Понятие квадратного уравнения 8 класс конспект урока макарычев

Обновлено: 08.07.2024

Учебник: Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова.

Алгебра 8. –М.: Просвещение, 2011.

Этот урок позволяет обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия контроля усвоения знаний и умений.

Способствует формированию умений применять приёмы: обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти, а так же способствует выработке у школьников желание и потребности обобщения изучаемых фактов: развивать самостоятельность и творчество.

Вложение	Размер
konspekt_uroka_v_8_klasse_.docx	25.19 КБ

Предварительный просмотр:

Учебник : Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова .

Алгебра 8. –М.: Просвещение, 2011.

Образовательные: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия контроля усвоения знаний и умений.

Развивающие: способствовать формированию умений применять приёмы: обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные : способствовать выработке у школьников желание и потребности обобщения изучаемых фактов: развивать самостоятельность и творчество.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

3) Изучение нового свойства квадратных уравнений

II . Повторение пройденного материала.

Зачитывается шутливое письмо, в котором профессор Знайкин просит разыскать похищенную неизвестными ценную рукопись.

Ученикам 8 класса МОУ «СОШ №2

от профессора Знайкина

13. 01. сего года у меня из кабинета исчезла ценная рукопись. Прошу принять меры для розыска этой рукописи.

С уважением, профессор Знайкин.

Конкурс на лучшую подготовку к следствию.

1. Проверка быстроты реакции:

а) х 2 -81=0; а) х 2 -8х=0;

б) 16х 2 =49. б) 5х 2 =12.

2. Умение вести перекрёстный вопрос.

3. Проверка логического мышления:

При каком с (в) уравнение имеет единственный корень:

3х 2 -2х+с=0? х 2 +в х+9=0?

4. Умение проводить экспертизу:

Установить, являются ли числа

4+ Ö 3 и 4- Ö 3 корнями уравнения х 2 -8х+13=0,

Задача: В уравнении х 2 +рх-52=0 один из корней уравнения – 13. Число р укажет номер кабинета, а второй корень – стол, где находится указанная рукопись.

Ответ: р =9, х 2 =4.

III. Изучение нового свойства квадратных уравнений.

Один из учащихся читает рукопись, которую нашли:

- Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.

1) х 2 -5х+1=0 1-5+1= -3

2) 9х 2 -6х+10=0 9-6+10=13

3) х 2 +2х-2=0 1+2-2=1

4) х 2 -3х-1=0 1-3-1= -3

При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов.

Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решали дома.

2. (На экране записаны квадратные уравнения, решить которые нужно было дома). Проверка домашнего задания.

х 2 +х-2=0; х 1 =1; х 2 = -2 0

х 2 +2х-3=0; х 1 =1; х 2 = -3 0

х 2 -3х+2=0; х 1 =1; х 2 = 2 0

5х 2 -8х+3=0; х 1 =1; х 2 = 3/5 0

Учащиеся отвечают, чему равны корни квадратного уравнения.

- Ребята, а сейчас посмотрим на эти уравнения и их корни.

- Попробуйте найти какую-то закономерность:

1) в корнях этих уравнений; (первый корень равен 1);

2) в соответствии между отдельными коэффициента и корнями; (второй корень с или с/а);

3) в сумме коэффициентов (сумма коэффициентов равна 0).

Ребята, к какому выводу вы пришли? Придумайте правило.

Учитель слушает ответы учеников и делает вывод:

Если в уравнениях ах 2 +вх+с=0; а+в+с=0,

То один из корней равен 1, а другой с/а

Сделайте запись этого свойства в тетрадях.

х 1 =1; х 2 =с/а (если а=1, то х 1 =1; х 2 =с)

Учитель: это свойство применяют для устного решения квадратных уравнений. Рассмотрим это на следующих примерах.

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний. Алгебра. 8 класс. Учебник. Макарычев Ю.Н. и др. М.: 2013.

Тип урока. Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Цель урока. Ознакомить учащихся с понятием квадратного уравнения, научить выделять типы квадратных уравнений, показать способы решения неполных квадратных уравнений.

Задачи урока.

Общеобразовательный аспект.

1.Продолжить формирование общеучебных умений и навыков:

- умение рассуждать, обобщать, делать выводы;

-умение выполнять задания вычислительного и аналитического характера на всех этапах урока;

-умение использовать решения базовых задач при первичном закреплении материала.

2.Продолжить формирование специальных умений и навыков (умения самостоятельно работать с литературой, умения применять теоретические знания на практике);

-научить воспроизведению решения неполных квадратных уравнений всех трех типов по образцам.

Развивающий аспект.

1.Развивать умение выделять главное в изучаемом материале, выбирать оптимальный способ решения.

2.Развивать логическое мышление.

3.Развивать познавательный интерес к предмету.

Воспитательный аспект.

1.Воспитывать навыки коллективной и индивидуальной работы.

2.Формировать творческую активность, аккуратность, внимание.

Оборудование. плакат (историческая справка), карточки для самостоятельной работы, таблицы(общий вид квадратного уравнения, способы решения неполных квадратных уравнений), справочный материал, оценочные листы.

I. Вступительное слово учителя.

Вы уже имеете представление о квадратном уравнении и о некоторых способах его решения. Сегодня вам предстоит познакомиться с типами квадратных уравнений и рассмотреть способы их решения.

Постановка цели урока.

Инструкция по заполнению оценочных листов.

II. Актуализация опорных знаний.

1.Учащимся предлагается составить математическую модель задачи.

Задача Бхаскары.

На две партии разбившись,

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

Историческая справка (плакат).

2.Беседа с учащимися.

Вопрос. При изучении какой темы мы уже встречались с подобными уравнениями?

Вопрос. Как назывались такие уравнения?

Ответ. Квадратные уравнения.

Вопрос. Какие способы решения квадратных уравнений вам известны?

Ответ. Графический способ, метод выделения полного квадрата и метод разложения на множители.

Вопрос. Всегда ли удобно использовать при решении квадратного уравнения графический способ? Приведите примеры.

Ответ. Нет, к примеру, в уравнении х 2 -х-3=0 с помощью графического способа нельзя найти точное значение корней.

Литература. Энциклопедия для детей. Математика. М., Аванта 2002г.)

III. Изучение нового материала.

Учащимся предлагается самостоятельно ознакомиться с определением квадратного уравнения. Общий вид уравнения и примеры квадратных уравнений рассмотреть с применением таблицы.

Общий вид квадратного

Примеры квадратных уравнений.

ах 2 +вх+с=0, где а, в и с-любые действительные числа, причем а 0

а - первый(старший) коэффициент,

в - второй коэффициент,

с -свободный член.

х 2 +5х=0

Вопрос. Если в уравнении первый коэффициент равен 0, будет ли уравнение квадратным?

Ответ. Нет, к примеру, 0х 2 +15х-4=0 –линейное уравнение.

IV. Первичное закрепление материала.

Фронтальная устная работа с классом.

Работа проводится с использованием графопроектора.

А) назовите первый, второй коэффициенты квадратного уравнения и свободный член :

б) Является ли уравнение квадратным :

в) Составьте квадратное уравнение, у которого

-второй коэффициент равен 0;

-свободный член равен 0.

Вопрос. Можете ли вы выделить типы квадратных уравнений?

Задание. Найдите в учебнике определение полного и неполного квадратных уравнений (самостоятельная работа с литературой).

Вопрос. Что называется корнем квадратного уравнения? Что значит решить квадратное уравнение?

V. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении нового материала.

Рассмотреть неполные квадратные уравнения и найти способы их решения:

Время работы – 4-5 минут.

2.Заслушать ответы учащихся и рассмотреть сводную таблицу решения неполных квадратных уравнений (плакат).

ах 2 +вх+с=0, а 0

х=- .

Ответ: 0; - .

х 2 = - .

Если - о

х₁=-, х₂=.

Если -

уравнение не имеет решений.

3.Беседа по таблице (устно).

- Сколько решений имеет уравнение 1, 3 типа?

- При каком условии уравнение 2 типа не имеет решений? Привести пример.

VI. Обучающая самостоятельная работа по карточкам.

(На каждую парту до начала урока положить справочный материал, в который включена таблица и памятка – руководство к действию.)

При возникновении вопросов и затруднений учитель проводит индивидуальные консультации. (Примерные варианты самостоятельной работы и памятка см. приложение).

Заключительное слово учителя, оценивание знаний (оценочные листы), задание на дом.

Цель: ввести определение квадратного уравнения, неполных квадратных уравнений и их решения; учить решать неполные квадратные уравнения; развивать логическое мышление учащихся, внимательность , аккуратность оформления решения неполных квадратных уравнений.

Оборудование: мультимедийная доска, ноутбук, портрет К.Гаусса, карточки –задания ,карточки- ответы.

2.Устная работа.(написаны задания на доске)

1)√225 +3√121= карточка со словом –кто (с другой стороны число) 48

2)√16 + √100 = карточка со словом –хочет (с другой стороны) 14

3) √25 * √225 = карточка со словом- много(с другой стороны) 75

4) - 0,3√10000 = карточкасо словом –знать ( с другой стороны) -30

5) √36/√121= карточка со словом –тому (с другой стороны) 6/11

6) √25= карточка со словом – мало (с другой стороны) 5

7) √81*25 = карточка со словом – надо (с другой стороны) 45

8) -√64= карточка со словом –спать(с другой стороны) 8

Мы с вами вспомнили свойства арифметического квадратного корня.

Теперь разложим на множители:

а) х²- 7х= (дети пишут ответ) х (х-7)

г) 4х² + 2х = 2х(2х +1)

х² -25= карточка со словом –математика (с другой другой стороны Ответ) х=- 5 и х= 5

х² = 5 карточка со словом- царица (с другой стороны)х= √5, х=-√5

х² + 9=0 карточка со словом – наук (с другой стороны) корней нет.

-(ответ учащихся) Без математики никуда, на уроках математики решаются системы упражнений, направленных на развитие мышления, памяти ,искать красивые решения.

Тема на мультимедийной доске

Определение квадратного уравнения .Неполные квадратные уравнения.

Учитель: какой вид имеет линейное уравнение.

Учащийся: ах +в = 0

Учитель : А какой вид имеет квадратное уравнение?

Давайте посмотрим на таблицу.

Квадратное уравнение

ах² + вх+с =0

а- первый(старший )коэффициент

в- второй коэффициент

с – свободный член

а ≠ 0

Например :найдите из этих уравнений квадратные

(уравнения на мультимедийной доске)

1)3,6х² +4х – 6 =0 5) - 6х +12 =0

2) х+х²- 4 =0 6) 6х²+3х=0

3)15х²- х³-5 =0 7) - 0,5х²+ 2х – 8=0

4) 3х²- 18=0 8) х²+15х – 3 =0

Учащиеся отвечают :под номером 1,2,4,6.7,8.

Учитель: Правильно. А теперь посмотрим на следующую таблицу на доске

Виды квадратных уравнений.

х²+ вх+с=0, а=1 – приведенное квадратное уравнение

ах² +вх=0

ах² + с = о - неполные квадратные уравнения , а≠0

Посмотрите внимательно на уравнения, чем они отличаются от основного квадратного уравнения ах²+вх+с=0

Ученики: в первом уравнении а=1,во втором уравнении нет с,в третьем уравнении нет в .

Учитель: Даны квадратные уравнения, изучите их структуру, в чем их различие между собой.

(Уравнения на ноутбуке ,на мультимедийной доске:

1)х² + 4х+5 = 0 3) х²- 5х +6 = 0 5) х²- 9=0

2)х²- 15х- 3 =0 4) х²- 6х =0 6) х²+5 =0

Ученики:1,2.3- приведенные,4,5,6 –неполные.

Ученики:1,2,3уравнениях а=0, в 4 уравнении нет свободного члена с,в 5,6 уравнениях нет в.

Учитель: А какие уравнения не приведенные и не неполные?

Вместо а любое число, кроме1 .

Учитель: Прочитайте в учебнике определение.

Определение на мультимедийной доске

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах² +вх+ с =0, где х – переменная а,в и с – некоторые числа ,причем а ≠0.

4. Самостоятельная работа.( Задания на мультимедийной доске)

1) составить квадратное уравнение:

Первый коэффициент равен 12,коэффициентпри х равен 3,свободный член равен 2;

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Квадратные уравнения.docx

Цели урока: знакомство с квадратными уравнениями; сформулировать определение квадратного уравнения; ввести понятия неполного и полного уравнения; научить учащихся решать неполные квадратные уравнения.

Этапы урока:

Актуализация знаний учащихся.

Изучение нового материала: I . Уравнения.

II . Квадратные уравнения.

III . Неполные квадратные уравнения.

IV . Способы решения неполных квадратных уравнений.

Закрепление изученного: решение неполных квадратных уравнений (на понимание).

Итоги урока. Выставление оценок.

Домашнее задание № 515(а;в;д);517 - 518 (а;в;д).

Пофрагментное распределение содержания учебного текста

Виды уравнений (линейные и нелинейные)

Определение квадратного уравнения.

Коэффициент квадратного уравнения.

Виды квадратных уравнений.

Решение неполных квадратных уравнений.

УРАВНЕНИЕ – равенство, содержащее неизвестные величины.
ЛИНЕЙНЫМ уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах=в, где х – переменная, а и в – числа.
КВАДРАТНОЕ уравнение – уравнение вида ах 2 + вх +с = 0, где а, в, с – заданные числа, причем а=0, х–переменная.
КОЭФФИЦИЕНТЫ квадратного уравнения:
а – первый (старший коэффициент)
в – второй коэффициент
с – свободный член.
НЕПОЛНОЕ квадратное уравнение – квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0, у которого хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю.
ПОЛНОЕквадратное уравнение – квадратное уравнение, у которого все три коэффициента отличны от нуля.

ОРГ. МОМЕНТ. Сегодня на уроке мы будем работать с текстом, который лежит у вас на столах. Словарь терминов вы подготовили дома, можете его использовать.

Актуализация знаний учащихся:
I .Учитель: решение многих задач в математике сводится к решению уравнений. С уравнениями вы знакомы еще с начальной школы. Чтобы вспомнить об уравнениях и их видах я предлагаю прочитать текст I ., который лежит у вас на партах. И устно ответить на вопросы 1.1.

1. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.

2. Виды уравнений: линейные и нелинейные(заполнение таблице на доске).

4. Степень линейного уравнения – первая.

3. Изучение нового:

Учитель: А теперь читаем текст под римской цифрой II и отвечаем на вопросы II . 1-5. Ответы на вопросы вы можете обсудить в парах; задания 2,3,5 выполняем по вариантам в тетрадях.

Определение квадратного уравнения.

1 Вариант 3,7х 2 -5х + 1 = 0; 2 Вариант 5х 2 - 14х + 17 = 0;

7х 2 – 13 = 0; -7х 2 – 13х + 8 = 0;

5х 2 – 9х + 4 = 0; х 2 – х = 0;

-х 2 - 8х +1 = 0. Х 2 +25х = 0

3. Назовите коэффициенты квадратных уравнений.

1 Вариант х 2 – 4х – 9 = 0 2 Вариант х 2 – 3х – 4 = 0
4. Обоснуйте ответ.

5. Вторая, т.к. левая часть есть многочлен второй степени.
6. 1 Вариант 2х 2 +3х +4 = 0 2 Вариант 3х 2 – 4х + 6 = 0

- х 2 – 5х = 0 -х 2 + 9 = 0

Назовите недостающие коэффициенты во 2) и 3) примерах.
III . Учитель:
Читаем III часть текста и отвечаем на вопросы III / 1-4 /

ОПРОС:Ученик.
1. В зависимости от полноты квадратные уравнения бывают полные и неполные (заполнение таблицы).
2. Определение неполных квадратных уравнений.
3. Виды неполных квадратных уравнений.
4. Примеры.

IV . Учитель:
А теперь рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов; читаем IV часть текста и отвечаем на вопросы IV . 1-2. Работа в парах.
Запись в тетрадях:
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ах 2 + с =0 ах 2 + вх = 0 ах 2 = 0
Ах 2 = -с х(ах + в) = 0 х 2 = 0
Х 2 = -с : а, -с : а≥0 х = 0 или ах + в = 0 х = 0
Х = √ -с/а ах = -в
Х = -√ -с/а х = -в : а
Ответ: √ -с/а; -√ -с/а Ответ: 0; -в : а Ответ: 0

Назовите количество корней.
Запись на доске (проверка!)

4. Учитель:
А теперь работа по вариантам IV . 3.
Проверить у тех, кто решил быстрее, остальные сверяют решение, которое уже записано на доске. Итоги самостоятельной работы.

1 вариант 2 вариант
1) х = +- 1.5 1) х = +- 7/5
2) х = 0; х = 4/3 2) 0; 0,6
3) а = 0 3) 0

Выставление оценок. Домашнее задание № 515(а; в; д); 517 - 518 (а; в; д).

I . УРАВНЕНИЕ.
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначающее буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет.
Решение многих практических задач сводится к решению уравнений, которые можно преобразовать в уравнение ах = в , где а и в – заданные числа, х - неизвестное. Это уравнение называют линейным.

II . КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Решение многих задач математики, физики, техники сводится к решению уравнений вида 2х 2 + х – 1 = 0, 8х 2 – 7х = 0, х 2 – 25 = 0, 2х 2 = 0. Каждое из этих уравнений имеет вид ах 2 + вх + с = 0, где х- переменная, а,в,с – числа. В первом уравнении а=2, в=1, с=-1, во втором а=8, в=-7, с=0, в третьем а=1, в=0, с=25, в четвертом уравнении а=2, в=0, с=0. Такие уравнения называют квадратными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х – переменная, а,в, с – некоторые числа, причем а=0.
Числа а, в, с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, в- вторым коэффициентом и с- свободным членом.
При решении многих задач получается уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований сводятся к квадратным. Например, уравнение 2х 2 + 3х = х 2 + 2х + 2 после перенесения всех членов в левую часть и приведения подобных членов сводится к квадратному уравнению х 2 + х – 2 = 0.
Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

III. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Если в квадратном уравнении ах 2 + вх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2х 2 + 7 = 0, 3х 2 – 10х = 0 и -4х 2 = 0 – неполные квадратные уравнения. В первом из них в = 0, во втором с = 0, в третьем в=0 и с = 0.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
ах 2 + с = 0, где в = 0
ах 2 + вх = 0, где с = 0
ах 2 =0, где в и с = 0.

IV . РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
ПРИМЕР1. Решим уравнение -2х 2 + 15 = 0,
Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на -3:
-3х 2 = -15
х 2 =5
х = 5 или х = -5
Ответ: 5, -5.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение 4х 2 + 16 = 0
Перенесем свободный член в правую часть уравнения и обе части получившегося уравнения разделим на 4:
4х 2 = -16
х 2 = -4
Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х 2 + 16 = 0
Ответ: корней нет.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение 4х 2 + 9х = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители: х( 4х + 9 ) = 0.
Отсюда х = 0 или 4х + 9 = 0.
решим уравнение 4х + 9 = 0
4х = -9
х = -2
Ответ: 0, -2

ПРИМЕР 4. Решим уравнение 2х 2 = 0
х 2 = 0
х = 0
Ответ: 0.

Читайте также: