Расстояние между произвольными фигурами в пространстве конспект

Обновлено: 06.07.2024

Мы уже определили расстояние от точки до фигуры. Но часто надо решить более общую задачу — найти расстояние между двумя фигурами. Например, как определить расстояние между Англией и Францией, чтобы построить туннель под Ла-Маншем? Ясно, что надо искать ближайшие точки этих фигур, иначе говоря, искать кратчайший среди всех отрезков, соединяющих точки этих фигур. Представление о нём даёт вытянутая рука, когда вы с трудом достаёте некоторый предмет.

Точки А₁ и А₂ фигур F₁ и F₂ называются их ближайшими точками, если для любых точек X₁ ∈ F₁ и Х₂ ∈ F₂ выполняется неравенство А₁А₂ ≤ Х₁Х₂ (рис. 121, а). Расстоянием между двумя фигурами называется расстояние между ближайшими точками этих фигур (если такие точки есть). Расстояние от точки до фигуры является частным случаем расстояния между фигурами, когда одна фигура — точка. Расстояние между фигурами будем обозначать | F₁F₂ |, где F₁ и F₂ — данные фигуры.

На рисунке 121, б приведены примеры ближайших точек А и В фигур, лежащих в одной плоскости, — двух параллельных прямых, прямой и круга, двух кругов.

Может быть, что ближайших точек у фигур нет. Например, если F₁ — центр круга, а Р₁ — фигура, состоящая из точек, лежащих вне этого круга. Тогда расстояние между фигурами определяется иначе. Но мы такие случаи не рассматриваем.

14.2 Расстояние между прямыми и плоскостями

Решим задачу о расстоянии между двумя фигурами для простейших случаев, когда эти фигуры — прямые или плоскости, не имеющие общих точек.

Мы покажем, что во всех возможных случаях расстояния между этими фигурами равны длинам их общих перпендикуляров.

Параллельные прямые а и b. Из любой точки А ∈ а проведём общий перпендикуляр этих прямых АВ (рис. 122, а). Он является кратчайшим отрезком, соединяющим точки этих прямых.

В самом деле, если точки X ∈ а и Y ∈ b таковы, что XY — другой общий перпендикуляр этих прямых, то XY = AB. А если XY не является общим перпендикуляром этих прямых, то XY > АВ.

Важнейшим среди таких свойств, характеризующих параллельность прямых и плоскостей, является постоянство расстояния, т. е. равноудалённость точек одной прямой или плоскости от другой. Как вы установили самостоятельно в п. 14.2, все общие перпендикуляры двух параллельных плоскостей равны. Выполняется также и обратное утверждение: концы равных перпендикуляров к данной плоскости, расположенные с одной стороны от неё, лежат в одной плоскости, параллельной данной, и заполняют её.

Реальным воплощением отрезков, о которых идёт речь, могут представляться столбы и колонны, стоящие на основании здания и подпирающие параллельное ему перекрытие. На колонны равной высоты опирается верхняя плоскость здания, например греческого храма. И в современном строительстве укладывают междуэтажные перекрытия на вертикальных столбах равной высоты. Их верхние концы оказываются в плоскости, параллельной той, где лежат их основания (рис. 124).

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

Дисциплина: Элементарная математика

Курс: второй

Время занятия: 85 минут

Тип занятия: практикум

Тема практического занятия: Расстояния в пространстве: от точки до плоскости, от прямой до плоскости, между плоскостями

Дидактическая цель:

формирование практических умений – профессиональных (выполнять определённые действия, операции), необходимых в последующем в преподавательской деятельности, и учебных (решать задачи по стереометрии), необходимых в последующей учебной деятельности по общепрофессиональным и профессиональным дисциплинам.

Образовательный аспект: систематизировать, обобщить, закрепить знания и умения учащихся, связанные с вычислением расстояний в пространстве. Отработать навыки решения задач на данную тематику.

Развивающий аспект: развитие памяти, логического мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать, выявлять проблемные места, самостоятельно делать выводы; развитие грамотной математической речи.

Воспитательный аспект: воспитывать аккуратность и точность при выполнении заданий, самостоятельность и самоконтроль; формирование культуры учебного труда; продолжить формирование познавательного интереса к предмету.

Задачи практического занятия:

Закрепить опыт решения реальных практических задач на основе изученного теоретического материала;

Изучить и систематизировать методы решения школьных задач по данной теме;

Проанализировать и обсудить полученные результаты, сформулировать выводы.

ПЛАН ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

Этап. Приветствие. Формулировка темы, цели и задач, обоснование её значимости в профессиональной подготовке студентов.

Планируемое время: 5 минут

Этап. Повторение теоретического материала.

Планируемое время: 10 минут

Проведение фронтального опроса с целью закрепления теоретического материала.

Давайте с вами вспомним, каким образом находятся расстояния в пространстве. Для этого ответим на ряд вопросов:

Что такое расстояние от точки до точки на плоскости?

Как находится расстояние от точки до прямой на плоскости?

Как находится расстояние между прямыми на плоскости?

Похожи ли определения расстояния от точки до прямой на плоскости к расстоянию от точки до плоскости в пространстве? Почему?

Сформулируйте определение расстояния от точки до плоскости, от прямой до плоскости, между двумя плоскостями.

Чему равно расстояние между пересекающимися плоскостями? А прямой, которая пересекает плоскость?

Для наглядного закрепления теоретического материала раздаются теоретические карточки (приложение 1).

Какие методы или формулы вы знаете, с помощью которых вычисляются расстояния в пространстве?

Давайте попробуем систематизировать основные методы.

Раздаются карточки с основными методами вычисления расстояний в пространстве (приложение 2).

Какие методы вам знакомы, а какие являются новыми?

Этап. Решение задач.

Планируемое время: 65 минут

Раздаются распечатки с задачами, которые решаются непосредственно на занятии, а также с задачами, предназначенными для самостоятельного разбора студентами дома (приложение 3).

Первая задача (нахождение расстояния от точки до плоскости) должна быть решена всеми 4 методами, которые есть в распечатке приложения 2. Для этого учебная группа разбивается на 4 подгруппы, первая подгруппа будет решать задание геометрическим методом, вторая – с помощью метода объемов, третья – координатным и четвертая – векторным. Затем представитель каждой группы рассказывает про свой метод решения задачи у доски так, как он бы это сделал бы будучи учителем в школе перед своими учениками: с правильно построенным чертежом, с логически выстроенным ходом решения и речью. При необходимости отвечает на вопросы.

Вторая задача (нахождение расстояния от точки до плоскости) решается у доски, предварительно обсудив, какой метод лучше всего использовать при решении данной задачи.

Третья задача (нахождение расстояния от прямой до плоскости) и четвертая задача (нахождение расстояния между двумя плоскостями) решаются по аналогии с задачей 2.

Не каждый учитель может сам разработать методы решения задач и составить задачи, но каждый учитель в своей работе выступает в роли составителя дидактических материалов или методических пособий, систематизируя и перерабатывая информацию из различных источников. Данная методическая разработка создана для подготовки учащихся к ЕГЭ как на уроке, так и дистанционно. В пособии рассмотрены различные способы нахождения расстояний в прострвнстве.

Вложение	Размер
Расстояния в пространстве: расстояние от точки до прямой.	283.37 КБ
Расстояния в пространстве: расстояние от точки до плоскости.	504.31 КБ
Расстояния в пространстве: расстояние между скрещивающимися прямыми	720.5 КБ

Предварительный просмотр:

Рассмотрим три типа стереометрических задач на нахождение расстояний в пространстве:

нахождение расстояния от точки до прямой;
нахождение расстояния от точки до плоскости;
нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояния в пространстве:

расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

Методы решения задач

При вычислении расстояния от точки до прямой необходимо:

определить плоскость, в которой находятся данная точка и данная прямая;
в этой плоскости построить перпендикуляр из данной точки на данную прямую.

№ 1. Метод построения перпендикуляра (поэтапных вычислений)

Для нахождения расстояния от точки А до прямой а сначала находят основание А ' перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую а . Если найти длину перпендикуляра АА ' не удается непосредственно из условия задачи, то на прямой а выбирают какие-нибудь точки В, С и рассматривают треугольник АВС , в котором АА ' является высотой. Для нахождения АА ' используют теорему Пифагора, свойства равнобедренного треугольника, подобие треугольников, тригонометрические функции углов, формулы площади треугольника и др.

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите

расстояние от точки А до прямой BD 1 .

Расстояние от точки A до прямой BD 1 есть длина перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую BD 1 .

Через точку А и прямую BD 1 проводим плоскость АD 1 B.

АD 1 B – прямоугольный ( , так как

D 1 D (ABC), D 1 А – наклонная, АD – проекция, АB AD, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах AB АD 1 .

Искомым перпендикуляром является высота АН прямоугольного треугольника ABD 1 , проведенная к гипотенузе BD 1 .

Длину отрезка AH можно найти различными способами.

Способ 1 (через площадь треугольника).

В треугольнике ABD 1 АВ = 1 (по условию), AD 1 = (как диагональ квадрата), BD 1 = (как диагональ куба).

Найдем площадь этого треугольника по формулам:

AB ∙ AD 1 = BD 1 ∙ AH

Способ 2 (через подобие треугольников).

Треугольники BAD 1 и ВНА подобны по двум углам: ,следовательно, .

Способ 3 (через синус угла треугольника).

Из прямоугольных треугольников BAD 1 и ВНА выразим синус угла В:

Способ 4 (через теорему Пифагора).

Из по теореме Пифагора находим .

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки S до прямой BF.

Расстояние от точки S до прямой BF есть длина перпендикуляра,

опущенного из точки S на прямую BF. Через точку S и прямую BF проводим плоскость FSB.

FSB – равнобедренный (SF = SB), следовательно искомый перпендикуляр – это высота и медиана SM равнобедренного треугольника FSB.

AFEDCB – правильный шестиугольник, следовательно,

№ 2. Метод параллельных прямых

Если искомый перпендикуляр выходит за пределы многогранника (точка А ' находится вне участка прямой а, данного в задаче), то через точку А проводят прямую с, параллельную прямой а , и выбирают не ней более удобную точку С , из которой перпендикуляр опускаем на прямую а . Длина отрезка СС ' будет равна искомому расстоянию от точки А до прямой а .

В правильной шестиугольной призме А. F 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АF 1 .

Расстояние от точки B до прямой АF 1 есть длина перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую АF 1 .
О 1 – центр верхнего основания призмы, (ABO 1 F 1 – параллелограмм, так как AB = F 1 O 1 = 1 и AB F 1 O 1 ), следовательно, расстояние от точки В до прямой АF 1 равно расстоянию от точки О 1 до прямой АF 1 .
Треугольник AF 1 O 1 – равнобедренный: AF 1 = AO 1 = (AF 1 = AO 1 как равные наклонные на плоскость верхнего основания призмы и AF 1 = как диагональ боковой грани), O 1 F 1 = 1.
По теореме Пифагора из треугольника AF 1 K находим высоту AK треугольника AF 1 O 1 :

Площадь треугольника AF 1 O 1 найдем двумя способами:

В правильной шестиугольной призме А. F 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой А 1 F 1 .

Расстояние от точки B до прямой А 1 F 1 есть длина перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую А 1 F 1 .
, следовательно, .
BEF 1 A 1 – равнобедренная трапеция (BA 1 = EF 1 как диагонали граней правильной шестиугольной призмы), A 1 F 1 = 1 (по условию), BE = 2 (как диагональ правильного шестиугольника),

ρ (В; A 1 F 1 ) = BK = A 1 M , где ВК и A 1 M– высоты трапеции.

В BА 1 М ( М = 90 0 ): ВА 1 = (диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы),

ВМ = , следовательно, по теореме Пифагора А 1 М = .

№ 3. Координатный метод

Пусть , , тогда расстояние между точками А и В можно вычислить по формуле .

Содержимое разработки

Вычисление расстояния в пространстве.

Образовательные: закрепление пройденного материала,

Воспитательные: уметь анализировать, сопоставлять алгоритмы вычисления, делать соответствующие выводы, уметь работать в группе.

Развивающие: отработка построения чертежей в пространстве, выполнение дополнительных построений.

Работа по готовым чертежам

Практикум по решению задач

Подведение итогов урока.

Задачи для устного опроса (решают во время разминки).

угол ромба равен 30, высота 10. Найти S_p (200)

S поверхности всего куба равна 24 см 2 .V = ? (8 см 3 )

всегда ли можно провести плоскость через прямую и две точки вне этой прямой? (не всегда)

четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три точки лежать на одной прямой? (нет)

прямая l  плоскости . Существует ли на плоскости  прямая, не параллельная l ? (да)

в равнобедренной трапеции углы относятся как 4:5. Вычислить эти углы. (80 о ; 100 о )

уравнение окружности x 2 + y 2 = 16. На каком расстоянии находятся точки окружности от начала координат? (4)

диагонали ромба 60 и 80. Вычислить сторону ромба. (50)

могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той же прямой? (могут)

точка D вне плоскости, проходящей через точки A, B, C. Может ли быть трапецией четырехугольник ABCD? (нет)

на каком расстоянии от начала координат находится точка M (6; -8)? (10)

стороны параллелограмма 4 и 6, а угол между ними 45 о . Вычислите площадь параллелограмма. ()

концы отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на расстояние 7 и 13 см. На каком расстоянии находится от плоскости середина отрезка? (10)

сторона правильного треугольника 6. Вычислить S . ()

Читайте также: