Однородные дифференциальные уравнения первого порядка конспект урока

Обновлено: 05.07.2024

Цель занятия: знать и уметь решать типовые дифференциальные однородные уравнения первого порядка; воспитание навыков самостоятельной деятельности, организованности.

Учебные вопросы

1. Решение однородных уравнений первого порядка.

Ход занятия

Студенты должны знать ответ на следующие теоретические вопросы:

1. Определение однородного дифференциального уравнения первого порядка

2. Алгоритм решения дифференциального однородного уравнения первого порядка.

Основные рабочие формулы

однородное, если оно может быть приведено к виду: . При помощи подстановки , получим и уравнение (*) сведется к уравнению с разделяющимися переменными.

Задача 1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение:

Решение. 1) Проверка однородности функции: Выразим т.е.

2) Сделаем подстановку или , тогда , подставим в 1):

3) Разделяем переменные и интегрируем:

Задача 2. Решить самостоятельно дифференциальное уравнение по образцу задачи 1: .

Задача 3. Найти общее и частное решение уравнения:

Задача 4. .

Задача 5. .

Задача 6. .

Задача 7. .

Объяснить алгоритм решения одного из дифференциальных уравнений данного занятия.

Задание для самостоятельной работы

Задача 8. .

Задача 9. .

Задача 10. ;

Задача 11. при ;

Задача 12. ;

Задача 13. ;

Задача 14. .

Занятие №3. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнение Бернулли

Цель занятия: уметь решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка, знать подстановку, сводящую уравнение Бернулли к линейному уравнению; воспитание элементов самостоятельных навыков, целеустремленности.

Учебные вопросы

1. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

2. Решение дифференциального уравнения Бернулли.

Ход занятия

Студенты должны предварительно подготовить теоретический материал лекции к данному практическому занятию по вопросам:

1. Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

2. Алгоритм решения линейного уравнения первого порядка.

3. Вид уравнения Бернулли, алгоритм его решения.

Рабочие формулы

1) Вид линейного дифференциального уравнения I порядка:

Решение ищется в виде:

Подставляем (2) и (3) в (1):

Из уравнения (4) получим два уравнения с разделяющимися переменными:

Решая уравнения (5) и (6), находим решение (2) уравнения (1).

2. Вид дифференциального уравнения Бернулли

Уравнение (7) разделим на , тогда

Подставляя (9) в (7) получим линейное уравнение первого порядка:

1. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Задача 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

Решение. 1) Полагаем, , тогда .

2) Подставляем в (*), получим:

3) Рассматриваем два уравнения:

а) ;	(А)
б)	(В)

4) Решаем уравнение с разделяющимися переменными:

5) Подставляем найденные значения в уравнение (Б):

Решить самостоятельно уравнения по образцу задачи 1:

Задача 2. .

Задача 3. .

Задача 4. .

2. Решение дифференциального уравнения Бернулли

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли: .

Решение. 1) Делим обе части уравнения на

2) Сделаем замену , тогда .

3) Подставляем в уравнение (*): .

4) Решаем линейное уравнение .

5) Положим , тогда .

6) Решаем уравнение:

7) Подставляем значение v в уравнение:

Задача 6. Решить самостоятельно уравнение Бернулли по образцу задачи 5:

Тема: Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

Цель: Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка различными методами.

План урока:

Организационный момент.2 мин

Повторение теоретического материала.8 мин

Решение упражнений по образцу.10 мин.

Самостоятельное выполнение заданий. 60мин.

Подведение итогов урока, домашнее задание.

Повторение теоретического материала.

1.Дайте определение дифференциального уравнения.

2. Что называют решением дифференциального уравнения?

3. Какое дифференциальное уравнение называют общим, какое в частных производных?

4. Что называют задачей Коши?

5. Какое дифференциальное уравнение называют уравнением с разделяющимися переменными.

6. Какое уравнение называется однородным? линейным, уравнением Бернулли?

3.Решение упражнений по образцу.

Решить дифференциальное уравнение .

Т. к. начальные условия не заданы, возьмем неопределенный интеграл от обеих частей уравнения:

Осталось лишь выразить через :

Найдем также нулевые решения:

Ответ:

Выразим производную через дифференциалы:

Умножим на dx и разделим на . При y ≠ 0 имеем:

Интегрируем.

Вычисляем интегралы, применяя формулу .

Подставляя, получаем общий интеграл уравнения
.

Теперь рассмотрим случай, y = 0.
Очевидно, что y = 0 является решением исходного уравнения. Оно не входит в общий интеграл .
Поэтому добавим его в окончательный результат.

; y = 0.

Пример 4. Найти частное решение уравнения (1+e 2x )y 2 y'=e x , удовлетворяющее начальному условию y(0)=1

Запишем данное уравнение в дифференциальной форме: (1+e 2x )y 2 dy-e x dx=0. Теперь разделим переменные: y 2 dy- dx=0 Проинтегрируем последнее уравнение:

Получили общее решение исходного уравнения. Использовав начальное условие, определим значение произвольной постоянной: dy-

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид dy-

4.Самостоятельное выполнение заданий.

Вариант 1

Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений

3. Решить задачу Коши: , y(1) = 8 .

Решить следующие дифференциальные уравнения первого порядка:

Вариант 2

Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений

3. Решить задачу Коши: , y(2) = 19 .

Решить следующие дифференциальные уравнения первого порядка:

Дополнительное задание.

Индивидуальное задание по порядковому номеру в журнале, т.е. в задании вместо N студент подставляет свой порядковый номер.

Решить дифференциальные уравнения .

5. Подведение итогов урока, домашнее задание.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 8

Тема: Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

Цель: Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка различными методами.

Конспект урока по теме " обыкновенные дифференциальные уравнения.Задача Коши". Предлагается методика введения нового материала, а также метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.Материал предназначен для работы со студентами 2 курса техникума.

Вложение	Размер
Урок"обыкновенные дифференциальные уравнения"	212.5 КБ

Предварительный просмотр:

Тема урока : Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный .

- помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

- помочь овладеть методами решения ДУ;

- отработать навыки решения обыкновенных диф.уравнений первого

- развить логическое мышление студентов;

- развивать творческие способности студентов:

- побудить интерес к изучаемому предмету.

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

дидактический материал;
проектор;
презентация.

Организационный момент.
Коррекция пройденного материала.
Актуализация знаний.
Объяснение нового материала.
Закрепление изученного материала.
Информация о домашнем задании.
Подведение итогов.

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.Отметить дежурных.

Объявить тему урока и его цель.

2.Коррекция пройденного материала: на предыдущем занятии вы выполняли самостоятельную работу. Анализируя ваши работы , были выделены следующие типичные ошибки ( показать на доске правильное выполнение). В итоге получены следующие результаты ( объявить оценки за сам. работу).

3. Актуализация знаний:

1. выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(3х) ' =… (х 3 ) ' =… (6х 2 ) ' =… (х+5) ' =… (5х-4) ' =… (2sinx) ' =…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

в) Чему равен угловой коэффициент касательной ,проведенной к графику функции в точке х 0 ? ( ответ: производной функции при х 0 )

г) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции . ( ответ: dF=F ' dx).

д) Назовите процесс обратный дифференцированию? ( интегрирование)

е) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам у доски:

а) ( ответ: I=2x+lnx+С); б) ; (I=ln(x+2)+C);

На слайдах показать графики решений данных неопределенных интегралов.

4.Объяснение нового материала:

Мотивация: В начале занятия к нам пришла необычная телеграмма

( текст на слайде) от майора Пронина.

На месте преступления обнаружен отпечаток пальца и записка: у ' =2х.

Подозреваю функцию . Cherchez la femme! Майор Пронин.

Выяснить , что данное равенство уравнение и оно содержит функция и её производные. Такие уравнения называют дифференциальными (ДУ).

Наша задача научиться решать такие уравнения. Может последовать вопрос: а зачем?

Смысл этой аллегории таков: математикам кажется , что законы природы во многих случаях удобно описывать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Сущность этих законов подчас раскрывается в результате решения ДУ.

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В Швейцарии , на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем . Неутолимо вычисляя при свечах , он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

Ученый кот , услышав шорох,

Надел очки и на ходу

Учел реакцию в опорах,

Уклон и скорость. Для ОДУ

Путем изящных вычислений

Решил систему уравнений,

Пересчитав все P и Q,

И приготовился к прыжку.

Мышь убежала. Но , однако,

Кот съел в теории собаку.

Теперь мы плавно переходим к теории.

Определение 1: Дифференциальным уравнением называют уравнение , связывающее независимые переменные, их функцию и производные

( или дифференциалы) этой функции.

Определение 2: Если независимая переменная одна , то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше , то уравнение называется в частных производных.

Определение 3 : Наивысший порядок производной , входящей в уравнение , называют порядком дифференциального уравнения.

ху ' +у=0- обыкновенное диф.уравнение первого прядка.

- обыкновенное диф. уравнение 2-го порядка.

у ''' -2у=х- обыкновенное диф. уравнение третьего порядка.

Определение 4: Процесс решения ДУ называется интегрирование.

Определение 5: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение 6 : Общим решением ДУ называется такое решение , в которое входит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок уравнения.

Так, общее решение ДУ первого порядка содержит одну произвольную.

Общему решению ДУ соответствует совокупность ( семейство) всех интегральных кривых.

Определение 7: Частным решением ДУ называется решение , полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения ДУ называется интегральной кривой.

Определение 8: Задача , в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х 0 )=у 0 , называется задачей Коши.

(Огюстен Луи Коши( 1789-1857)- французский математик).

В ходе записывания теории разбирается пример: , , - общее решение

При х= 2, у=5, тогда 5= , 5= 4+с, получим с= 1, следовательно,

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ – это ДУ с разделяющимися переменными.

Определение 9: ДУ с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

Для решения этого уравнения необходимо:

разделить сначала переменные;
проинтегрировать обе части полученного равенства.

Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.

Получим: -4+1=С 2 /(-3), тогда С 2 =9.

Частное решение имеет вид: .

Решить фронтально примеры. Отвечающим около доски задают вопросы по пройденному материалу.

у ' =4х 3 .Найти общее решение.( ответ: у=х 4 +С)
(ответ: )

Найти частные решения ДУ:

, при х= , у=3(ответ: y=tgx+2)
, при х=0, у=1 ( ответ: )
, ,

тогда у=2sinx-1- частное решение.

1. , при х=π, у=0 . Ответ:

Практическое приложение ДУ.

-Откуда берутся ОДУ?

-А откуда берут их авторы задачников?

- С потолка или из пальца!

К сожалению, такое тоже бывает, но это не типично. Основным поставщиком ДУ для математиков является практика.

Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной в каждой точке на любой из этих кривых равен абсциссе точки касания.

Решение: По геометрическому смыслу производной . Получим:

Определить путь , который пройдет автомобиль за время t=20 с, если его скорость пропорциональна пути и если за 10с. Автомобиль проходит 100м, а за 15с- 200м.

По условию , где к- коэффициент пропорциональности.

При t=10,s=100: ln100=10k+C

При t= 15,s=200:ln200= 15k+C, следовательно k=ln2/5, тогда С=ln25

Уравнение (1) примет вид: .

При t=20c. S=400м.Ответ: 400м.

При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его первоначальному содержанию. Определить содержание фермента через 4ч. После брожения , если вместо 2г. первоначального количества спустя 1ч. Получается 2,6г. фермента.

Пусть Q-наличие фермента (г.) в момент времени t (ч.) , то скорость прироста фермента . По условию задачи .

При t=0, Q=2г., тогда С=ln2, получим .

При t=1, Q=2,6, тогда к=ln1,3

6.Задание на дом: выучить основные определения из конспекта;

4.Задача: Найти кривые , для которых угловые коэффициенты касательных в каждой точке равны 2х-1 . Выделить кривую , проходящую через точку А(1;1). Построить график этой кривой.

7.Подведение итогов: Выставление оценок за работу на уроке.

Найти общее решение ОДУ:

Найти частное решение ОДУ:

Найти общее решение ОДУ:

Найти частное решение ОДУ:

Решить уравнения:1.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БРЯНСКИЙ АВТОТРАНСПОРТНЫЙ ТЕХНИКУМ

Тема: Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Для специальностей: 190604 «Техническое обслуживание и ремонт

190701 «Организация грузовых перевозок на

080110 «Экономика и бухгалтерский учет на

Видом урока является изложение нового материала. В начале урока озвучена цель и задачи . В ходе изложения материала прослеживается четкая структура урока: актуализация знаний, хорошо проведена мотивация темы , доступно излагается материал, продуман этап закрепления. Урок методически построен правильно.

В ходе урока использовалась презентация с целью повышения наглядности, усвоения материала и познавательного интереса.

Изложение нового материала проходит в доступной , но в тоже время научной форме. Параллельно излагаемому материалу делается акцент на практическое применение данной темы , ее месту и роли в математике.

На этапе закрепления используется дифференцированный подход: студенты , усвоившие основной уровень знаний и умений , принимаются за боле сложные задания под контролем преподавателя. От результата их деятельности зависит итоговая оценка за урок.

Содержание данного урока включает в себя индивидуальную работу , что повышает ответственность студентов за итог проделанной ими работы.

Очень широко представлена межпредметная связь на данном уроке. Преподаватель подобрал задания прикладного характера, на которых студенты смогут оценить значимость данной темы и её необходимость в других областях науки.

К разработке данного урока преподаватель подошел с творчеством. Проделана большая подготовительная работа по обеспечению дидактическими и техническими средствами.

Данную методическую разработку урока можно рекомендовать к использованию в процессе изучения математики.

Рецензент: Немцова З.Н.- преподаватель математики Брянского автотранспортного

Данную методическую разработку урока можно рекомендовать к использованию в процессе изучения математики.

Рецензент: Толстенок И.Л.- преподаватель математики Брянского торгово-экономического

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
До 500 000 руб. ежемесячно и 10 документов.

Цели урока: 1. Обучающая: Рассмотреть общий вид однородного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка и способы его решения. 2. Развивающая: Способствовать развитию логического мышления, памяти. 3. Воспитательная: Аккуратное ведение конспектов, самодисциплина. Тип урока: Урок изучения нового материала Вид урока: комбинированный Методы: словесные Оборудование: мультимедийный проектор, экран. Ход урока. I. Оргмомент II. Актуализация опорных знаний Анализ сам. работы из практ. занятия № 10. II. Целевая установка. 1. Тема урока 2. Цель урока III. Формирование новых понятий и способов действийТема урока: Однородные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.

Тема урока: Однородные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Урок № Цели урока: 1. Обучающая: Рассмотреть общий вид однородного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка и способы его решения. 2. Развивающая: Способствовать развитию логического мышления, памяти. 3. Воспитательная: Аккуратное ведение конспектов, самодисциплина. : Урок изучения нового материала Тип урока Вид урока: комбинированный Методы: словесные Оборудование: мультимедийный проектор, экран. Ход урока. I. Оргмомент II. Актуализация опорных знаний Анализ сам. работы из практ. занятия № 10. II. Целевая установка. 1. Тема урока 2. Цель урока III. Формирование новых понятий и способов действий. Уравнение вида Р(х; y)dx + Q(x; y)dy = 0 называется однородным, если Р(х; у) и Q(x; у) — однородные функции одного измерения. Определение. Функция f (х; у) называется однородной измерения т, если f(ux; uy) = umf(x; у). С помощью подстановки однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися у = переменными. IV. Формирование навыков умственного труда Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения: Решение. Заменяя у' на dy dx , получим : Рассмотрим функции: Следовательно, функции Р(х; у) и Q(x; у) являются однородными второго измерения. Делаем замену y=tx  dy=dt x + tdx. Подставляя в уравнение, получим: (tx2 + t2x2)dx (2х2 + tx2)(xdt + tdx) = 0; tdx + t2 dx 2xdt 2tdx txdt t2dx = 0; tdx = x(2 + t)dt; dx x =−2+t t Почленно интегрируя, будем иметь ln x = 2ln t t + С. dt Заменяя t = y x , окончательно получим ln х = 2 ln y x y x + С — общее решение дифференциального уравнения. V. Итог урока. Подведение итогов, выводы. VI. Домашнее задание: Конспект.

Читайте также: