Перестановки 11 класс конспект урока алимов

Обновлено: 16.05.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспект урока

по математике в 11 классе

Учитель математики:

Балабко Владимир Фиафилович

Образовательные:

- рассмотреть один из видов комбинаций – перестановки, вывести формулу для нахождения числа перестановок, научиться решать задачи с перестановками;

Развивающие:

- развивать элементы комбинаторного мышления, логическое мышление;

- развивать способности учащихся реализовывать полученные знания при выполнении заданий различного уровня сложности;

- развивать математическую интуицию, самостоятельность, инициативу, математическую речь.

Воспитательные:

- формировать у учащихся таких черт личности как чувство взаимоответственности, чувство коллективизма, наблюдательность, усидчивость, чувства самоанализа, самооценки.

Организационный момент.(1 мин)

Проверка домашнего задания.(2 мин)

Проверка знаний. Тест. (11 мин)

Изучение нового материала.(10 мин)

Работа в паре.( 10 мин)

Домашнее задание.(2 мин)

Итоги урока.(1 мин

Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята! Садитесь.

Проверяется готовность учащихся к уроку.

- Ребята, на предыдущих уроках мы рассмотрели некоторые комбинаторные задачи, и выяснили, что есть три основных вида комбинаций – перестановки, размещения и сочетания. Сегодня мы с вами более подробно рассмотрим первый вид комбинаций – перестановки, выведем формулу для нахождения числа перестановок, будем учиться решать задачи с перестановками.

Проверка домашнего задания.

- Вам на дом были заданы № 13,

По правилу умножения: 10·9 = 90 – визитных карточек.

Проверка знаний.

Тестовая работа.

Как называется раздел математики, который занимается решением задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы по определённому правилу, подсчитать их количество?

1) тригонометрия 2) статистика 3) комбинаторика 4) кибернетика.

1) правило сложения 2) правило умножения 3) правило вычитания.

Как в математике называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно?

Выбрать верную форму записи 6! :

1)5·6! 2) 4!·5·6 3) 3!·2! 4) 1·2·3

Вычислить : 1) 4 2) 40 3) 4).

1) 1 2) n+1 3) ( n +1)! 4) .

Сколько различных 2 х –значных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 4, 5, 6?

1) 8 2) 6 3) 12 4) 27.

Сколько различных 3 х -значных чисел можно записать с помощью цифр 0,7,8, если цифры могут повторяться?

1) 9 2) 8 3) 27 4) 18.

9. У Ани имеется 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Ани?

1) 5 2) 15 3) 3 4) 10.

10. В компьютере каждый символ (буква, цифра, спец.знак) кодируется последовательностью из 8 нулей и единиц (0 и 1). Сколько различных символов можно закодировать таким образом?

1) 124 2)16 3) 256 4) 64.

Изучение нового материала.

Рассмотрим следующие задачи:

- Даны 3 буквы: А,В,С. Составить все возможные комбинации из этих букв. (АВС, АСВ, ВСА, ВАС, САВ, СВА - 6 комбинаций, или по правилу умножения 3·2·1=6).

- Сколькими способами можно расставить на полке рядом 5 разных книг? (По правилу умножения 5·4·3·2·1=120.) Такие комбинации, состоящие из одного и того же количества элементов, отличающиеся только их расположением, называют перестановками. Сформулируем определение.

Перестановками из n разных элементов называются соединения, которые состоят из n элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Как же находить число перестановок?

Вернёмся к предыдущим задачам.

Если в перестановках участвует n элементов?

P _n = n ·( n -1)( n -2)( n -3)…3·2·1= n !, значит

Число перестановок из n -элементов вычисляется по формуле: Р n = n !

( На экране демонстрируются основные определения, формулы и выводы).

Закрепление.

Выполнение заданий. (Высвечиваются на экран).

Теперь рассмотрим следующие задачи и приёмы, используемые при решении комбинаторных задач:

Рассмотрим № 21. Какие приёмы можно использовать при решении

Учащимся раздаются памятки:

Нужно уменьшить количество исходных элементов на количество фиксированных элементов.

Найти количество перестановок нефиксированных элементов.

Например: Сколько различных 4 х -значных чисел, начинающихся с двух нечётных цифр, можно составить из цифр 1,2,3,4,6,8 (цифры в числе не повторяются)?

Исходное множество содержит 6 цифр, из которых только 2 нечётных. Эти две цифры должны стоять в двух старших разрядах составляемого числа. На два остающихся места могут быть выбраны любые 2 из остающихся 4 цифр; количество способов равно 4·3=12. Две первые нечётные цифры могут быть переставлены 2 способами (13 и 31), поэтому общее количество 4 х -значных чисел равно 2·12=24. Ответ: 24 числа.

Найти количество перестановок оставшихся элементов на оставшихся местах

Например: Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, среди которых 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?

Работа в парах.

Цель : закрепить изученный материал, применить полученные знания к решению практических задач.

I. Опрос:

1. Делится ли 11! на 64?

Да, так как 11! = 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, 64=2 6 =2 . 4 . 8.

2. Делится ли 11! На 25?

3. 15! Сколько нулей?

I I . Решение упражнений. Фронтальная работа:

1. Вычислите ( решение =

2. Сократите дробь: а) ( решение )

4. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Рассмотрим учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать Р₆ способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р₄ перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р₆ . Р₄. Получаем 17280.

III . Самостоятельная работа.

Решение : Р₈= 8! = 40320

2. Вычислите: Решение

3. Решите уравнение: ( m +17)! = 420 (m + 15)!

Решение: ( m + 17)( m + 16)( m + 15)!= 420 ( m + 15)!

Так как при m – натуральном ( m + 15)! Не равно нулю, то получаем ( m + 17)( m + 16)= 420. Легко подобрать корень уравнения m =4. Ответ:4.

4. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения. Выясните, сколько среди этих пятизначных чисел таких, которые: а) начинаются цифрой 3; б) начинаются с 54?

Решение: а) Р₄= 4! = 24 числа; б) Р₃= 3!= 6 чисел.

5. У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она выдает дочери по одному фрукту. Сколькими способами она сможет это сделать?

Решение: = 1260 способов.

IV . Задание на дом:

1. Что больше: 6! . 5 или 5! . 6 ?

Ответ: 6! . 5 > 5! . 6

2. Решите уравнение: n! = 7 (n – 1)!

Ответ: n=7.

3. Выполните действия:

4. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 120?

Перестановки; факториал; формула количества перестановок; решение задач.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2010.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение: перестановками из n элементов называются соединения, которые состоят из n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.

Обозначение:

n! – произведение первых n натуральных чисел.

– число перестановок из n различных элементов.

Задача 1: Сколькими способами можно положить 10 различных открыток в 10 имеющихся конвертов (по одной открытке в конверте)?

По формуле находим

способов разложить 10 различных открыток по конвертам.

Если некоторые переставляемые элементы будут одинаковыми, то всевозможных различных перестановок будет меньше – некоторые перестановки совпадут. Например:

Определение: Перестановки, образованные из элементов первого вида, элементов второго вида и так далее до элементов m-го вида

Первый урок в теме "Элементы комбинаторики и теории вероятностей", знакомит учащихся с основными правилами комбинаторики, которые потом позволяют решать более сложные задачи не только комбинаторики.

11 класс Урок№ Дата_________________

Комбинаторика. Правило суммы и произведения.

Основные дидактические цели:

Обучающая: воспроизводить общие правила комбинаторики ; уметь применять теоретические знания для решения задач.

Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, основанную на операциях анализа, сравнения, обобщения, систематизации.

Воспитательная: формировать мировоззренческие взгляды учащихся, воспитывать чувство ответственности за полученный результат, чувство успеха.

Планируемые результаты:

личностные: умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;

метапредметные :

познавательные УУД: умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата развивать основы логического и алгоритмического мышления; расширять кругозор учащихся; учить произвольно и осознанно владеть приемами решения задач.

регулятивные УУД: определять способы действий в рамках предложенных условий и требований, формировать способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию в преодолении препятствий, к осознанию уровня и качества усвоения результата.

коммуникативные УУД: учить строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения.

личностные УУД: формировать устойчивую мотивацию к изучению и закреплению учебного материала; формировать навыки самоанализа и самоконтроля, взаимоконтроля корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией;

предметные : знать: общие правила комбинаторики ; уметь применять теоретические знания для решения задач, иметь представление об основных понятиях, идеях и методах алгебры и математического анализа; владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
Методы обучения: частично-поисковый, проблемный

Формы организации работы: фронтальная, индивидуальная

Оборудование: карандаш, линейка, тетрадь, дидактический материал (карточки-задания).

Ведущий метод обучения: словесно-информационный (рассказ), словесно-репродуктивный(опрос), практически-репродуктивный( выполнение заданий), наглядно-иллюстративный (карточки, учебник, раздаточный материал)

I этап: Организационно – мотивационный

Историческая справка

Из глубокой древности до современного человечества дошли сведения о том, что уже тогда люди занимались выбором объектов и расположения их в том или ином порядке и увлекались составлением различных комбинаций. Так, например, в Древнем Китае увлекались составлением квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же (магические квадраты или современная игра – задача “Судоку”). Такие задачи вы могли встречать в журналах и газетах. В Древней Греции подобные задачи возникали в связи c такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты и т. д.

Комбинаторика ставится самостоятельным разделом математики, по сути – самостоятельной наукой лишь во второй половине XVII века, - в период, когда возникла теория вероятностей.

Таким образом, - комбинаторика – это самостоятельный раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или условиям, можно составить из заданных объектов.

Термин “КОМБИНАТОРИКА” происходит от латинского слова “combina”, что в переводе на русский означает – “сочетать”, “соединять”.

Как трактует это слово Большой Энциклопедический Словарь?

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются простейшие “соединения”: перестановки, размещения, сочетания. Этот раздел иначе называют “комбинаторный анализ”.

Итак, комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

II этап: Актуализация знаний

Цель: Организовать познавательную деятельность учащихся, подготовить их к усвоению нового материала.

III этап: Новый материал

Цель: Рассмотреть общие правила комбинаторики и типы соединений, способы решения задач.

При решении многих практических задач часто приходится имеющиеся предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации). Например - парфюмерные наборы, конфеты, инструменты, спортивные команды. Задачи которые рассматривают такие соединения и находится число различных соединений, называют комбинаторными.

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Общие правила комбинаторики

Правило суммы

Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а объект В - k способами (не такими, как А), то объект либо А, либо В можно выбрать m + k способами.

Пример: В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать? Конечно, n способами.

Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать? Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из второго k: различными способами, всего n = m + k способами.

Правило произведения

Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект Вможно выбрать (независимо от выбора А) k способами, то пары объектов А и В можно выбрать m·k способами.

Задача: В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет 182 + 30 = 212.

Задача: Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?

Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, что m = 9, а k= 10. Всего получим двузначных чисел n = m ·k = 9·10 =90.

Следствие

Правило произведения справедливо и для любого конечного числа объектов.

Если некоторый объект А_i (i = 1, 2, … , n) можно выбрать К_i (i = 1, 2, … , n) способами (причем, каждый следующий объект выбирается независимо от выбора предыдущего объекта), то объекты А₁, А₂, … , А_n можно выбрать k = k₁ · k₂ ·…· k_n способами.

Например, сколькими способами можно составить трехзначное число, делящееся на 5? Число имеет три позиции, каждую из которых мы назовем событием:

событие А₁ –число сотен, их можно выбрать k₁ =9 (все цифры, кроме 0) способами;

событие А₂ – число десятков, их можно выбрать k₂ = 10 (все цифры, включая 0) способами;

событие А₃ – число единиц, которым удовлетворяет только две цифры: 0 и 5, следовательно, k₃ = 2. Таким образом, всего получаем n = k₁ · k₂ · k₃ = 9 · 10 · 2 = 180 чисел.

IV этап: Закрепление и проверка усвоения материала

Цель: Закрепить в памяти учащихся те знания и умения, которые необходимы им для самостоятельной работы по новому материалу. Добиться в ходе закрепления повышения уровня осмысления материала, глубины его понимания.

Читайте также: