План конспект урока правильные многогранники

Обновлено: 06.07.2024

Цель урока: Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками.

Обучающие:

Ввести понятие правильного многогранника.
Рассмотреть свойства правильных многогранников.

Развивающие:

Формирование пространственных представлений учащихся.
Формирование умения обобщать, систематизировать, видеть закономерности.
Развитие монологической речи учащихся.

Воспитательные:

Воспитание эстетического чувства.
Воспитание умения слушать.
Формирование интереса к предмету.

Оборудование: Мультимедийный проектор, на каждой парте пять правильных многогранников, раздаточный материал (карточки с таблицей), демонстрационные модели многогранников (склеенные тетраэдры, параллелепипед).

Ход урока

Тема нашего урока “Правильные выпуклые многогранники” и эпиграфом урока являются слова английского писателя Льюиса Керролла, автора всем вам известной книги “ Алиса в стране чудес” (в течении урока используется презентация).

(Слайд № 1) зачитывается эпиграф.

Дайте определение многогранника
Какой многогранник называется выпуклым?

(Слайд № 2). Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми?

Нами уже использовались словосочетания “правильные призмы” и “правильные пирамиды”. Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? Послушайте внимательно определение.

(Слайд № 3). Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Убедимся что обе части определения необходимы. Уберём вторую часть определения. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон

Посмотрите на многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью). Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет!). Посмотрим на его грани - правильные треугольники. Посчитаем число рёбер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых – четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник, действительно, не является правильным.

Попробуем убрать первую часть определения. Выпуклый многогранник называется правильным, если в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Посмотрите на этот многогранник (демонстрируется модель параллелепипеда). Подсчитаем число ребер выходящих из каждой вершины – три ребра, грани не являются правильными многоугольниками. Первая часть определения не выполняется и этот многогранник не является правильным.

Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его частях. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Какова сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника? (меньше 360 0 ).

Давайте, посмотрим, какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного многогранника и сколько правильных многогранников существует.

Исследуем этот вопрос. Результат оформим в виде таблицы (учитель на доске дети в тетрадях)

Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

(Слайды № 4 - 8). Запишите в тетрадях названия этих правильных выпуклых многогранников.

Исследовательская работа “Формула Эйлера”

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу (раздаточный материал)

Работа на карточках (тетраэдр и куб все вместе, а остальные многогранники по рядам)

Проверим результаты заполнения таблицы (слайд № 9).

Правильный многогранник	Число граней	Число вершин	Число ребер	Г+В
Тетраэдр	4	4	6
Куб	6	8	12
Октаэдр	8	6	12
Додекаэдр	12	20	30
Икосаэдр	20	12	30

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: “эдра” - грань; “тетра” - 4 ; “гекса” - 6; “окта” - 8; “икоса” - 20; “додека” - 12

Анализируя таблицу, возникает вопрос: “Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?” По-видимому, нет.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Заполните четвертый столбец Г+В (число граней плюс число вершин).

(Слайд № 10). Вот теперь закономерности может не заметить только “слепой”. Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 ”, т.е. Г + В = Р + 2. Запишите в тетрадь.

Итак, мы вместе сделали открытие, мы “открыли” формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Запомните эту формулу.

Хотя действительно “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх “стихий” - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих “стихий” имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

(Слайд № 12). Задача 1. Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

Сальвадор Дали на картине “Тайная вечеря” изобразил И.Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471-1528) в известной гравюре “Меланхолия”, на переднем плане также изобразил додекаэдр.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

План-конспект урока

Класс: 10

Учитель: Шабанов Иса Магомедович

Тип урока : Усвоение новых знаний.

2. Ввести понятие правильного многогранника, рассмотреть все пять видов правильных многогранников.

3. Способствовать развитию пространственного воображения и графической грамотности.

4. Способствовать воспитанию эстетического вкуса и интереса к предмету.

Межпредметные связи : информатика, химия, биология, история.

Раздаточный материал: индивидуальные карточки-задания, листы с тестами, з аготовки для выполнения моделей правильного многогранника

Применяемые формы и методы: работа в парах, самоконтроль, фронтальный опрос, демонстрация, творческая работа, тест.

Оборудование:

1. Учебник. Геометрия, 10-11 классы.

2. К омпьютеры, мультимедийный проектор, модели многогранников.

5. Заготовки для выполнения моделей правильного многогранника.

Правильных многогранников вызывающе мало,

но этот весьма скромный по численности отряд сумел

пробиться в самые глубины различных наук.

Проверка домашнего задания. Проверить решение домашних задач из ЕГЭ, задание В9. Дать задание двум учащимся подготовить на доске краткое решение задач, ход решения заслушать.

1. Найдите площадь полной поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 и 4, и боковым ребром, равным 5.

2. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 6, боковые рёбра равны 5. Найдите площадь поверхности пирамиды. (Слайд №2)

3. Актуализация знаний учащихся .

Начнём наш урок с традиционного повторения. Первое задание

Фронтальный опрос : ответить на вопросы по рисункам, спроектированным на экран.

Слайд № 3 .

Дать характеристику многогранника.

Дайте все возможные названия этого многогранника.

Слайд № 4. .

Дать характеристику многогранника.

Назовите грани, вершины и рёбра данного многогранника.

Слайд № 5 .

Дать характеристику многогранника.

Можно ли в качестве высоты этой призмы принять боковое ребро?

Будет ли эта призма правильной, если в основании лежит равносторонний треугольник?

Слайд № 6 .

Д айте характеристику многогранника.

При каких условиях эта пирамида будет правильной?

Как в этом случае можно назвать высоту боковой грани?

Заполните пропуски

----------- - площадь полной поверхности пирамиды

Слайд № 8.

S = P о H – площадь боковой поверхности призмы

S = S б + So – площадь полной поверхности пирамиды

S = ½ P о H – площадь боковой поверхности правильной пирамиды

S = S б + 2 S о – площадь полной поверхности призмы

S =1/2( P о + Ро) h – площадь боковой поверхности правильной

усечённой пирамиды (Слайд № 9 критерии оценки)

Изучение нового материала.

1). Вступительное слово учителя .

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книг о многогранниках.

Существует всего пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.(Слайд № 11).

Исторические сведения. (Слайд № 12, 13, 14).

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Изучением правильных многогранников занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях.

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами. Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с "неземным" элементом - небом (додекаэдр). Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер.

3). Ввод понятия правильного многогранника. (Слайд № 15,16,17).

Многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число граней

правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны.

Вывод. Многогранник называется правильным , если:

он выпуклый

все его грани являются равными правильными многоугольниками

в каждой его вершине сходится одинаковое число граней

все его двугранные углы равны

ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников. (Слайд № 24-25).

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще
n -угольники при n ≥ 6.(Слайд № 28).

5). Математические свойства правильных многогранников .

Характеристика Эйлера :

Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2.

Г + В - Р = 2

Цель урока: Ввести понятие правильного многогранника. Сформировать у учащихся представление объемных фигур в пространстве.

Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цель урока.

Проверка домашнего задания

Проанализировать ошибки домашнего задания.

Актуализация знаний

Ответить на вопросы:

Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?

Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания может иметь куб, призма, пирамида?

В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте? (затрудняются ответить на данный вопрос, который перетекает в тему урока)

Изучение нового материала

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Вопросы к классу:

Какие вы знаете правильные многогранники?

Какие два условия определяют правильный многогранник?

Сколько может быть видов правильных многогранников?

На последний вопрос учитель отвечает вместе с учениками.

Пусть при одной вершине сходится n ребер, тогда плоских углов при этой вершине будет тоже n, причем они все равны между собой. Пусть один из этих плоских углов равен х, тогда сумма плоских углов при вершине nx, и по свойству плоских углов многогранного угла получим nx

Угол правильногоn-угольника равен

α =

I. Таблица значений

II. Таблица значений

Начиная с n = 7 плоский угол станет меньше 60°, а такого правильного многоугольника не существует, поэтому остальные случаи рассматривать не будем.

I. Грани правильного многогранника – правильные треугольники, тогда α = 60° (таблица II).

В этом случае правильный многогранник имеет 4 грани и называется правильным тетраэдром.

В этом случае правильный многогранник имеет 8 граней и называется правильным октаэдром.

В этом случае правильный многогранник имеет 20 граней и называется правильным икосаэдром.

4) 60° ∙ 6 = 360°, это противоречит теореме о сумме плоских углов многогранного угла. Следовательно, больше правильных многогранников, грани которых – правильные треугольники, не существует.

II. Грани правильного многогранника – правильные четырехугольники(квадраты),тогда α = 90° (таблица II).

В этом случае правильный многогранник имеет 6 граней и называется правильным гексаэдром(кубом).

2) 90° ∙ 4 = 360°, следовательно, больше правильных многогранников, грани которых – квадраты, не существует.

III. Грани правильного многогранника – правильные пятиугольники; α = 108°.

В этом случае правильный многогранник имеет 12 граней, и называется правильным додекаэдром.

2) 108° ∙ 4 360°, следовательно, больше правильных многогранников, грани которых – правильные пятиугольники, не существует.

IV. Начиная с правильного шестиугольника α ≥ 120° (таблица II).

Следовательно, nα 360° (n ≥ 3), поэтому правильных многогранников, грани которых – многоугольники с числом сторон больше 5, не существует.

Во время беседы демонстрировать модели правильных многогранников, показывать рисунки из параграфа 3 учебника.

Закрепление изученной темы: №№ 279, 280 (а), 281, 282, 287.

№279 (решается самостоятельно с последующей проверкой у доски)

A₁C₁ и A₁В — диагонали граней куба, имеющие общий конец.

ВA₁C₁ =?

Пусть a — ребро куба. Так как все грани куба равные квадраты, то диагонали граней равны A₁C₁ = A₁В = ВC₁= = =a

A₁B₁C₁ — равносторонний, значит, ВA₁C₁ =

Ответ:

№ 280 (а) ;

№ 281 (для решения ученик вызывается к доске)

= ?

Все грани куба – равные квадраты. Диагонали граней куба, являющиеся ребрами тетраэдра, равны. D₁AB₁C – правильный.

Пусть а – сторона куба. Значит, из :

= =a – ребро тетраэдра.

№ 287 (для решения ученики вызываются к доске)

ABCDEF — правильный октаэдр.

б) KL – расстояние между центрами

двух смежных граней;

в) HM – расстояние

между противоположными гранями.

а) Расстояние между противоположными вершинами для всех вершин одинаково. – прямоугольный.

BD = = a

б) Расстояние между центрами двух смежных граней одинаково для всех смежных граней.

1) В грани DEA проведем высоту EP, в грани проведем высоту EQ. Точки K, L – центры граней. KL – расстояние между центрами граней.

2) В плоскости POE проводим KN PO; в плоскости EQO проводим LM QO. Тогда MN – проекция искомого отрезка KL на основание, KLMN – прямоугольник.

3) В по теореме косинусов

PK – радиус окружности, вписанной в правильный

– прямоугольный и равнобедренный.

NM= . Тогда KL = NM = .

в) 1) Проведем через середину квадрата ABCD . , .

грани AED и FBC параллельны.

2) Плоскость (PEH) плоскости (FBC). В плоскости (PEH) проведен отрезок MN PE.

3) (PEH) AD HM AD, HM PE, значит, MH (AЕD) и MH (FBC). Значит, HM – искомое расстояние.

Начнём наш урок с традиционного повторения. Первое задание

Фронтальный опрос: ответить на вопросы по рисункам, спроектированным на экран.

Слайд № 2.

Дать характеристику многогранника.

Дайте все возможные названия этого многогранника.

Назовите грани, вершины и рёбра данного многогранника.

Слайд № 3.

Заполните пропуски

… - площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

S = Sбок + 2 Sосн –

… - площадь полной поверхности куба

Слайд № 4.

S = Pосн H – площадь боковой поверхности призмы

S = Pо H – площадь боковой поверхности призмы

S = 2c(a+b) - площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

S = 6a 2 - площадь полной поверхности куба

(Слайд № 5 критерии оценки)

Изучение нового материала.

1). Вступительное слово учителя

Введение нового понятия

Cлайд 7 Определение правильного многогранника

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Слайд 8 Какие из многогранников являются правильными и почему?

Слайд 9 Существует всего пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр

Давайте разберем каждый и поймем что в них особенного

У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра.

Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.

Слайд 11 гексаэдр

У правильного гексаэдра (куба) все грани -квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.

У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой вершине сходится по четыре ребра.

У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.

У икосаэдра грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится по пять рёбер.

Исторические сведения. (Слайд № 15).

Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.

Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду.

Куб – самая устойчивая из фигур – землю.

Октаэдр – воздух.

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.

Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще
n-угольники при n≥ 6.

4). Математические свойства правильных многогранников.

Характеристика Эйлера :

Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2.

Г + В - Р = 2

Читайте также: