Решение систем линейных уравнений методом гаусса конспект урока

Обновлено: 07.07.2024

Формирование и закрепление у учащихся навыков решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

Задачи урока:

Сформировать навыки и умения решения систем линейных уравнений, используя метод Гаусса.

Прививать интерес к предмету через привлечение различных источников информации; расширять кругозор учащихся; способствовать формированию исследовательских и коммуникативных компетенций, навыков само- и взаимопроверки.

Развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу.

Воспитывать самостоятельность и активность учащихся.

Тип урока: урок – лекция

Методы и педагогические приёмы :
• словесный метод;
• наглядный метод;
• методы самостоятельной учебной работы и работы под руководством учителя;
• методы контроля (устный, письменный);
• методы самоконтроля и взаимоконтроля;
• дифференцированная работа.

Формы организации совзаимодействия на уроке: учебная, групповая работа, индивидуальная работа

Оборудование: раздаточный материал

Контингент: 9-11 классы

I. Организационный момент (приветствие учащихся).

II. Актуализация.
Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Фронтальный опрос:

Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

Предполагаемый ответ учащихся:

Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете?

Предполагаемый ответ учащихся:

Метод подстановки, сложения, графический метод.

III. Основная часть.

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений.

Метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных.

Рассмотрим систему, состоящую из n уравнений первой степени с n неизвестными, или систему линейных уравнений.

Первый индекс коэффициентов при неизвестных обозначает номер уравнения, а второй - номер переменной. Такая система может быть несовместной, если она не имеет решения, и совместной, если имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определенной, а более одного - неопределенной.

При помощи элементарных преобразований сначала исключаем из всех уравнений, кроме первого, переменное x 1 . Далее исключаем из всех уравнений, кроме первого и второго, переменную x 2 и так далее. В конечном итоге мы приходим к системе следующего вида:

Если в полученной системе (2) в последнем уравнении свободный член не равен нулю, а коэффициент в левой части равен нулю, то исходная система (1) несовместна, т.е. не имеет решений. Если в системе (2) все коэффициенты в левой и правой части последнего уравнения равны нулю, тогда система (1) будет совместной неопределенной. В остальных случаях система будет обладать единственным решением.

Напомним, что к элементарным преобразованиям системы относятся следующие:

1). Перемена местами двух уравнений в системе;

2). Умножение какого - либо уравнения системы на действительное число, не равное нулю.

3). Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число, не равное нулю.

Системы линейных уравнений (1) и (2) являются эквивалентными, т.к. множество их решений совпадают.

На практике более удобным оказывается применение метода Гаусса не, собственно, к самой системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице. Когда расширенная матрица будет приведена к треугольному виду, на этом цепь элементарных преобразований над матрицей завершается.

Пример 1. Найти решения системы уравнений:

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы. Первый столбец будет стоять из коэффициентов, находящихся при переменной х 1 , второй столбец - соответственно из коэффициентов при х 2 , третий столбец - из коэффициентов при х 3 , четвертый столбец расширенной матрицы - из свободных членов.

Расширенная матрица коэффициентов исходной системы ( A / b ) сводится к треугольной матрице ( A ’/ b ’) последовательными элементарными преобразованиями:

1). Первая строка матрицы (А/ b ) умножается на (-2) и на (-5) и прибавляется соответственно ко второй и третьей строке.

2). Вторая строка умножается на 1/7.

3). К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (-17).

Треугольная система, соответствующая матрице ( A ’/ b ’) имеет вид:

Откуда единственное решение системы находится следующим образом: x 3 = –1; из второго уравнения x 2 =1+ x 3 =0; из первого уравнения x 1 =–3+3 x 2 – 4 x 3 =1.

Таким образом, тройка чисел (1;0;-1) является решением исходной системы линейных уравнений, что можно легко проверить подстановкой.

Пример 2. Решите систему уравнений:

Последней строке матрицы ( A ’/ b ’ ) соответствует уравнение эквивалентной системы , которое не имеет решений.

Данная методическая разработка предназначена для проведения занятия по дисциплине “Математика” на тему “Решение систем линейных уравнений методом Гаусса” по программе учебной дисциплины, разработанной на основе Федерального государственного образовательного стандарта для специальностей среднего профессионального образования.

В результате изучения темы студент должен:

  • элементарные преобразования над матрицами;
  • этапы решения систем линейных уравнений методом Гаусса.
  • решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

Цели занятия:

  • рассмотреть элементарные преобразования над матрицами;
  • рассмотреть метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.
  • развивать умения анализировать полученную информацию, делать выводы;
  • воспитывать у студентов интерес к изучаемой дисциплине, показывать значимость знаний по данной теме для их дальнейшей профессиональной деятельности;
  • воспитывать готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни.

Ход занятия

Деятельность преподавателя Деятельность студентов Общее время
1. Организационная часть
Отмечает студентов в журнале 1 мин
2. Проверка самостоятельной работы Сдают выполненную внеаудиторную самостоятельную работу 5 мин
3. Изложение теоретического материала
Сообщает тему и цели занятия Анализируют цель занятия
  • работа выполнена полностью;
  • в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
  • в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).
  • работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
  • допущены одна ошибка или есть два–три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).
  • допущено более одной ошибки или более двух–трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.
  • допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Общее время - 90 мин.

  1. Организационный момент;
  2. Проверка внеаудиторной самостоятельной работы;
  3. Теоретическая часть;
  4. Практическая часть;
  5. Итоги занятия.

Теоретическая часть

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений систем линейных уравнений является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Система n линейных уравнений с m неизвестными может имеет вид:

i=1, 2, 3, …, n; j=1, 2, 3. m.

Заметим, что число неизвестных m и число уравнений n в общем случае между собой никак не связаны. Возможны три случая: m=n, m > n, m 22.12.2016

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспект урока

«Системы линейных уравнений.

Макарова Татьяна Павловна,

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618 г. Москвы

Формирование и закрепление у учащихся навыков решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

Задачи урока:

Сформировать навыки и умения решения систем линейных уравнений, используя метод Гаусса.

Прививать интерес к предмету через привлечение различных источников информации; расширять кругозор учащихся; способствовать формированию исследовательских и коммуникативных компетенций, навыков само- и взаимопроверки.

Развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу.

Воспитывать самостоятельность и активность учащихся.

Тип урока: урок – лекция

Методы и педагогические приёмы :
• словесный метод;
• наглядный метод;
• методы самостоятельной учебной работы и работы под руководством учителя;
• методы контроля (устный, письменный);
• методы самоконтроля и взаимоконтроля;
• дифференцированная работа.

Формы организации совзаимодействия на уроке: учебная, групповая работа, индивидуальная работа

Оборудование: раздаточный материал

Контингент: 9-11 классы

I. Организационный момент (приветствие учащихся).

II. Актуализация.
Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Фронтальный опрос:

Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

Предполагаемый ответ учащихся:

Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете?

Предполагаемый ответ учащихся:

Метод подстановки, сложения, графический метод.

III. Основная часть.

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений.

Метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных.

Рассмотрим систему, состоящую из n уравнений первой степени с n неизвестными, или систему линейных уравнений.

Первый индекс коэффициентов при неизвестных обозначает номер уравнения, а второй - номер переменной. Такая система может быть несовместной, если она не имеет решения, и совместной, если имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определенной, а более одного - неопределенной.

При помощи элементарных преобразований сначала исключаем из всех уравнений, кроме первого, переменное x 1 . Далее исключаем из всех уравнений, кроме первого и второго, переменную x 2 и так далее. В конечном итоге мы приходим к системе следующего вида:

Если в полученной системе (2) в последнем уравнении свободный член не равен нулю, а коэффициент в левой части равен нулю, то исходная система (1) несовместна, т.е. не имеет решений. Если в системе (2) все коэффициенты в левой и правой части последнего уравнения равны нулю, тогда система (1) будет совместной неопределенной. В остальных случаях система будет обладать единственным решением.

Напомним, что к элементарным преобразованиям системы относятся следующие:

1). Перемена местами двух уравнений в системе;

2). Умножение какого - либо уравнения системы на действительное число, не равное нулю.

3). Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число, не равное нулю.

Системы линейных уравнений (1) и (2) являются эквивалентными, т.к. множество их решений совпадают.

На практике более удобным оказывается применение метода Гаусса не, собственно, к самой системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице. Когда расширенная матрица будет приведена к треугольному виду, на этом цепь элементарных преобразований над матрицей завершается.

Пример 1. Найти решения системы уравнений:

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы. Первый столбец будет стоять из коэффициентов, находящихся при переменной х 1 , второй столбец - соответственно из коэффициентов при х 2 , третий столбец - из коэффициентов при х 3 , четвертый столбец расширенной матрицы - из свободных членов.

Расширенная матрица коэффициентов исходной системы ( A / b ) сводится к треугольной матрице ( A ’/ b ’) последовательными элементарными преобразованиями:

1). Первая строка матрицы (А/ b ) умножается на (-2) и на (-5) и прибавляется соответственно ко второй и третьей строке.

2). Вторая строка умножается на 1/7.

3). К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (-17).

Треугольная система, соответствующая матрице ( A ’/ b ’) имеет вид:

Откуда единственное решение системы находится следующим образом: x 3 = –1; из второго уравнения x 2 =1+ x 3 =0; из первого уравнения x 1 =–3+3 x 2 – 4 x 3 =1.

Таким образом, тройка чисел (1;0;-1) является решением исходной системы линейных уравнений, что можно легко проверить подстановкой.

Пример 2. Решите систему уравнений:

Последней строке матрицы ( A ’/ b ’ ) соответствует уравнение эквивалентной системы , которое не имеет решений.

Внимание Скидка 50% на курсы! Спешите подать
заявку

Профессиональной переподготовки 30 курсов от 6900 руб.

Курсы для всех от 3000 руб. от 1500 руб.

Повышение квалификации 36 курсов от 1500 руб.

Лицензия №037267 от 17.03.2016 г.
выдана департаментом образования г. Москвы


ГБОУ средней общеобразовательной школы №618 г. Москвы

«Системы линейных уравнений.

Контингент: 9 – 11 класс

Тип урока: урок - лекция

Макарова Татьяна Павловна,

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618

Макарова Татьяна Павловна,

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618 г. Москвы

Формирование и закрепление у учащихся навыков решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

Сформировать навыки и умения решения систем линейных уравнений, используя метод Гаусса.

Прививать интерес к предмету через привлечение различных источников информации; расширять кругозор учащихся; способствовать формированию исследовательских и коммуникативных компетенций, навыков само- и взаимопроверки.

Развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу.

Воспитывать самостоятельность и активность учащихся.

Тип урока: урок – лекция

Методы и педагогические приёмы :
• словесный метод;
• наглядный метод;
• методы самостоятельной учебной работы и работы под руководством учителя;
• методы контроля (устный, письменный);
• методы самоконтроля и взаимоконтроля;
• дифференцированная работа.

Формы организации совзаимодействия на уроке: учебная, групповая работа, индивидуальная работа

Оборудование: раздаточный материал

Контингент: 9-11 классы

I. Организационный момент (приветствие учащихся).

II. Актуализация.
Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

Предполагаемый ответ учащихся:

Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете?

Предполагаемый ответ учащихся:

Метод подстановки, сложения, графический метод.

III. Основная часть.

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений.

Метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных.

Рассмотрим систему, состоящую из n уравнений первой степени с n неизвестными, или систему линейных уравнений.

Первый индекс коэффициентов при неизвестных обозначает номер уравнения, а второй - номер переменной. Такая система может быть несовместной, если она не имеет решения, и совместной, если имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определенной, а более одного - неопределенной.

При помощи элементарных преобразований сначала исключаем из всех уравнений, кроме первого, переменное x 1 . Далее исключаем из всех уравнений, кроме первого и второго, переменную x 2 и так далее. В конечном итоге мы приходим к системе следующего вида:

Если в полученной системе (2) в последнем уравнении свободный член не равен нулю, а коэффициент в левой части равен нулю, то исходная система (1) несовместна, т.е. не имеет решений. Если в системе (2) все коэффициенты в левой и правой части последнего уравнения равны нулю, тогда система (1) будет совместной неопределенной. В остальных случаях система будет обладать единственным решением.

Напомним, что к элементарным преобразованиям системы относятся следующие:

1). Перемена местами двух уравнений в системе;

2). Умножение какого - либо уравнения системы на действительное число, не равное нулю.

3). Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число, не равное нулю.

Системы линейных уравнений (1) и (2) являются эквивалентными, т.к. множество их решений совпадают.

На практике более удобным оказывается применение метода Гаусса не, собственно, к самой системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице. Когда расширенная матрица будет приведена к треугольному виду, на этом цепь элементарных преобразований над матрицей завершается.

Пример 1. Найти решения системы уравнений:

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы. Первый столбец будет стоять из коэффициентов, находящихся при переменной х 1 , второй столбец - соответственно из коэффициентов при х 2 , третий столбец - из коэффициентов при х 3 , четвертый столбец расширенной матрицы - из свободных членов.

Расширенная матрица коэффициентов исходной системы ( A / b ) сводится к треугольной матрице ( A ’/ b ’) последовательными элементарными преобразованиями:

1). Первая строка матрицы (А/ b ) умножается на (-2) и на (-5) и прибавляется соответственно ко второй и третьей строке.

2). Вторая строка умножается на 1/7.

3). К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (-17).

Треугольная система, соответствующая матрице ( A ’/ b ’) имеет вид:

Откуда единственное решение системы находится следующим образом: x 3 = –1; из второго уравнения x 2 =1+ x 3 =0; из первого уравнения x 1 =–3+3 x 2 – 4 x 3 =1.

Таким образом, тройка чисел (1;0;-1) является решением исходной системы линейных уравнений, что можно легко проверить подстановкой.

Пример 2. Решите систему уравнений:

Последней строке матрицы ( A ’/ b ’ ) соответствует уравнение эквивалентной системы , которое не имеет решений.

Читайте также: