Площадь поверхности цилиндра и конуса конспект

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема: Повторение. Цилиндр, конус и шар, площади их поверхностей

- систематизировать теоретические знания по темам;

- совершенствовать навыки решения задач.

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Повторение теории по таблицам. Учащиеся в течение 5-7 минут самостоятельно повторяют теорию используя таблицы.

А. Цилиндр (рис. 1)

OO 1 = Н- высота цилиндра;

l - образующая;

В. Усеченный конус (рис. 3)

III. Решение задач по готовым чертежам.

1. (рис. 5).Найти: S 6ок. Решение:

1) ΔСОЕ - равнобедренный треугольник, так как СО = ОЕ ⇒ ∠ OEC = 60°.

2) ∠ CED - вписанный, ∠ CED = 90°, ∠ CDE = 30°.

5) ΔОО1 E - прямоугольный, ∠ OO 1 E = 30°. OO 1 = H = 30.

6) (Ответ: )

SCC 1 D 1 D = Q , S боков. — ?

Решение :

(Ответ: πQ .)

SO = 15. A1B1, W(O1; O1A1) - сечение конуса .

1) Δ A 1 O 1 S ~ Δ AOS по 2-м углам, значит,

4) (Ответ: )

ΔABC - правильный, OO 1 = 3.

1) Δ CO 1 O - прямоугольный, СО = R ш.

2) O 1С = r , r - радиус описанной окружности около

4) ΔСО1О - прямоугольный

5) (Ответ: 48π.)

IV. Решение задач

1. Прямоугольная трапеция с основаниями 6 см и 10 см и высотой 3 см вращается около большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения. (Ответ: 60 см2.)

2. Прямоугольная трапеция с основаниями 12 см и 20 см и высотой 15 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй - около большего. Сравните площади поверхностей тел вращения. (Ответ: в первом случае на 240π см2 больше.)

3. В конус вписана пирамида МАВС, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами АВ = 12 см и ВС = 16 см. Двугранный угол при катете ВС равен 60°. Найдите: а) площадь грани M ВС; б) площадь боковой поверхности конуса.

4. Высота конуса равна h , образующая равна l . Найдите радиус описанного около конуса шара.

1. (рис. 9).

(Ответ: на 240π см2 в первом случае больше.)

3. (рис. 11)

a ) 1) ∠ OKM = 60° - линейный угол двугранного угла ОВСМ (ОК ⊥ ВС, МК ⊥ ВС);

2) (так как ΔАВС - прямоугольный).

3) Так как Δ ABC - прямоугольный, то О - середина гипотенузы и центр описанной окружности.

4) ОК - средняя линия Δ ABC (ОК ⊥ АВ, АВ ⊥ ВС ⇒ ОК || АВ; О - середина А С ⇒ К - середина ВС).

5) ΔОМК – прямоугольный (ОМ ⊥ ABC ), ∠ ОМК = 30° ⇒ МК = 12 см.

б) 1) Из ΔОМК:

2) ΔВОМ - прямоугольный: BM = l.

3) (Ответ: )

3) - радиус описанной окружности около ΔАВС со сторонами а, b , с, площадью S . (Ответ: 1/2.)

Изучение темы данной дисциплины ЕН.01 Прикладная математика базируется на знаниях, полученных при изучении таких дисциплин как ОУД.04 Математика.

Основная задача данной темы – Сформировать умение находить площадь поверхностей цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара и его частей

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей).

Цилиндр прямой круговой может быть получен путем вращения прямоугольника вдоль стороны как оси.

Цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны AB.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h (H) и длиной равной длине окружности основания 2πR.

Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле: S б.п. = 2πR•Н

Площадь полной поверхности находиться как сумма боковой поверхности и двух площадей основания (круга), вычисляется по формуле: S п.п. = 2πR•Н+2πR 2

Объем цилиндра вычисляется по формуле: V = πR 2 H

Конусом называется тело, которое состоит из круга - основание конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга - вершины конуса, и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса (ℓ).
Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса (Н).
Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).

Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Площадь боковой поверхности прямого конуса вычисляется по его развёртке.

Можно найти как площадь кругового сектора по формуле: S=(πR 2 α)/360֯

Где R – радиус круга, а α - градусная мера соответствующего центрального угла.

Боковая поверхность конуса можно вычислить по формуле:

S б.п. = πRℓ , где R — радиус основания, ℓ — длина образующей.

Полная поверхность конуса равна сумме площадей боковой поверхности и площади основания: S п.п. = πRℓ + πR 2 .

Объем кругового конуса: V=1/3πR 2 •Н

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называют осевым сечением.

(сечением является равнобедренный треугольник)

Сечение плоскостью перпендикулярной оси конуса:

(сечением является круг).

Конические сечения как результат пересечения плоскости с конусом. Возможны три основных типа конических сечений: эллипс, парабола, гипербола

Центр тяжести любого конуса лежит на четверти высоты считая от основания.

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы , заключенную между двумя параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара , заключенную между двумя параллельными плоскостями (рис. 2).

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Из определений 3 и 5 следуtт, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс , у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс , у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

где
r – радиус сферы.

где
r – радиус шара.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r 1 и r 2 !

Площадь сферического пояса

где
r 1 , r 2 – радиусы оснований шарового слоя,
h – высота шарового слоя .

Объем шарового слоя

Площадь сферического сегмента

Объем шарового сегмента

Объем шарового сектора

Вопросы для самоконтроля:

Дать определение цилиндр, конус, усечённый конус, шар.
Виды сечений шара.
Виды сечений конуса.
Виды сечений шара.
Площадь поверхности цилиндра, конуса.
Виды конусов.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок - семинар по геометрии на тему " Цилиндр, конус, усеченный конус"

Разроботка урока - семинара по геометрии на тему " Цилиндр, конус, усеченный конус".

Урок по теме "Цилиндр. Конус. Усеченный конус", 11 класс

Разработка урока-игры по теме "Цилиндр. Конус. Усеченный конус." в 11 классе по геометрии.

Решение задач по теме: "Площадь поверхности цилиндра. конуса и шара" (11 класс)

В методической подобраны задачи на вычисление площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Помимо задач, решаемых в классе, предлагаются задачи для решения дома.

Урок геометрии в 11 классе по теме "Цилиндр. Конус. Усеченный конус"

Урок геометрии в 11 классе по теме "Цилиндр. Конус. Усеченный конус".

N7 Вычисление площади поверхности цилиндра, конуса, шара. за 12.05.20 для группы МЖКХ2

Задание: 1. Законспектировать краткий справочный материал.2. Офрмить решение типовых задач.3. Ответить на контрольные вопросы.4. Решить задачи: 1. Из темы"Цилиндр"- N5 .

N8 Вычисление площади поверхности цилиндра, конуса, шара. за 13.05.20 для группы МЖКХ2

Задание: 1 . Законспектировать тему "Шар и сфера".2. Оформить решение типовых задач. 3. Ответить на контрольные вопросы.4. Решить задачу из темы "Шар и сфера" N1.

Шар. Цилиндр. Конус. Площади поверхности и объемы этих фигур.

Подробная теория с наглядными иллюстрациями и основные формулы.

Читай эту статью, здесь все это есть.

Всего за 15 минут ты полностью во всём разберешься!

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.

Вот самый простой пример: цилиндр.

Берем прямоугольник и начинаем вращать его вокруг одной из сторон.

А теперь гораздо хитрее. Бывает так, что ось вращения находится далеко от фигуры, которая вращается.

Что получится? Бублик. А по-научному – ТОР.

Ну и так вот можно любую фигуру вертеть вокруг любой оси, и будут получаться разные более или менее сложные тела вращения.

Ну, а поверхность вращения – это просто граница тела вращения. Ведь поверхность это всегда граница тела.

Здесь мы рассмотрим подробно несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.

Шар – тело вращения, полученное вращением полуокружности вокруг диаметра.

Вообще-то есть и другое определение шара – через ГМТ (геометрическое место точек)

Шар – геометрическое место точек, удаленных от одной фиксированной точки на расстояние, не более заданного.

Скажу тебе по секрету, что, хоть второе определение и пугающее на вид, оно удобнее в обращении. Задумайся, ведь если тебя попросят сказать, что такое шар, ты скажешь что-то вроде:

Ну, в общем, шар он и есть шар.

Названия, которые ты должен знать:

Незнакомое тебе, наверное, только одно.

Диаметральное сечение шара – сечение, проходящее через центр. Это сечение иногда еще называют большим кругом.

Площадь поверхности сферы

Откуда взялось? Умные математики придумали – это не так уж просто – придется просто запомнить.

Объем шара

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Если ты знаком с производной, то можешь заметить это:

И это не случайно! Но почему это так вышло, мы тоже здесь обсуждать не будем. Можешь попробовать доказать это сам!

Цилиндр

Цилиндр – тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

Основания у цилиндра – это круги

Еще у цилиндра есть так называемая развертка.

Представь, что у нас от цилиндра осталась только боковая поверхность, и мы ее разрезали вдоль образующей и развернули.

Что получится? Представь себе, прямоугольник.

Развертка цилиндра – прямоугольник.

Площадь боковой поверхности цилиндра

\( H\) – высота, она же образующая.

Откуда взялась эта формула? Это как раз легко! Именно потому, что цилиндр можно развернуть, и получится прямоугольник \( 2\pi R\cdot H\).

Площадь этого прямоугольника и есть площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь прямоугольника, как мы хорошо помним равна произведению сторон, поэтому

Площадь полной поверхности цилиндра

Прибавляем теперь площадь двух кругов – оснований и получаем:

Можно вынести (хотя и не обязательно) \( 2\pi R\):

Но эту формулу неудобно запоминать!

Гораздо проще запомнить, что полная поверхность – сумма боковой поверхности и еще двух кругов – оснований, а боковая поверхность – прямоугольник. И тогда \( _>\) можно вообще не запоминать, ты всегда сам напишешь, что

Объем цилиндра

\( R\) – радиус основания \( H\) – высота

\( V=_>\cdot H\), только у призмы и параллелепипеда \( _>\) — это площадь многоугольника, а у цилиндра \( _>\) — это площадь круга.

Конус

Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Названия, относящиеся к конусу:

Что тут нужно твердо помнить?

Ясно ли это? Вроде должно быть ясно, ведь образующая – это гипотенуза (одна и та же!) Треугольника, который вращаем, а радиус основания – катет.

У конуса тоже есть развертка.

Снова представим, что основания нет, разрежем боковую поверхность вдоль образующей и развернём кулек. Что получится?

Представь себе сектор круга. Пусть длина образующей равна \( l\).

Развертка конуса – сектор круга радиуса \( l\)

Площадь поверхности конуса

Как найти площадь боковой поверхности корпуса? Вспомним о развертке, ведь для цилиндра все было просто именно с помощью развертки.

По формуле площади сектора \( _>=^>\cdot \frac\) Где \( \alpha \) – угол при вершине в радианах.

И это уже формула. В некоторых задачах бывает дан именно угол при вершине в развертке конуса.

Но если все же даны только образующая и радиус основания, как быть?

Нужно осознать, что же такое дуга в развертке? Это бывшая окружность основания! Поэтому длина этой дуги равна \( 2\pi R\).

С другой стороны, длина этой же дуги равна \( \alpha \cdot l\), так как это дуга окружности радиуса \( l\). Поэтому

\( \alpha \cdot l=2\pi R\)

\( R\) — радиус окружности основания,

\( l\) — длина образующей

Ну, и осталось площадь полной поверхности конуса. Прибавим к боковой поверхности площадь круга основания, и получаем:

Можно вынести \( \pi R\):

Но, как и для цилиндра, не надо запоминать вторую формулу, гораздо проще всегда пользоваться первой.

Объём конуса

\( R\) – радиус основания \(

Это так же, как у пирамиды

\( _>\) — это не площадь многоугольника, а площадь круга.

А вот откуда взялась \( \frac\)?, по-прежнему остается загадкой, потому что эта \( \frac\) получена в результате довольно хитрых рассуждений умных математиков.

Бонус: Вебинары по стереометрии из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 14 Стереометрия. Расстояние между точками и от точки до прямой

Затем мы научимся двум основным вещам — находить расстояние между точками на таких рисунках, а также расстояние от точки до прямой.

На этих умениях строится всё дальнейшее изучение стереометрии. В общем это очень важное, базовое видео, с которого нужно начинать изучение стереометрии.

Не перескакивайте, не пропускайте его! Даже если вы знаете стереометрию, вы найдете для себя очень много полезного и нового в этом видео.

ЕГЭ 14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Алексей Шевчук — ведущий курсов

Твой ход!

Ну как тебе? Понравилось?

Держу пари, даже если ты первый раз слышишь о телах вращения, ты сейчас чувствуешь себя намного увереннее в этой теме!

А теперь мы хотим услышать тебя. Нам очень интересно твое мнение об этой статье!

Напиши его в комментариях ниже!

Помогла ли тебе эта статья? Достаточна ли она подробна?

Остались вопросы? Задай их!

Мы ответим. Мы читаем все.

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Александр Кель :

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Мария
07 февраля 2018
Очень понятно, доступно

Александр (админ)
07 февраля 2018
Мария, мы рады! Заходи к нам и делись с друзьями!

Евгений
05 марта 2018
Сайт замечательный! Совокупность лёгкого и понятного для прочтения текста и самих рисунков отличная.

Александр (админ)
05 марта 2018
Спасибо, Евгений! Заходи… )

Левон
09 мая 2018
Потрясающе! Я в восторге. Всё так хорошо расписано и показано, даже предлагают как можно легче формулами воспользоваться. Продолжайте в том же духе!

Александр (админ)
09 мая 2018
Спасибо большое, Левон!

Дилдора
18 мая 2018
Да, отлично! Мне тоже понравился. А как можно скачать, чтобы воспользоваться.

Александр (админ)
18 мая 2018
Дилдора, привет! К сожалению пока скачать никак нельзя ((( Только если по кускам делать скриншоты и потом распечатать. Руки не доходят сделать.

Таня
18 июня 2018
Молодцы, ребята. Это доступно, лаконично, толково. Успехов Вам и нам.

Максим
23 мая 2019
Прекрасный сайт. Дела. сейчас реферат по этой теме, обычно приходится сокращать, а здесь наоборот лить воду) Купил бы что-нибудь не для того, чтобы читать, а чтобы этот сайт жил, но, к сожалению, сам студент и деняк нема(

Александр (админ)
23 мая 2019
Ничего, Максим, студенты становятся профи и начинают зарабатывать. Все будет тип-топ! За добрые слова спасибо!

Геннадий
31 июля 2019
А если образующая колонны — дуга вытянутого эллипса, то какова боковая поверхность этой колонны?

Алексей Шевчук
01 августа 2019
Геннадий, здесь не обойтись без интеграла. Нужно знать зависимость радиуса колонны от высоты (например, можно вывести из уравнения эллипса).

Геннадий
09 августа 2019
Алексей! В одной из традиций такие образующие могли строить по контрольным точкам. Эллипс с полуосями 1040 и 65 (соотношение 16 к 1) модулей являет 36 точек с целочисленными координатами. Высота колонны — 256 модулей, верхний радиус — 14 модулей, а нижний — 16 модулей. Ось колонны паралельна вертикальной оси разметочного эллипса. Растояние между этими осями — 49 модулей. Основание колонны проецируем на малую ось данного эллипса.

Алексей Шевчук
13 августа 2019
Геннадий, ни эллипсы, ни интегрирование (на нужном для этой задачи уровне) в школьной программе не проходятся. Вкратце Ваша задача решается так: 1) Сначала необходимо составить уравнение эллипса. Например, в виде (x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2 = 1 (рекомендую взять x0=49 и y0=0). 2) Пользуясь этим уравнением, можно вывести зависимость радиуса колонны от высоты (при х0=49 и у0=0 нужно будет просто выразить x из уравнения). 3) Нужно вычислить, на каких высотах y1 и y2 радиусы равны 14 и 16 (таких пар будет несколько, зависит от того, выпуклая колонна или вогнутая) — в Вашем случае всё просто, это 256 и 0. 4) наконец, нужно взять определённый интеграл по dy с пределами y1 и y2 от функции 2*pi*x (длины окружности на каждой высоте). Чтобы упростить вычисления, рекомендую пользоваться программами типа wolfram alpha.

Алексей Шевчук
25 августа 2019
Пояс закрытого эллиптического тора вполне подойдёт. Правда, не уверен, что Вы найдёте готовые формулы вычисления для подобных фигур

Тела вращения, изучаемые в школе, - это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Смотрите также: Формулы объема и площади поверхности многогранников.
Кроме формул, в решении задач по стереометрии нужны также элементарная логика и пространственное воображение. Есть и свои небольшие секреты.

Например, такой важный факт:

Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем - в 8 раз.

Вот такая задача. Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.

1. Объем конуса равен . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Очевидно, что объем меньшего конуса в раз меньше объема большого и равен двум.

Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто — рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.

Говорят, что хороший чертеж - это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике.
Мы тоже расскажем о ней.

Образовательные цели: сформировать представления о понятии площади поверхности тел вращения; рассмотреть формулы площади боковой поверхности цилиндра и конуса, площади сферы; сформировать умения вычисления площади поверхности геометрических тел при решении практических задач; способствовать формированию умения организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения упражнений.

Цикловая методическая комиссия общих гуманитарных,

социально-экономических дисциплин

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

комбинированного занятия

для преподавателя

Дисциплина: Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Тема 4. 14 «Площадь боковой поверхности цилиндра и конуса.

для специальности 34.02.01 Сестринское дело

по программе базовой подготовки

Барабинск, 2016 г

Рассмотрена на заседании

От ____________ 2016 г.

Преподаватель 1 квалификационной категории Вашурина Т. В.

Формирование требований ФГОС при изучении темы

Выписка из тематического плана дисциплины «Математика:

Актуальность изучения математики

Примерная хронокарта занятия

Блок информации по теме

План самостоятельной работы студентов

Перечень оборудования и оснащения

Список использованных источников

Методический лист

Вид занятия: комбинированный урок.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный с использованием информационных технологий (ЭОР, мультимедийная презентация), репродуктивный.

Уровень усвоения информации: первый (узнавание ранее изученных объектов, свойств) + второй (выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством)

Воспитательные цели: развивать коммуникативные способности; создавать условия для развития скорости восприятия и переработки информации, культуры речи; формировать умение работать в коллективе и команде.

Развивающие цели: способствовать выработке навыков решения стереометрических задач на нахождение геометрических величин. Выполнение чертежей по условиям задач.

Формирование требований ФГОС при изучении темы

Результаты обучения:

владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры;

сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации.

Изучение темы 4.14 способствует формированию у обучающихся следующих общих компетенций:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения задач, оценивать их выполнение и качество.

ОК 6. Работать в коллективе и команде.

Выписка из тематического плана

специальность Сестринское дело

Площадь боковой поверхности цилиндра, конуса. Площадь сферы

Содержание учебного материала

Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса, сферы. Вычисление площади поверхности при решении практических задач. Применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием.

Самостоятельная работа обучающихся:

- создание мультимедийной презентации по данной теме;

- работа с конспектом лекции.

Актуальность изучения геометрии

Во-первых, геометрия является первичным видом интеллектуальной деятельности, как для всего человечества, так и для отдельного человека. Мировая наука начиналась с геометрии. Ребенок, еще не научившийся говорить, познает геометрические свойства окружающего мира. Многие достижения древних геометров (Архимед, Аполлоний) вызывают изумление у современных ученых, и это несмотря на то, что у них полностью отсутствовал алгебраический аппарат.

Во-вторых, геометрия является одной составляющей общечеловеческой культуры. Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятников мировой культуры. Человек не может по-настоящему развиться культурно и духовно, если он не изучал геометрию; геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека.

Основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. И это единственный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений. Людьми, понимающими, что такое доказательство, трудно и даже невозможно манипулировать.

Итак, Геометрия — один из важнейших предметов, причем не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех изучаемых предметов. Ее целевой потенциал охватывает необычайно широкий арсенал, включает в себя чуть ли не все мыслимые цели образования.

(время занятия 90 минут)

Этапы занятия

Деятельность

Цель этапа занятия

Оснащение этапа

преподавателя

Приветствие. Проверка готовности аудитории.

Дежурный информирует об отсутствующих. Контроль внешнего вида студентов.

Мобилизация внимания, выявление готовности аудитории к занятию.

Актуализация опорных знаний.

Анализирует степень усвоения предыдущей темы. Проводит фронтальный опрос группы (не оценивая), задает вопросы

На доске записывают упражнение из домашней работы. Устно отвечают на вопросы.

Выявление степени подготовки студентов к занятию и степень усвоения материала по предыдущей теме. Развитие коммуникативных способностей обучающихся.

Вопросы для фронтальной беседы (устно)

Сообщает тему занятия, определяет цель, обосновывает значимость изучаемой темы.

Слушают, записывают дату и тему занятия в рабочих тетрадях.

Обозначить цель занятия, заинтересовать обучающихся, сконцентрировать их внимание.

Методическая разработка, мультимедийное оборудование, мультимедийная презентация.

Изучение нового материала по плану.

Объясняет новый материал, сохраняет записи на доске. Демонстрирует презентацию.

Слушают, анализируют, выделяют главное, делают выводы, конспектируют.

Сформировать представления о понятии площади поверхности тел вращения; рассмотреть формулы площади боковой поверхности цилиндра и конуса, площади сферы; сформировать умения вычисления площади поверхности геометрических тел при решении практических задач; сформировать умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры.

Учебник Геометрия. Учебник для 10-11классов средней школы под ред. Атанасяна Л.С. [и др.], методическая разработка (блок информации), мультимедийное оборудование, мультимедийная презентация.

Первичное закрепление знаний, выполнение упражнений.

Выполняет пошаговую проверку деятельности учащихся, оказывает помощь, консультирует.

Работают в коллективе, выполняя одинаковые задания, аналогичные разобранным при объяснении.

Закрепление и систематизация материала, ликвидация пробелов в полученных знаниях. Сформировать представления об основных понятиях и свойствах пространственных геометрических фигур, умения распознавать на чертежах геометрические фигуры. Организация собственной деятельности, выбор типовых методов и способов решения упражнений, оценка их выполнения.

Методическая разработка, презентация (задачи на слайде презентации), учебник Геометрия. Учебник для 10-11классов средней школы под ред. Атанасяна Л.С. Приложение №2

Задание на самостоятельную работу.

Определяет набор заданий для самостоятельной работы, проводит инструктаж по выполнению работы, определяет время самостоятельной работы студентов.

Слушают преподавателя, задают вопросы. Всем даётся один и тот же набор задач, которые можно выполнять, консультируясь только с преподавателем.

Развитие скорости восприятия и переработки информации, пунктуальности.

Слайд презентации с инструкциями, раздаточный материал каждому студенту с заданиями на отдельных листах для самостоятельной работы.

С. р. Контроль текущих теоретических и практических знаний, контроль конечного уровня знаний.

Наблюдает за работой учащихся, оказывает помощь, консультирует

Работают индивидуально, используют текст учебника, решают задачи по образцу.

Закрепление материала, формирование умения делать выводы, обобщать. Формирование умения принимать решения. Контроль усвоения знаний и умений учащихся.

Задания для итогового контроля.

Контролирует взаимопроверку (работа в команде), поясняет критерии оценки.

Предоставляют выполненное задание, работают в паре, (работа в малой группе), сопоставляют ответы с эталонами, выставляют оценки.

Закрепление знаний по теме, выявление степени усвоения материала.

Подведение итогов занятия, выставление оценок.

Оценивает индивидуальную работу, обоснование полученных студентами оценок.

Слушают, задают вопросы, участвуют в обсуждении.

Развитие эмоциональной устойчивости, объективности оценки своих действий, умения работать самостоятельно.

Проводит инструктаж по выполнению домашнего задания.

Слушают, записывают, задают вопросы.

Оптимизация самоподготовки, определение объема самостоятельной внеаудиторной работы.

Слайд презентации с домашним заданием.

Блок информации

Вспомним, что цилиндр и конус относятся к объемным (трехмерным) геометрическим фигурам вращения.

Так, цилиндр — это фигура, полученная от вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон как оси; конус — вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси, шар — вращением полукруга вокруг его диаметра как оси.

Объемные фигуры бывают прямые (прямой цилиндр, прямой конус) и наклонные (наклонный цилиндр, наклонный конус), что зависит от вида той плоской геометрической фигуры, которая их образует.

Определение. Цилиндр — это тело (объемная геометрическая фигура), полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон как оси.

Определение. Конус (прямой) — это тело (объемная геометрическая фигура), полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Определение. Сфе́ра — это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы).

Формула площади боковой поверхности цилиндра
S_бок. = 2πrh
r — радиус цилиндра, h — высота цилиндра

Площадь поверхности прямого, кругового конуса

R - радиус основания конуса

H - высота

L - образующая конуса

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S_бок):

Читайте также: