Сфера и шар конспект и презентация 11 класс

1. d=5, R=2
2. d=3, R=3
3. d=3, R=2
4. d=2, R=4

Обсудите в группах и дайте ответ.

(Сфера и шар)

Какие характеристики мы дали этим понятиям?

(Центр, радиус, диаметр, вывели уравнение сферы, выяснили взаимное расположение сферы и плоскости)

На столах у каждого из вас лежит конверт. Откройте его и достаньте из него листок, на котором изображена координатная прямая. (Приложение 3) Обведите ту точку на координатной прямой, которая соответствует вашему мнению о сегодняшнем уроке. Кто выполнил задание, сдайте его мне.

• Для учеников 1-11 классов и дошкольников
• Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КАДЕТСКАЯ ШКОЛА ИНТЕРНАТ

Открытый урок по геометрии

в 11 классе на тему:

«Сфера и шар.

Учитель: Бирюков Г.Ю.,

учитель математики, высшей категории.

2016 учебный год.

Тема: Сфера и шар. Уравнение сферы.

– Обобщение и закрепление знаний учащихся о телах вращения (цилиндра, конуса)

- ввести понятие сферы, шара и их элементов.

- вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат.

2. Формирование навыков решения задач по данной теме, развитие познавательной активности.

3. воспитание взаимопомощи, любознательности, интереса к предмету.

Эпиграф: Математику нельзя изучать, наблюдая как это делает сосед!

Древнегреческий поэт Нивен.

Тип урока: объяснение нового материала.

Оборудование: карточки с заданиями, цилиндр, конус, мыльные пузыри, компьютер, проектор, экран.

Учащиеся должны знать: понятие сферы и шара; уметь решать задачи на применение уравнения сферы.

II этап. Актуализация знаний учащихся.

Работа у доски (3 учащихся)

Проверка домашнего задания № 565

Фронтальный опрос (опрос по парам).

I вариант – учителя, II вариант – ученики (и наоборот)

Что такое цилиндр?

Какие элементы в цилиндре?

Как получается цилиндр?

Объясните, какое тело называется конусом.

Как получается конус?

Площадь круга S=πr 2

Площадь боковой поверхности цилиндра S _бок =2 πrh

Площадь поверхности цилиндра S = 2 πr ( r + h )

Площадь боковой поверхности конуса S _{бок кон} = πr

Площадь полной поверхности конуса S _кон = πr (1 + r )

III . Физминутки (здоровьесберегающие).

На Земле лежит бревно. А на языке математики поверхность Земли называется как? (плоскость). Бревно по форме напоминает, что? (цилиндр).

Перепрыгнем через это бревно вперед, назад (2 раза). Поднимаем это бревно с правой стороны, а теперь с другой стороны (2 раза).

IV . Изучение новой темы.

Что же мы будем изучать на уроке? Для формулировки темы урока проведем простой опыт. Подойдите к доске желающие.

1. Наберите воздух и выпустите пузыри, что образуется? (Дать мыльные пузыри). Сфера

Подуйте и посмотрите что получается? Шар. (Дать шары)

Какие цели вы хотите достигнуть на уроке.

Словарная работа. Сфера – латинская форма греческого слова

- вспомните определение окружности

- элементы: центр, радиус, диаметр

- вспомните определение круга

- элементы: центр, радиус, диаметр сферы (называют также центром, радиусом, диаметром шара).

- как может быть получена сфера, шар

- приведите примеры шара (глобус. С помощью мобильных телефонов мы сможем общаться с любым человеком точки Земли)

V . Работа с учебником. Рисунок 152

уравнение сферы (х - х ₀ ) 2 + (у - у ₀ ) 2 + ( z - z _o ) 2 = R 2

А и R . Сами назовите координаты центра и радиус.

№ 576 (а,б) №578 (устно)

Самостоятельная работа ( разноуровневое обучение )

Написать уравнение сферы, радиуса равный 7, центром А (2;0;-1).

Дано уравнение сферы (х-3) 2 + (у+2) 2 + z 2 = 25. Найдите радиус и координаты центра.

Написать уравнение сферы, радиуса равный 7, центром А (2;0;-1).

Дано уравнение сферы (х-3) 2 + (у+2) 2 + z 2 = 25. Найдите радиус и координаты центра.

Выясните, какую геометрическую фигуру определяет уравнение

х 2 + y 2 + z 2 =l.

Написать уравнение сферы, радиуса равный 6, центром А (3;-1;0).

Дано уравнение сферы (х-4) 2 + у 2 + ( z +3) 2 = 16. Найдите радиус и координаты центра.

Выясните, какую геометрическую фигуру определяет уравнение

x 2 + y 2 + z 2 = 1.

Сколько сфер можно провести через четыре точки, которые являются вершинами квадрата.

№ 576( b ), 579, рисунок 150,152 Словарь Ожегова

стр 782 сфера, стр 892 шар.

Тыва ог- амыдыралывыста (подготовить проект).

Рефлексия: 1) Что я узнал на уроке?

2) Что было интересно?

3) Какие трудности возникали?

Итог урока. Какую тему мы изучали на уроке? Оценки.

• подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

• Курс добавлен 31.01.2022
• Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

• ЗП до 91 000 руб.
• Гибкий график
• Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 608 241 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

• 22.08.2016 4165
• DOCX 22.2 кбайт
• 32 скачивания
• Рейтинг: 4 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бирюков Геннадий Юрьевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

• Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Определение

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Определение

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Уравнение сферы

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Определение

Сегмент шара - это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Определение

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Определение

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Сферу можно получить ещё одним способом - вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x₀; y₀; z₀) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

.

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR 2 – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь круга вычисляется по формуле: S_кр=πR 2 .

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: S_сф=4πR 2 . Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Площадь сферы равна S_сф=4πR 2 . То есть S_сф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:

С другой стороны, S=p·r.

Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.

4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.

2 Окружность и круг Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. r d r Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки. r – радиус; d – диаметр

3 Определение сферы R Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии (R) от данной точки (центра т.О). Сфера – тело полученное в результате вращения полуокруж- ности вокруг её диаметра. т. О – центр сферы О D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр. D = 2R Параллель (экватор) меридиан диаметр R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром.

4 Шар Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара. Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

5 Как изобразить сферу? R 1. Отметить центр сферы (т.О) 2. Начертить окружность с центром в т.О 3. Изобразить видимую вертикальную дугу (меридиан) 4. Изобразить невидимую вертикальную дугу 5. Изобразить видимую гори- зонтальную дугу (параллель) 6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу 7. Провести радиус сферы R О

6 Уравнение сферы (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2 R МС = R, или МС 2 = R 2 следовательно уравнение сферы имеет вид: уравнение окружности имеет вид: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = r 2 М М(х;у;z), C C(x 0 ;y 0 ;z 0 )

7 Задача Зная координаты центра С(2;-3;0), и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы. Решение так, как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х 0 ;у 0 ;z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + (z-z 0 ) 2 =R 2, а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5, то уравнение данной сферы (x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25 Ответ: (x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25

8 Взаимное расположение окружности и прямой r d Если d r Если d = r, то прямая и окружность имеют 1 общую точку. Если d > r, то прямая и окружность не имеют общих точек. Возможны 3 случая

9 α C Сечение шара плоскостью есть круг. r Взаимное расположение сферы и плоскости Рассмотрим 1 случай d

10 α C (0;0;d) d = R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку Взаимное расположение сферы и плоскости Рассмотрим 2 случай d

11 α C (0;0;d) d > R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек. Взаимное расположение сферы и плоскости Рассмотрим 3 случай d

12 Задача. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения. Дано: Шар с центром в т.О R=41 дм α - секущая плоскость d = 9 дм М К О R d Найти: r сеч = ? Решение: Рассмотрим ОМК – прямоугольный ОМ = 41 дм; ОК = 9 дм; МК = r, r = R 2 - d 2 по теореме Пифагора: МК 2 = r 2 = = =1600 отсюда r сеч = 40 дм Ответ: r сеч = 40 дм r 13 Свойство касательной. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Планиметрия СтереометрияАО О А В r r Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

14 Признак касательной. ПланиметрияСтереометрияАО О r А В r Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательно к сфере. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. касательная касательная пл.

15 Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.15ВА 112 ОN ВN – искомое расстояние

16 O B М N C P A O1O1O1O1 CМA BNP 584 Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13см, ВС=14см, СА=15см.

17 Площадь сферы Площадь сферы радиуса R: S сф =4 π R 2 Сферу нельзя развернуть на плоскость. Опишем около сферы многогран ник, так чтобы сфера касалась всех его граней. За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани т.е.: Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга S шара =4 S круга

18 Задача Найти площадь поверхности сферы, радиус которой = 8 см. Дано: сфера R = 8 см Найти: S сф = ? Решение: 1.S сф = 4πR 2 2.S сф = 4π 8 2 = 256π см 2 Ответ: S сф = 256π см 2

19 Объем шара R V шара = 4 / 3 ПR 2

20 Объём шарового сегмента и шарового слоя Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него какой- нибудь плоскостью. Шаровой слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. V ш. сегмента =Пh 2 (R- 1 / 3 h) V ш. слоя =V ш.сег.1 -V ш.сег.2 Основание сегмента Высота сегмента (h)R Шаровой слой

21 Объём шарового сектора V ш. сектора = 2 / 3 ПR 2 h Шаровой сектор – это тело, полученное вращением кругового сектора, с углом, меньшим 90 о, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса R h

Читайте также:

  
• Конспект сплавы черные и цветные
  
• Л н толстой после бала конспект урока
  
• Гдз по географии 5 класс конспект
  
• Урок геометрии 7 класс луч и угол по фгос конспект с презентацией
  
• Конспект урока тютчев осенний вечер