюдательность;

стимулировать мотивацию и интерес к изучению математики.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные
ресурсы

Оборудование: презентация, интерактивная доска, таблицы.

I. Организационный момент.

II. Устная работа. (по текстам ОГЭ)

III .Проверка домашней работы

IV .Закрепление навыков решения систем неравенств . № 577 (а).

Неравенство х 2 + у 2 ≤ 25 задает круг с центром в начале координат и радиусом 5. Неравенство ху ≤ 0 задает вторую и четвертую координатные четверти.

На рисунке показано множество решений этой системы неравенств:

2. № 559 (б).Р е ш е н и е

х ( х 2 – у ) ≤ 0. Произведение двух выражений будет отрицательным, если эти выражения имеют разные знаки. То есть это неравенство равносильно совокупности двух систем:

Изобразим на координатной плоскости множества решений каждой из систем:

V . Контроль за усвоение темы (СР работа разноуровневая)

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

9 класс. Алгебра.( учебник Алгебра 9 класс. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова, под редакцией С.А.Теляковского.- М.:Просвещение, 2016)

Решение систем неравенств второй степени с двумя переменными.

Цель: - познакомить учащихся с понятием системы неравенств второй степени с одной переменной и алгоритмом решения таких систем неравенств на основе свойств функций, формировать умение решать системы неравенств данного вида;

-развивать умение выделять главное, анализировать, делать выводы; формировать графическую и функциональную культуру учащихся; учить использовать ИКТ при решении задач ( в частности программу Advanced Grapher);

-формировать навыки общения, умение работать в коллективе.

І ) Организационный момент.

ІІ) Проверка домашнего задания.

ІІІ ) Мозговой штурм.

Описать линии, заданные уравнениями:

у=х-3, у = - 2х+5, у=1/3х -1,5; у=х 2 +4, у = (х-3) 2 -3, у = 2х 2 + х – 5, у = 8/ х, у=-6/х, у = -1/2( х-3) 2 + 5, (х – 2) 2 + (у+3) 2 =4, (х + 1) 2 + у 2 = 25, х 2 + у 2 = 9.

ІУ) Объяснение нового материала.

Проверим, является ли пара чисел (1;2) решением неравенства х ≤ у 2 ? Неравенства у˂ х +2? Можно ли утверждать, что данная пара чисел является решением системы неравенств? Рассматриваем примеры 1, 2, 3 из учебника. Делаем вывод – озвучиваем алгоритм решения системы неравенств.

У) Формирование умений и навыков .

1) № 496 ( устно)

2) № 497 – работа в парах: -обсуждение, - выполнение построения, - проверка друг у друга правильности выполнения.

3) Работа в группах.

Изобразите на координатной плоскости множество решений системы:

а) в)

б) г)

а) б)

в) г)

Проверить выполнение с помощью программы Advanced Grapher.

4) Самостоятельная работа. Решить системы с помощью программы Advanced Grapher . Индивидуальные задания.

1) 2) 3)

Проверка выполнения.

УІ) Домашнее задание

Advanced Grapher помогает быстро строить графики, но вы должны и без помощи компьютера уметь выполнять подобные задания, поэтому д/з следующее:

Читайте также: