Предмет стереометрии аксиомы стереометрии 10 класс конспект урока и презентация

Обновлено: 06.07.2024

Данная методическая разработка знакомит с методикой применения информационных технологий на уроке геометрии с целью повышения интереса к изучаемому предмету.

Использование презентации позволяет наглядно представить новый материал. Не тратится время на построение чертежей. Теорию списывают с экрана, а не под диктовку учителя.

Эту технологию можно использовать на любом предмете, что позволит сделать его интересным и понятным учащимся.

Методическая цель: Методика применения информационных технологий на

уроке математики с целью повышения интереса к изучаемому предмету.

Тип урока: Урок-изучение нового материала.

Вид урока: Урок-презентация.

Время: 45 минут

Цель урока: Познакомить учащихся с аксиомами стереометрии, с основными фигурами в пространстве, вспомнить аксиомы планиметрии. Применить полученные знания при выполнении упражнений.

Задачи: 1). Образовательные:

- изучение нового материала.

- проверка уровня усвоения знаний по данной теме.

2). Развивающие:

- развивать абстрактное мышление.

- развивать умение анализировать и делать выводы.

- развивать интерес к математике.

3). Воспитательные:

- воспитывать ответственное отношение к учёбе.

Методическое оснащение и оборудование: Персональный компьютер, презентация на съёмном носителе, проектор, доска, фломастер, карточки с заданиями для самостоятельной работы.

Методы: Словесный, объяснительно-иллюстративный, индивидуальная работа, самостоятельная работа.

План урока.

Организационный момент (1 мин.).

Постановка темы и учебной цели урока (1 мин.).

Изложение нового материала (20 мин.). Физкультминутка

Закрепление нового материала (10 мин.).

Самостоятельная работа (10 мин.).

Домашнее задание (1 мин.).

Подведение итогов урока (1 мин.).

Ход урока.

Организационный момент.

Постановка темы и учебной цели урока.

Изложение нового материала.

( Весь теоретический материал показывается в виде презентации (П) и сопровож­дается комментариями учителя. Учащиеся записывают конспект в тетрадь.).

Учитель: В названии темы урока два новых слова. Узнаем, что они обозначают.

Учитель: В стереометрии, так же как и в планиметрии свойства геометрических фигур устанавливаются путём доказательства соответ­ствующих теорем. При этом отправными являются свойства основных геометри­ческих фигур, выражаемые аксиомами.

Учитель: Посмотрим какие основные фигуры в пространстве.

П. (слайд 4) Основные фигуры в пространстве.

Учитель: В стереометрии появляется новая фигура – плоскость.

Плоскость - ровная поверхность (поверхность стола, доски), изображаемая в виде параллелограмма, обозначается греческими буквами

Введение нового геометрического образа – плоскости заставляет расширить систему аксиом. Поэтому вводим группу трёх аксиом, которая выражает основные свойства плоскостей в пространстве.

П.(слайд 5)С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

П.(слайд 6)С2.Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой проходящей через эту точку.

Учитель: Чтобы построить этот чертёж, сначала строим плоскость , затем проводим прямую а, от её концов две параллельные линии, так строим плоскость β.

Обратите внимание, что невидимые линии проводим пунктиром.

П.(слайд 7)С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

П.(слайд 8)1.Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Учитель: Обратите внимание на сходство аксиомы С1 и 1 аксиомы планиметрии.

П.(слайд 10) 2. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Учитель: Ребята вот мы и познакомились с вами, с новой темой. А прежде чем перейти к закреплению материала, предлагаю отдохнуть и провести физкультминутку.

А теперь, ребята, встали.

Быстро руки вверх подняли,

В стороны, вперед, назад.

Повернулись вправо, влево,

Тихо сели, вновь задело.

4.Закрепление.

Учитель: Мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии. Применить эти знания мы можем при решении задач. Вы знаете, что в геометрии есть вычислительные задачи, и задачи на доказательство. Задачи на доказательство чаще всего решаются методом от противного. Вспомним основные этапы этого метода.

П(слайд11)1.Делаем предположение ,противоположное тому, что надо доказать.

2.Путем рассуждений ,опираясь на аксиомы и теоремы, приходим к выводу, противоречащему условию.

3.Заключаем, что наше предположение не верно.

4.В ответ записываем верное утверждение, которое доказывали.

(К доске вызывается ученик).

Задача 1. Точки A , B , C и D не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые AB и CD не пересекаются.

Учитель: С чего начинаем решать задачу по геометрии?

Ученик: С построения чертежа.

Учитель: Что потом делаем?

Ученик: Делаем краткую запись условия. Дано. Доказать. Доказательство.

Учитель: Каким методом будем решать задачу?

Ученик: Методом от противного.

Доказательство: Предположим, что АВ х С D , по аксиоме С3 через них можно провести плоскость, получаем что т.А, В, С, Д лежат в одной плоскости, но по условию точка D .Противоречие с условием. Следовательно АВ не х CD .

(При наличии времени решить задачу2).

Задача 2. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

Доказательство: По аксиоме С2, если и имеют общую точку А , то они пересекаются по прямой а проходящей через эту точку. По условию плоскости и имют три общие точки, следовательно, они пересекаются по прямой а , а точки .

5.Самостоятельная работа.(Смотри Приложение).

Учащимся раздаются листы с заданиями, на выполнение работы отводится 6 минут.

6.Домашнее задание.

7.Подведение итогов урока.

Преподаватель благодарит учащихся за работу на уроке, отмечает наиболее отличившихся и доводит до сведения учащихся заработанные оценки.

2 вариант.

Укажите точки, не принадлежащие плоскости .

Определите может ли точка А лежать между точками В и С, если ВС=7.3 см., СА=6.5 см.

Может ли луч с проходить между сторонами угла .

Треугольники АВС и Р QR равны, известно, что А B =10 c м., ВС=5см., . Найти PQ, QR, .

Пересекаются ли плоскости, если они не имеют ни одной общей точки?

Дмитрикова О.В. учитель математики МКОУ " Огорская СОШ"


Слайд 1


Слайд 2


Слайд 3

Аксиомы Это утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, которые не требуют доказательства.


Слайд 4


Слайд 5

С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. А В  А , В .


Слайд 6

С2.Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой проходящей через эту точку. А а   а А А ,А  .    а 


Слайд 7

С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. b а А  а b A, a  , b .


Слайд 8

Аксиомы планиметрии А1.Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. А ,  а В а А а В  а В А


Слайд 9


Слайд 10

9. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. а В b  aII b


Слайд 11


Слайд 12

Метод от противного 1.Делаем предположение, противоположное тому, что надо доказать. 2.Путем рассуждений ,опираясь на аксиомы и теоремы приходим к выводу, противоречащему условию. 3.Заключаем, что наше предположение не верно. 4.В ответ записываем утверждение которое доказываем.


Слайд 13


Полный текст материала Конспект урока на тему "Аксиомы стереометрии", 10 класс смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен фрагмент.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.


Есть мнение?
Оставьте комментарий

Упражнения на технику чтения и понимания прочитанного

Тонкости и секреты работы в Яндекс.Почте

Как работать с детьми с СДВГ в обычном классе?

0 Спам

Обязательно воспользуюсь вашим материалом со своими добавлениями. очень хорошие чертежи, но материал слишком сжат, дети только начинают стереометрию. желательно больше жизненных примеров.

Отправляя материал на сайт, автор безвозмездно, без требования авторского вознаграждения, передает редакции права на использование материалов в коммерческих или некоммерческих целях, в частности, право на воспроизведение, публичный показ, перевод и переработку произведения, доведение до всеобщего сведения — в соотв. с ГК РФ. (ст. 1270 и др.). См. также Правила публикации конкретного типа материала. Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Для подтверждения подлинности выданных сайтом документов сделайте запрос в редакцию.

О работе с сайтом

Мы используем cookie.

Публикуя материалы на сайте (комментарии, статьи, разработки и др.), пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьми лицами.

При этом редакция сайта готова оказывать всяческую поддержку как в публикации, так и других вопросах.

Если вы обнаружили, что на нашем сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору — материалы будут удалены.

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам


Описание презентации по отдельным слайдам:


- Что такое геометрия? Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур «Ге.

- раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве

- раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве

Основные фигуры в пространстве: точка прямая плоскость α β Обозначение: А; В;.

Основные фигуры в пространстве: точка прямая плоскость α β Обозначение: А; В; С; …; М;… а А В М N Р Обозначение: a, b, с, d…, m, n,…(или двумя заглавными латинскими) Обозначение: α, β, γ… Ответьте на вопросы по рисунку: 1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β. 2. Назовите прямые, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β

Некоторые геометрические тела. А В С Д Д1 С1 В1 А1 куб А В С Д А1 В1 С1 Д1 па.

Некоторые геометрические тела. А В С Д Д1 С1 В1 А1 куб А В С Д А1 В1 С1 Д1 параллелепипед А В С Д тетраэдр цилиндр конус

Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на.

Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках: Назовите предметы из окружающей вас обстановки ( нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.

Практическая работа. 1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной ли.

Практическая работа. 1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром). 2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА1В1С1Д1 А В С Д Д1 С1 В1 А1 3. Выделите цветным карандашом: вершины А, С, В1, Д1 отрезки АВ, СД, В1С, Д1С диагонали квадрата АА1В1В

- Что такое аксиома? Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фиг.

- Что такое аксиома? Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия. Аксиомы планиметрии: - через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими. имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой…

А В С А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскос.

А В С А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна. α

Если ножки стола не одинаковы по длине, то стол стоит на трех ножках, т.е. оп.

А В α А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой.

А В α А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Говорят: прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

а М Прямая лежит в плоскости Прямая пересекает плоскость Сколько общих точек.

а М Прямая лежит в плоскости Прямая пересекает плоскость Сколько общих точек имеют прямая и плоскость?

α β А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на к.

α β А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят: плоскости пересекаются по прямой. А а

Решить задачи: №1(а,б); 2(а) А В С Д Р Е К М А В С Д А1 В1 С1 Д1 Q P R К М На.

Решить задачи: №1(а,б); 2(а) А В С Д Р Е К М А В С Д А1 В1 С1 Д1 Q P R К М Назовите по рисунку: а) плоскости, в которых лежат прямые ДВ, АВ, МК, РЕ, ЕС; б) точки пересечения прямой ДК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АДВ. а) точки, лежащие в плоскостях ДСС1 и ВQС №1(а,б) № 2(а)

Подведем итоги урока: 1) Как называется раздел геометрии, который мы будем из.

Подведем итоги урока: 1) Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах? 2) Что такое стереометрия? 3) Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке. А А В В α α А α β

Домашнее задание: Повторить аксиомы планиметрии Выучить аксиомы А1-А3 Прочита.

Домашнее задание: Повторить аксиомы планиметрии Выучить аксиомы А1-А3 Прочитать пункт 1,2 (стр. 3 – 6) Решить задачи: 1(в,г); 2(б,д). Дополнительно: № 3; 4 ( по желанию)

  • подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
  • по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов


Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов


Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

  • Курс добавлен 31.01.2022
  • Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов
  • ЗП до 91 000 руб.
  • Гибкий график
  • Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 608 378 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

  • 19.09.2016 6397
  • PPTX 485 кбайт
  • 563 скачивания
  • Рейтинг: 4 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Камышева Ирина Леонидовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

  • Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
  • Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Образовательные: повторить геометрические фигуры на плоскости, ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии, изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве, применять их при решении задач.

Развивающие: развивать память, аргументированную речь, любознательность, познавательный интерес. Творческую самостоятельность мышления, умственные операции, вычислительные навыки, коммуникативные навыки общения. Развитие пространственного воображения, умения анализировать, обобщать, классифицировать.

Воспитательные: воспитывать аккуратность, дисциплину, настойчивость в достижении цели. Ответственное отношение к учёбе, самостоятельность, аккуратность, трудолюбие, чувство взаимопомощи, культуры общения. Воспитывать у учащихся навыки учебного труда. Воспитывать культуру устной и письменной математической речи. Прививать интерес к истории математики. Показать, что источник возникновения изучаемой темы – реальный мир, что она возникла из практических потребностей.

Тип урока: урок получения новых знаний.

Вид урока: комбинированный урок.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная.

Структура урока

I. Организационный момент. Рефлексия (1-2 слайды).

II. Содержание курса стереометрии ( 3-10 слайды).

III. Аксиомы стереометрии (11-15 слайды).

IV. Закрепление нового материала (16-18 слайды).

V. Домашнее задание (19-20 слайд).

VI. Итог урока. Рефлексия (21 слайды).

I. Организационный момент.

• Проверка готовности обучающихся к уроку.

II. Содержание курса стереометрии.

Школьный курс геометрии.

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В геометрии мы изучаем свойства фигур. Планиметрия рассматривает свойства фигур на плоскости. Стереометрия – в пространстве. (слайд № 3).

Стереометрия.

Стереометрия, как и планиметрия, возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека.

Одной из самых первых и самых известных школ была пифагорейская (VI-V вв. до н. э.), названная так в честь своего основателя Пифагора. Для своих философских теорий пифагорейцы использовали правильные многогранники, формы которых придавали элементам первооснов бытия, а именно: огонь – тетраэдр, земля - гексаэдр (куб); воздух – октаэдр; вода – икосаэдр; вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додекаэдра.

Актуализация опорных знаний.

Задание № 1. Давайте вспомним с какими фигурами мы встречались в планиметрии?

Учащиеся устно отвечают на вопросы. Проговариваем (кратко) определения и свойства фигур (слайд № 5).

Точка, прямая, луч, отрезок, квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм, треугольник, трапеция, круг, окружность.

Фигуры стереометрии.

В пространстве основными фигурами являются: точка, прямая, плоскость. Точки обозначаются прописными латинскими буквами (A, B, C, D, E, F, G, H. ) Прямые – строчными латинскими буквами (a, b, c, d, e, f, g, h. ) Плоскости – строчными греческими буквами (слайды № 6,7).

Геометрическое тело.

Геометрическое тело – это предмет от которого отняты все его свойства, кроме пространственных. Геометрические тела являются воображаемыми объектами. Чтобы получить представление о свойствах реальных предметов, мы изучаем свойства геометрических пространственных фигур (слайд № 8).

Изображение пространственных фигур.

Задание № 2. Что изображено на рисунке? (слайд № 9).

/Изображен шар (Учащиеся предполагают, что это окружность).Если его изобразить так, то можно подумать, что это круг.Теперь точно похож на шар./

III. Аксиомы стереометрии.

Точки, прямые, плоскость - взаимное расположение.

Как записать? Точка А принадлежит плоскости альфа. Точка В не принадлежит плоскости альфа. Прямая АВ пересекается с плоскостью альфа в точке А (слайд № 11).

Задание № 3. Какие точки принадлежат плоскости альфа, а какие не принадлежат?

2. Какие прямые принадлежат плоскости альфа, а какие не принадлежат?

Учащиеся отвечают на вопросы устно (слайд № 12).

Рассмотрим три аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна.

Задание № 4. Выберите верные утверждения:

Через четыре точки можно провести плоскость.

Через три точки всегда проходит плоскость и притом только одна.

Через две точки всегда можно провести единственную плоскость.

Учащиеся отвечают на вопрос устно. Поясняя свой ответ. Рассуждая.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.

Задание № 5. Выберите верные утверждения:

Если отрезок лежит в плоскости, то и все точки прямой, на которой лежит отрезок, лежат в этой плоскости.

Если сторона параллелограмма лежит на прямой, лежащей в некоторой плоскости, то и все точки параллелограмма лежат в этой плоскости.

Если три точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.

Учащиеся отвечают на вопрос устно. Поясняя свой ответ. Рассуждая.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Задание № 6. Выберите верные утверждения:

Две плоскости имеют только две точки пересечения.

Две пересекающиеся плоскости имеют бесконечное число точек пересечения.

Через две точки всегда можно провести единственную плоскость.

Учащиеся отвечают на вопрос устно. Поясняя свой ответ. Рассуждая.

IV. Закрепление нового материала.

Задание № 7. Упражнение № 2 (Учебник стр.7) (слайд № 16).

Задание № 8. Вставьте пропущенные слова (слайд № 17).

1. Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур….
2. Основные фигуры в пространстве ……….
3. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит ……. и притом только одна.
4. Геометрическое тело – это ……. от которого отняты все его ……. кроме пространственных.

5. Если …….. точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.
6. Стереометрия изучает положение, форму, размеры и …….. пространственных фигур

7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую ……. на которой лежат все общие точки этих плоскостей .

8. Геометрические тела являются ……… объектами.

9. Плоскость и не лежащая на ней …….. либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
10. В стереометрических задачах встречаются следующие геометрические тела: ………., ……………. …………………., ………………


Задание учащимися выполняется самостоятельно на подготовленных листочках. Затем (взаимопроверка) проверяется соседом по парте.

Затем правильные ответы сверяются с доской (слайд № 18).

V. Домашнее задание.

1. Учебник: стр.3, п.1, п.2; стр. 25 вопросы 1-3; № 4, № 1, 3,4.

2. Изучение нового материала.
Учитель: Уже три года, начиная с 7 класса, мы с вами изучаем школьный курс геометрии.

Слайд 2. Вопросы учащимся:
- Что такое геометрия? (Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур)
- Что такое планиметрия? ( Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости)
- Какие основные понятия планиметрии вы знаете? (точка, прямая)
Учитель: Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрии.

Слайд 3. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. (Учащиеся делают запись в тетрадь)

Слайд 4. Основные понятия пространства: точка, прямая, плоскость.
Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола, стены, пола, потолка и т.д. Плоскость, как геометрическую фигуру, нужно представлять простирающейся во все стороны, бесконечной. Обозначаются плоскости греческими буквами α, β, γ и т. д.
1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.
2. Назовите прямые: лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.

Слайд 5. Об основных понятиях (точка, прямая, плоскость) мы имеем наглядное представление и определения им не даются. Их свойства выражены в аксиомах.
Наряду с точкой, прямой, плоскостью в стереометрии рассматривают геометрические тела (куб, параллелепипед, цилиндр, тетраэдр, конус и др.), изучают их свойства, вычисляют их площади и объемы. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы.

Слайд 6. Вопросы учащимся:
- Какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках.
- Назовите предметы из окружающей вас обстановки (нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.

Слайд 7. Практическая работа ( в тетрадях)
1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).
2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА1В1С1Д1
3. Выделите цветным карандашом:
вершины А, С, В1, Д1; отрезки АВ, СД, В1С, Д1С; диагонали квадрата АА1В1В.
Обратить внимание учащихся на видимые и невидимые линии на рисунке; изображение квадрата АА1В1В в пространстве.

Слайд 8. Вопросы к учащимся:
- Что такое аксиома? Какие аксиомы планиметрии вы знаете?
В пространстве основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

Слайд 9. Учащиеся делают записи и рисунки в тетрадях.
Аксиома 1. (А1) Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Слайд 10. Отметить, что если взять не 3, а 4 произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть 4 точки могут не лежать в одной плоскости.

Слайд 11. Аксиома 2. (А2) Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Слайд 12. Вопрос учащимся:
- Сколько общих точек имеют прямая и плоскость? (рис.1 – бесконечно много; рис.2 – одну)

Слайд 13. Аксиома 3. (А3) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

3. Закрепление изученного материала.

Слайд 14. Решение задач из учебника № 1(а,б), 2(а).
Учащиеся читают условие задач и по рисунку на слайде дают ответ с объяснением.

а) Р, Е ⊂ (АДВ) ⇒ РЕ ⊂ (АДВ) по А2
Аналогично МК ⊂ (ВДС)
В,Д ⊂(АДВ) и (ВДС) ⇒ВД ⊂ (АДВ) и (ДВС)
Аналогично АВ ⊂ (АДВ) и (АВС)
С, Е ⊂(АВС) и (ДЕС) ⇒СЕ ⊂ (АВС) и (ДЕС)
б) С ⊂ (ДК) и (АВС) ⇒ ДК ∩ (АВС) = С. Т.к. точек пересечения прямой и плоскости не более одной ( прямая не лежит в плоскости), то это единственная точка.
Аналогично СЕ ∩ (АДВ) = Е.

В плоскости ДСС1: Д, С, С1, Д1, К, М, R. В плоскости ВQС: В1, В, Р, Q, С1, М, С.

4. Подведение итогов урока. Вопросы учащимся:

  1. Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах?
  2. Что такое стереометрия?
  3. Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке.

5. Домашнее задание.

Урок 2. Некоторые следствия из аксиом

Цели урока:
- повторить аксиомы стереометрии и применение их при решении задач домашнего задания;
- ознакомить учащихся со следствиями из аксиом;
- научить применять следствия из аксиом при решении задач, а также закрепить умение применять аксиомы стереометрии при решении задач;
- повторить формулы вычисления площади ромба.

Ход урока

2. Проверка домашнего задания.

Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.
1)Сформулируйте аксиомы стереометрии и оформите рисунки на доске.
2) №1 (в,г); 2(б,д).
Учащиеся устно с места по рисунку на слайде отвечают на вопросы домашнего задания.

3. Изучение нового материала. Рассмотрим и докажем следствия из аксиом.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.
Учащиеся записывают формулировку в тетради и, отвечая на вопросы учителя, делают соответствующие записи и рисунки в тетрадь.
- Что дано в теореме? (прямая и не лежащая на ней точка)
- Что надо доказать? (проходит плоскость; одна)
- Что можно использовать для доказательства? (аксиомы стереометрии)
- Какая из аксиом позволяет построить плоскость? (А1, через три точки проходит плоскость и притом только одна)
- Что есть в данной теореме и чего не хватает для использования А1 (имеем – точку; необходимы – еще две точки)
- Где построим еще две точки? (на данной прямой)
- Какой вывод можем сделать? ( через три точки строим плоскость)
- Принадлежит ли данной плоскости прямая? ( да)
- На основании чего можно сделать такой вывод? ( на основании А2: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости)
- Сколько плоскостей можно провести через данные прямую и данную точку? (одну)
- Почему? (так как плоскость, проходящая через прямую и плоскость, проходит через данную точку и две точки на прямой, значит по А1 эта плоскость – единственная)

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.
Учащиеся доказывают теорему самостоятельно, затем прослушиваются несколько доказательств и делаются дополнения и уточнения (если они необходимы)
Обратить внимание на то, что доказательство опирается не на аксиомы, а на следствие 1.

4. Закрепление изученного материала.
Задача 6 (из учебного пособия)
Учащиеся работают в тетрадях, предлагают свои варианты решения, затем сравнивают свое решение с решением на экране. Разбираются два случая: 1) точки не лежат на одной прямой; 2) точки лежат на одной прямой.

Слайд 6,7. Задача на слайде. Учащиеся читают условие, делают рисунок и необходимые записи в тетрадях. Учитель проводит фронтальную работу с классом по вопросам задачи. В ходе решения задачи повторяем формулы вычисления площади ромба.
Дано: АВСД – ромб, АС ∩ ВД = О, М ∉ α, (А,Д,О) ∈ α; АВ = 4см, ∠ А = 60º.
Найти: (В,С) ∈ α; Д ∈ (МОВ); (МОВ)∩(АДО); SАВСД.
Решение:

Обратить внимание на тот факт, что если две плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

5. Подведение итогов:
- Сформулируйте аксиомы стереометрии.
- Сформулируйте следствия из аксиом.
Цель урока достигнута. Аксиомы стереометрии повторили, познакомились со следствиями из аксиом и применили их при решении задач.
Выставление отметок (с комментариями)

6. Постановка домашнего задания:

Урок 3. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

Цели урока:
- повторить аксиомы стереометрии и их следствия;
- сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;
- учащиеся знают аксиомы стереометрии и их следствия и умеют применять их при решении задач.

Ход урока


2. Актуализация знаний учащихся.
1) Проверка домашнего задания по вопросам учащихся.
Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.
2) Двое учащихся готовят у доски доказательство следствий из аксиом.
3) Двое учащихся (1 уровень) и двое учащихся (2 уровень) работают по карточкам индивидуального опроса. Слайд .
4) Фронтальная работа с учащимися.

  1. Несколько точек, которые лежат в плоскости α; (А, В, С, Д)
  2. Несколько точек, которые не лежат в плоскости α; (А1, В1, С1, Д1)
  3. Несколько прямых, которые лежат в плоскости α; (АВ, ВС, СД, АД, АС, ВД)
  4. Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α; (А1В1, В1С1, С1Д1, А1Д1, А1С1, В1Д1, АА1, ВВ1, СС1, ДД1)
  5. Несколько прямых которые пересекают прямую ВС; (ВВ1, СС1)
  6. Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС. (АД, АА1 …)

Слайд 3.
Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:
1) если A ∈ a, a ∈ α, то A . α

Слайд 4.
Лежат ли прямые АА1, АВ, АД в одной плоскости? (Прямые АА1, АВ, АД проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости)

Слайд 5.
Учащиеся решают задачи № 7, 10, 14 из учебного пособия, делая соответствующие рисунки и записи на доске и в тетрадях.
Задача № 7.

2) Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?
Решение: По следствию 2:

2) Все прямые, проходящие через точку М, не обязательно лежат в одной плоскости. (см. пример со слайда 4)
Задача 10. Учащиеся решают задачу самостоятельно (аналогично задаче № 7). Учитель выборочно берет тетради на проверку и оказывает индивидуальную помощь в решении задачи учащимся, которые не справились с заданием.
Задача № 14. Решение: Все прямые а, b, с лежат в одной плоскости. В этом случае по следствию 2 можно провести плоскость, и через три прямые проходит одна плоскость.
Одна из трех прямых, например с, не лежит в плоскости α, определяемой прямыми а и b. В этом случае через заданные три прямые проходят три различные плоскости, определяемые парами прямых а и b, а и с, b и с.

Учащиеся делают рисунок и необходимые построения и записи в тетрадях. При построении учащиеся проговаривают аксиомы, результат построения записывают с помощью символики.

Задача.
Дано: куб АВСДА1В1С1Д1
т.М лежит на ребре ВВ1, т.N лежит на ребре СС1 и точка К лежит на ребре ДД1
а) Назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.
б) найдите т.F-точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает точка F?
в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС.
г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС.
Решение:

Слайд 7.
Для решения следующей задачи повторим формулу вычисления площади четырехугольника. Вывод формулы разбирают по слайду.

Учащиеся записывают формулу в тетрадь.

Докажите, что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.
Вычислите площадь четырехугольника, если АС ⊥ ВД, АС = 10см, ВД = 12см.
Ответ: 60 см2

4. Подведение итогов урока.
- Какие аксиомы и теоремы мы применяли на уроке при решении задач? Сформулируйте.
- Какие задачи были самыми интересными, самыми сложными?
- Что полезного для вас лично было на уроке?
- Что вызвало затруднения?
Учитель объявляет отметки за урок с комментарием.

5. Постановка домашнего задания:

Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.

Цели урока:
- провести контроль знаний аксиом стереометрии и их следствий;
- закрепить сформированный навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;
- повторить: теорему Пифагора и ее применение; формулы вычисления площадей равностороннего треугольника, прямоугольника.

Ход урока

2. Проверка домашнего задания.
Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.
Двое учащихся готовят у доски решения задач из домашней работы - № 9, 15.
Остальные учащиеся отвечают на вопросы математического диктанта по слайду.

3. Решение задач (фронтальная работа с классом)
Задача № 1.
Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см.

  1. Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и МFС; б) МСF и АВС.
  2. Найдите длину СF и SАВС
  3. Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

Вопросы к учащимся (при необходимости):
- Какие точки одновременно принадлежат обеим плоскостям. На основании какой аксиомы можно сделать вывод?
- Сформулируйте свойство медианы равнобедренного треугольника.
- Сформулируйте теорему Пифагора.
- Почему можно применить теорему Пифагора в данном случае?
- Какими способами можно вычислить площадь равностороннего треугольника?
- Всегда ли можно построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

  1. Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой Д1Р?
  2. Как построить линию пересечения плоскости АД1Р и АВВ1?
  3. Вычислите длину отрезков АР и АД1, если АВ = а

Решение:
1. Д1Р и ДВ лежат в одной плоскости Д1ДВ. Пусть они пересекаются в точке К. Тогда точка к принадлежит прямой ДВ, а значит, К ∈ (АВС)
2. Точка Р принадлежит ВВ1, а значит, и плоскости АВВ1. Точка А принадлежит АВ, а значит, и плоскости АВВ1. Аналогично АР ⊂ АД1Р. Значит, (АД1Р)∩(АВВ1)=АР.
3. а) Из ∆АВР, по теореме Пифагора АР = ; б) Из ∆АДД1 по теореме Пифагора АД1 = .

Слайд 5.
Задача №3.
Дано: Точки А, В, С не лежат на одной прямой.

Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.
С помощью анимации на слайде учащиеся делают соответствующие построения и необходимые выводы. Делают записи в тетрадях с помощью математических символов, проговаривая соответствующие аксиомы и следствия из аксиом.
Вопросы учащимся ( по необходимости):
- Зная, что точки А, В, С не лежат на одной прямой, какой вывод можно сделать?
- Если точки А и В лежат в плоскости, какой вывод о прямой АВ можно сделать?
- Какой вывод можно сделать о точке М?
- Если точки А и С лежат в плоскости, какой вывод о прямой АС можно сделать?
- Какой вывод можно сделать о точке К?
- Зная, что точки М и К лежат в плоскости, какой вывод можно сделать о прямой МК?
- Какой вывод можно сделать о точке Р?
Решение ( другой способ доказательства):
АВ ∩ АС = А. По второму следствию, прямые АВ и АС определяют плоскость α. Точка М принадлежит АВ, а значит, принадлежит плоскости α, и точка К принадлежит АС, а значит, и плоскости α. По аксиоме А2: МК лежит в плоскости α. Точка Р принадлежит МК, а значит, и плоскости α.

Задача № 4.
Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и с? Почему?
Вопросы учащимся (при необходимости):
- Зная, что прямая а пересекает плоскость β, какой вывод можно сделать? (Прямая и плоскость имеют общую точку, например, точку В)
- Каким свойством обладает точка В? ( Точка В принадлежит и прямой а, и плоскости α, и плоскости β)
- Если точка принадлежит двум плоскостям одновременно, то что мы можем сказать о взаимном положении плоскостей? (плоскости пересекаются по прямой, например с)
- Каково взаимное расположение точки В и прямой с? ( точка В принадлежит прямой с)
- Зная, что точка В принадлежит и прямой а, и прямой с, какой вывод можно сделать об этих прямых? ( прямые пересекаются в точке В)

Задача №5.
Дан прямоугольник АВСД, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α. Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 см, ∠ АОВ = 60º.
Задача предназначена для самостоятельного решения с обсуждением решения и оказанием индивидуальной помощи учащимся. Полезно обсудить различные способы нахождения площади прямоугольника:

    1. Найти стороны прямоугольника.
    2. Использовать тот известный факт, что диагонали параллелограмма (прямоугольника) разбивают его на четыре равновеликих треугольника, и найти сначала площадь одного из треугольников.
    3. Использовать формулу .

    Предложить учащимся решить задачу разными способами.
    Ответ: см 2 .

    4. Подведение итогов урока:
    - Какие аксиомы и теоремы мы применяли на уроке при решении задач? Сформулируйте.
    - Какие задачи были самыми интересными, самыми сложными?
    - Что полезного для вас лично было на уроке?
    - Что вызвало затруднения?
    Выставление отметок за урок ( с комментированием каждой отметки)

    5. Постановка домашнего задания:
    пункты 1-3 прочитать.

    Урок 5. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа (20 мин.)

    Цели урока:
    - закрепить усвоение вопросов теории в процессе решения задач;
    - проверить уровень подготовленности учащихся путем проведения самостоятельной работы контролирующего характера.

    Ход урока

    2. Проверка домашнего задания.
    Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.
    Задача 1.
    Прямые а и b пересекаются в точке О, А ∈ а, В ∈ b, Р ∈ АВ. Докажите, что прямые а и b и точка Р лежат в одной плоскости.
    Решение:

    Слайд 3.
    Задача 2.
    На данном рисунке плоскость α содержит точки А, В, С, Д, но не содержит точку М. Постройте точку К – точку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости α.
    Решение:

    3.Устное решение задач на повторение теории (по слайдам)

    4. Самостоятельная работа (разноуровневая, контролирующего характера)
    5. Подведение итогов.
    1) Собрать тетради с самостоятельной работой.
    2) Объявление отметок с комментированием.

    6. Домашнее задание.
    Учащиеся выбирают свой уровень сложности.

    Читайте также: