Параллелепипед 10 класс конспект

Обновлено: 05.07.2024

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются его гранями , их стороны — ребрами , а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда . У параллелепипеда все грани — параллелограммы.

Параллелепипеды могут быть прямые и наклонные .

Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями , а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда . Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами .

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными , а не имеющие общих ребер — противоположными .

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда .

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом . У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.

Длины не параллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями) . У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера.

Свойства параллелепипеда:

Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. d2=a2+b2+c2 .

Давайте для краткости назовем эту формулу " трёхмерной теоремой Пифагора ".

Площадь прямоугольного параллелепипеда

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда S = 2(a · b+ a · h+ b · h)

где S- площадь прямоугольного параллелепипеда,

Формула объема прямоугольного параллелепипеда V = a · b · h

Площадь куба

Площадь поверхности куба

Формула площади куба S = 6 a 2

где S- площадь куба,

a- длина грани куба.

Формула объема куба V = a 3

Алгоритм решения задач:
1. Чертим прямоугольный параллелепипед. Не обязательно в масштабе, можно от руки.
2. Подписываем вершины. Отмечаем на чертеже упомянутые в условии точки. Соединяем линиями, где это необходимо.
3. Ставим известные (заданные) значения прямо на чертеже.
4. Если получился треугольник внутри тела, то выясняем есть ли в нем прямой угол и какой именно. Для этого пользуемся теоремами о перпендикуляре к плоскости или о трех перпендикулярах.
5. Чертим этот треугольник на плоскости. На нем также отмечаем заданные и искомые величины, если нужно, перенося числа с параллельных ребер.
6. Проводим необходимые вычисления по известным формулам. Как правило, это будут теорема Пифагора и определения синуса и косинуса острых углов прямоугольного треугольника.

Решение ключевых задач .

Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 =3.

Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник является гипотенузой. По теореме Пифагора

В прямоугольнике . Значит,

Найдите угол . Дайте ответ в градусах.

В прямоугольнике отрезок

Прямоугольный треугольник равнобедренный:

Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого =3, Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник Рассмотрим прямоугольный треугольник Так как то треугольник .

Найдите квадрат расстояния между вершинами прямоугольного параллелепипеда, для которого Решение.
В квадрате — диагональ. Значит,

Найдите расстояние между вершинами прямоугольного параллелепипеда, для которого Решение.
Значит, .

Найдите угол , , Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник является равнобедренным, значит, углы при его основании равны .

Материал для урока- практикума

Устная работа

Найдите расстояние между вершинами А и D прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA = 3.

Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого =4,

Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Тренировочный материал к уроку

Найдите квадрат расстояния между вершинами , , Найдите расстояние между вершинами , В прямоугольном параллелепипеде , Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого , Найдите угол , Найдите угол , Найдите квадрат расстояния между вершинами , .

Найдите расстояние между вершинами прямоугольного параллелепипеда, для которого , .

Найдите угол , . Ответ дайте в градусах.2

Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого , Найдите угол , Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Сечением поверхности геометрических тел называется – плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Учебник Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В дельнейшем несколько уроков нашего курса будет посвящены многогранникам- поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников. Но до более подробного изучения многогранников мы познакомимся с двумя из них- тетраэдром и параллелепипедом. Нам данные тела дадут возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей.

Давайте вспомним, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму.

Мы будем использовать второе толкование многоугольника при рассмотрении поверхностей и тел в пространстве. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру и ответим на несколько вопросов.

Итак, поверхность данной фигуры состоит из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.

из вершин- их у него 4- А, B, C, D;
из ребер- их у него 6- AB, BC, AC, AD, BD, CD;
из граней- их у него 4- треугольники ∆АВС, ∆DАС, ∆DВС, ∆DАВ.

Мы с вами выяснили из элементов состоит наша фигура тетраэдр. Теперь сформулируем определение.

Определение. Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Говорят, что рёбра АD и ВС, АВ и CD, и т.д.- противоположные.

Считается АВС - основание, остальные грани - боковые.

Изображается тетраэдр обычно так (рис. 1).

Рисунок 1 – изображение тетраэдра.

Математика, в частности геометрия, является мощнейшим инструментом в познании мира. Различные геометрические формы находят свое практическое приспособление в различных областях знания: архитектуре, скульптуре, живописи. И тетраэдр тому доказательство. Так же мы можем наблюдать тетраэдр в повседневной жизни (рис. 2).

Форма пакета молока

Рисунок 2 - тетраэдр в повседневной жизни

Параллелепипед.

Прежде чем начать изучать параллелепипед вспомним определение параллелограмма и его свойства.

Определение. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 3).

Рисунок 3 – параллелограмм

1. Противоположные стороны параллелограмма равны:

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

треугольники ABC и CDA равны.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180⁰: ∟A+∟D=180°

6. Накрест лежащие углы при диагонали равны:

А теперь перейдем к параллелепипеду.

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA_1, BB_1, CC₁ и DD₁ параллельны.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру (рис. 4).

Рисунок 4 – параллелепипед и его диагонали

АВСDA₁B₁C₁D₁: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A₁B₁C₁D₁, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.

Все параллелограммы - грани, их стороны - рёбра, их вершины - вершины параллелепипеда.

Считается: АВСD и A₁B₁C₁D₁ - основания, остальные грани - боковые.

Определение. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда:
A₁C, D₁B, AC₁, DB₁.

Параллелепипед – слово греческого происхождения, параллел – идущий рядом, епипед – плоскость.

Определение.Параллелепипед- этошестигранник с параллельными и равными противоположными гранями.

Следует отметить, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед – поверхности, составленные из плоских поверхностей (соответственно треугольников и параллелограммов).

Способы изображения параллелепипеда

Параллелепипед, в основании которого лежит ромб

Параллелепипед, в основании которого лежит квадрат

Параллелепипед,в основании которого лежит прямоугольник или параллелограмм

Параллелепипед, у которого все грани — равные квадраты

Можно сделать вывод, что параллелепипеды делятся на (рис. 5)

Рисунок 5 – виды параллелепипедов

Свойства параллелепипеда

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Доказательство 1

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁грани ВВ₁С₁С и AA₁D₁D параллельны (рис. 6), потому что две пересекающиеся прямые ВВ₁ и В₁С₁ одной грани параллельны двум пересекающимся прямым АА₁ и A₁D₁ другой; эти грани и равны, так как В₁С₁ = A₁D₁, В₁В= А₁А (как противоположные стороны параллелограммов) и ∟ ВВ₁С₁= ∟АA₁D₁.

Рисунок 6 – чертеж к доказательству свойства 1

Доказательство 2

Возьмём какие-нибудь две диагонали, например АС₁ и ВD₁, и проведём вспомогательные прямые АD₁ и ВС₁ (рис. 7).

Так как рёбра АВ и D₁С₁ соответственно равны и параллельны ребру DС, то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура АD₁С₁В есть параллелограмм, в котором прямые С₁А и ВD₁ —диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.

Возьмём теперь одну из этих диагоналей, например АС₁, с третьей диагональю, положим, с В₁D. Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам. Следовательно, диагонали B₁D и АС₁ и диагонали АС₁ и BD₁(которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали
АС₁. Наконец, взяв эту же диагональ АС₁ с четвёртой диагональю А₁С, мы также докажем, что они делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали АС₁. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.

Рисунок 7 – чертеж к доказательству свойства 2

Задачи на построение сечений.

Определение. Сечением поверхности геометрических тел называется - плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:

Многогранник и плоскость не имеют общих точек.
Многогранник и плоскость имеют одну общую точку-вершину многогранника.
Многогранник и плоскость имеют общую грань.
Многогранник и плоскость имеют общий отрезок-ребро многогранника.

Виды сечений:

сечение параллельное плоскости основания,
диагональное сечение,
сечение, параллельное плоскости грани,
произвольное сечение.

Фигуры, которые получаются в результате сечения:

1. треугольник;
2. четырехугольник;
3. пятиугольник;
4. шестиугольник.

Один из методов построения сечений, который мы рассмотрим- метод следа.

Рассмотрим метод следов, применяемый при построении сечений многогранников, а именно при построении сечения куба плоскостью.

Что такое метод следов? При построении сечений многогранников в качестве вспомогательной прямой часто используется след секущей плоскости (в плоскости грани, удобной для рассмотрения). Такой метод построения сечений называется методом следа.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (рис. 8).

Рисунок 8 –чертеж к задаче №1

Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда. Рассмотрим грань АА₁В₁В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S₁, принадлежащую следу.
Аналогично получаем точку S₂ пересечением прямых QR и BC.
Прямая S₁S₂ - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда.
Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D. Аналогично получаем TU и RT.
PQRTU – искомое сечение.

Основные правила построения сечений методом следа:

Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью ( точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.

То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС. Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Рисунок 9 – чертеж к задаче №2

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN (рис. 10). Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К. Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС (рис. 11). В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.

Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р₁ и Р₂. Соединяем Р₁ и М и на продолжении получаем точку М₁. Соединяем точку Р₂ и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.

Рисунок 10 – чертеж к примеру 1 (первый случай)

Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС (рис. 12). Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р₁Р₂, тогда прямая Р₁Р₂ параллельна данной прямой MN.

Рисунок 11 – чертеж к примеру 1 (второй случай)

Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Доказательство

Плоскость SBC и плоскость, проходящая через прямую MN параллельно ребру SB, пересекаются по прямой, проходящей через точку N (рис. 13).
По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.
В плоскость SBC через т. N проходит NQ||SB.
Плоскость SAB и плоскость MNQ пересекаются по прямой, проходящей через т. M (прямая MP). По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.

следовательно, PM||NQ.Утверждение доказано.

Цели урока: ввести понятие параллелепипеда; рассмотреть его свойства 1° и 2°; решить задачи на применение свойств параллелепипеда.

I. Организационный момент. Сообщить тему урока, сформулировать цели урока. II. Актуализация знаний. 1) Двое учеников на доске записывают решение домашнего задания: № 67 - первый, № 70 - второй.

Дано: DABC - тетраэдр, ∠ADB = 54°, ∠BDC = 72°, ∠CDA = 90°, DA = 20 см, ВD = 18 см, DC = 21 см (рис. 1).

Найдите: а) АВ; ВС; б) SADB, SABC, SADC.

а) 1. Из ΔADB (∠ADB = 54°) по теореме косинусов; АВ2 = AD2 + DB2 - 2 · AD · BD · cos 54° ≈ 298; АВ ≈ 17 см.

2. Из ΔBCD (∠BCD = 72°); ВC2 = BD2 + CD2 - 2 · BD · CD · cos 72° ≈ 529; ВС ≈ 23 см.

3. Из ΔCDA (∠ADC = 90°) по теореме Пифагора; АС2 = AD2 + DC2 = 202 + 212 = 841; AС = 29 см; SΔ = 1/2а · b · sin α.

б) (Ответ: a) ≈ 17 см, ≈ 23 см, 29 см; б) ≈ 146 см2, ≈ 180 см2, 210 см2.)

Дано: ABCD - тетраэдр, AM = MB, AN = ND, AK = KC (рис. 2).

Доказать: (MNK) || (BCD).

1. MK || ВС (по свойству средней линии Δ).

2. MN || BD (по свойству средней линии Δ).

(по признаку параллельности двух плоскостей).

2) Ученик решает задачу № 71 (а), объясняя вслух.

Дано: DABC - тетраэдр, М ∈ DB, N ∈ DC (рис. 3).

Построить: точку Е.

Условие: MN ∩ (ABC) = Е.

3. Продолжим ВС и MN, ВС ∩ MN = E1; Е - искомая точка.

3) Остальные устно решают задачи по готовым чертежам.

1. Укажите все грани, ребра, вершины, противоположные ребра, скрещивающиеся ребра тетраэдра (рис. 4).

4. Что называется параллелограммом? Свойства параллелограмма? Признаки параллелограмма?

Дано: ∠1 = ∠2 = ∠3 (рис. 5).

Доказать, что четырехугольник ABCD - параллелограмм.

Проверяется домашнее задание. III. Изучение нового материала. 1) Понятие параллелепипеда.

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА1, ВВ1, CC1 и DD1 параллельны. Четырехугольники АВВ1А1, ВСС1В1, CDD1C1, DAA1D1 также являются параллелограммами, так как каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны (например, в ABB1A1 стороны АА1 и ВВ1 параллельны по условию, а АВ и А1В1 - по свойству линий пересечения двух параллельных плоскостей третьей).

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1, лежащих в параллельных плоскостях и четырех параллелограммов, называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA1B1C1D1 (рис. 6).

2) Элементы параллелепипеда.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны -ребрами, а вершины - вершинами параллелепипеда.

Сколько граней имеет параллелепипед? ребер? вершин?

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер - противоположными.

Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Сколько диагоналей имеет параллелепипед?

Выделяют две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани - боковыми.

Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми ребрами.

Изображение (рис. 7).

3) Свойства параллелепипеда.

1° Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Дано: ABCDA1B1C1D1- параллелепипед (рис. 8).

Доказать: a)ABB1A1 || DCC1D1; б) АВВ1А1 = DCC1D1.

а) Так как ABCD и ADD1А1 - параллелограммы, то АВ || DC, АА1 || DD1. Тогда АВ ∩ AA1 одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым DC ∩ DD1 другой плоскости. Значит, АВВ1А1 || DCC1D1 (по признаку параллельности плоскости).

б) Так как все грани параллелепипеда - параллелограммы, то АВ = DC, АА1 = DD1. По той же причине стороны (А1АВВ1) и (D1DCC1) соответственно сонаправлены, значит, ∠А1АВ = ∠D1DC. Таким образом АВВ1А1 = DCC1D1.

2° Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед (рис. 9).

Доказать: AC1 ∩ BD1 = О, АО = ОС1, OD1 = BO.

Рассмотрим AD1C1B, значит, AB = D1C1 ⇒ AD1C1B - параллелограмм, а диагонали

Аналогично рассматриваются следующие случаи для A1D1CB и A1B1CD. Вывод (устно).

IV. Закрепление изученного материала.

1) (Устно) Укажите: а) вершины, не лежащие в плоскости ABC; б) грани, пересекающиеся в точке В; в) ребра, параллельные ребру CD; параллельные плоскости BCF.

2) (Устно) В параллелепипеде ABCDEFGH диагонали ВН и СЕ пересекаются в точке О, ВО = 3 см, СО = 5 см (рис. 10).

Найдите ВН и СЕ.

3) № 77. Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед; (рис. 11).

Найти: АВ, ВС, ВВ1.

Решение: х - коэффициент пропорциональности. Пусть АВ = 4х, ВС = 5х, ВВ1 = 6х. По условию Значит, АВ = 8 см, ВС = 10 см, ВВ1 = 12 см. (Ответ: 8 см, 10 см, 12 см.)

4) № 112. Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед (рис. 12).

Доказать:

1. Для параллелограмма ABCD: АС2 + BD2 = 2(АВ2 + ВС2).

2. Из параллелограмма АА1С1С: АС12 + А1С2 = 2(AA12 + АС2).

3. Из параллелограмма BDD1B1: BD12 + B1D2 = 2(BD2 + ВВ12).

V. Подведение итогов урока.

VI. Домашнее задание: п. 13, вопросы 14, 15, № 76, 78.

Дополнительная задача 103

Дано: DABC тетраэдр, М ∈ DA, N ∈ DB и P ∈ DC, (рис. 13).

Доказать: (MNP) || (ABC).

а) 1. Рассмотрим ΔADB и ΔMDN. ∠D - общий; (по условию), или ΔADB ~ ΔMDN (no углу и пропорциональным сторонам).

2. Из подобия Δ следует: ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. ⇒ MN || АВ.

3. ΔBDC ~ ΔNDP - аналогично, используя

4. MN || AB и NP || BC ⇒ (MNP) || (ABC) (по признаку параллельности двух плоскостей).

б) 1. ΔАВС ~ ΔMNP (по двум углам);

Цель: познакомить с новым многогранником – параллелепипедом, ввести понятие параллелепипеда, рассмотреть его элементы и свойства.

- обучающие: сформировать понятия параллелепипеда и его элементов, сформировать умение изображать параллелепипед и его элементы на плоскости, рассмотреть свойства граней и диагоналей параллелепипеда;

- развивающие: сформировать умения сравнивать, классифицировать, проводить анализ, выделять свойства в изучаемом объекте;

- воспитательные: воспитывать наблюдательность, любознательность, трудолюбие.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Формы работы учащихся: индивидуальная, коллективная, групповая.

Необходимое техническое оборудование: мультимедийный видеопроектор, компьютер, модели геометрических тел.

І. Организационный момент.

ІІ. Актуализация знаний.

ІІІ. Постановка целей урока.

ІV. Объяснение нового материала.

V. Исследовательская работа по группам.

VІ. Применение свойств параллелепипеда при решении задач.

VІІ. Итог урока. Домашнее задание.

Организационный момент

Приветствие учащихся, проверка готовности учащихся к уроку.

Актуализация знаний

Учитель: На прошлом уроке мы познакомились с одним из многогранников – тетраэдром. Вспомним, по какому плану мы работали.

Определение тетраэдра и его обозначение.

Изображение тетраэдра на плоскости.

Элементы (грани – боковые и основание, ребра, вершины).

Проверка у доски домашнего задания:

1) Один ученик записывает на доске решение домашней задачи № 63 а.

Дано: (рис. 1).

1. A₁B₁ || А₂В₂ (по свойству 1° параллельных плоскостей).

4. АА2 = 12 + 6 = 18 см.

5. (Ответ: АА₂ = 18 см, АВ₂ = 15 см.)

2) Двое решают по карточкам индивидуального опроса.

1 ученик. Отрезки АВ, АС и AD не лежат в одной плоскости. Точки К, М и N - соответственно их середины.

а) Докажите, что плоскости (BCD) и (KMN) параллельны.

б) Найдите площадь ΔВСD, если S_KMN = 36 м 2 . (Ответ: S_BCD = 144 м 2 .)

2 ученик. Три прямые, проходящие через точку М и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А₁, В и С, а вторую - в точках А₁, В₁ и С₁.

б) Найти если МС = CC₁. (Ответ: 1/2.)

3) Остальные обучающиеся отвечают на вопросы (устно).

1) Каково взаимное расположение двух плоскостей, если третья плоскость пересекает их по прямым: а) имеющим общую точку; б) не имеющим общих точек?

2) Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть ее боковыми сторонами?

3) Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если эти прямые пересекают две параллельные плоскости, и их отрезки, заключенные между плоскостями, не равны?

4) Две плоскости пересечены двумя параллельными прямыми. Выясните взаимное расположение этих плоскостей, если отрезки данных прямых, заключенные между этими плоскостями, не равны.

5) Прямая а пересекает параллельные плоскости α и β в точках А и В. Прямая b, параллельная прямой а, пересекает плоскости в точках D и С. Найдите периметр четырехугольника ABCD, если АВ = 3 см, ВС = 4 см.

6) Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.

Постановка целей урока

Сегодня мы рассмотрим еще один многогранник – параллелепипед.

Тема урока: Параллелепипед. (Слайд 1)

Исходя из темы, попробуйте сформулировать цели нашего урока.

Изучение нового материала

Рассмотрим данные предметы, эти предметы объединяет одинаковая форма
(Слайд 2,3)

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA_1, BB_1, CC₁ и DD₁параллельны. (Модель параллелепипеда). (Слайд 4)

Какими фигурами являются четырехугольники ABB₁ A₁, … и почему? По аналогии с тетраэдром назовем элементы параллелепипеда. Вводим названия элементов параллелепипеда. (Слайд 5,6,7)

1. Грани параллелепипеда – параллелограммы, из которых составлен параллелепипед. Их шесть: ABB₁ A₁ и т.д.

Вопрос обучающимся: попробуйте сформулировать определение параллелепипеда (выслушиваются ответы детей).

Учитель: Параллелепипед – слово греческого происхождения, параллел – идущий рядом, епипед – плоскость.

На доске и в тетрадях изображается параллелепипед, обозначается ABCDA₁B₁C₁D_1.. (Слайд 8,9,10,11)

Подчеркнуть, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед – поверхности, составленные из плоских поверхностей (соответственно треугольников и параллелограммов).

Учитель: Рассмотрим частные случаи параллелепипеда. (Слайд 12)

Демонстрируются виды параллелепипеда на моделях, строится схема классификации.

Учащиеся дают определения прямого и прямоугольного параллелепипеда.

Учитель: Рассмотрим свойства параллелепипеда. (Слайд 13)

Назовем планиметрическую фигуру, пространственным аналогом которой является параллелепипед. Визуальное сходство фигур поможет нам сформулировать свойства параллелепипеда.

Учитель: Каковы свойства сторон параллелограмма?

Учащиеся: Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны.

Учитель: Изучите модель параллелепипеда и определите, какими свойствами обладают его грани?

Учащиеся: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Учитель: Каким свойством обладают диагонали параллелограмма?

Учитель: Сформулируйте аналогичные утверждения для параллелепипеда.

Учащиеся: Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Учитель: Мы должны доказать или опровергнуть эти утверждения.

Исследовательская работа по группам

Класс разбит на 3 группы.

1 группа выясняет, верно или нет утверждение о том, что противолежащие грани параллелепипеда параллельны.

Для группы предложена карточка с вопросами:

О каких гранях идёт речь?

Сколько пар граней достаточно рассмотреть для доказательства их параллельности?

Если взять грань AA₁B₁B, тогда какая будет ей противоположной?

Что используют для доказательства параллельности плоскостей?

Можно ли выделить такие пары прямых?

Из какой фигуры можно сделать вывод, что АА₁|| DD₁?

Что ещё нужно знать о выбранных прямых одной плоскости?

Выполняется это условие?

Какой вывод сделаем? (Слайд 13)

2 группа выясняет, верно или нет утверждение о том, что противолежащие грани параллелепипеда равны.

Для этой группы предложена карточка с вопросами:

О каких гранях идёт речь?

Сколько пар граней достаточно рассмотреть для доказательства их параллельности?

Что представляют собой грани параллелепипеда?

В каком случае два параллелограмма равны?

Если взять грань AA₁D₁D, тогда какая будет ей противоположной?

Сколько пар равных элементов достаточно найти?

Можно ли взять стороны AD и AA₁ и ÐA₁AD параллелограмма АА₁ D₁D? Почему?

Тогда назовите соответствующие элементы второго параллелограмма

Будет ли выполнятся равенство соответствующих элементов?

Какой сделаем вывод? (Слайд 13)

3 группа – диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Для этой группы предложена карточка с вопросами:

Сколько пар диагоналей достаточно рассмотреть для доказательства их свойства?

Какой четырехугольник мы можем рассмотреть и почему?

Чем является четырехугольник A₁B₁CD?

Какой сделаем вывод? (Слайд 14,15)

Результаты исследования записываются в тетрадь.

VІ. Применение свойств параллелепипеда при решении задач.

Решим задачу 1 (слайд 16)

Решите задачу 2

Диагонали А₁C = 10 см и В₁D = 8см параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ образуют угол 60° . Найти ребро АВ.

Установить зависимость между сторонами параллелограмма и его диагоналями. Аналогично установить зависимость между ребрами параллелепипеда и его диагоналями.

VІІ. Итог урока.

Чему научились на уроке?

Нужны ли вам эти знания для дальнейшей жизни? Где в жизни вы сможете применить полученные знания?

Домашнее задание. (Слайд 17)

Творческое задание – создать модель тетраэдра и параллелепипеда (картон и спицы). На одной из модели сделать сечение.

Читайте также: