Обратные тригонометрические функции конспект
Обновлено: 05.07.2024
Цель урока: знать определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, графики этих функций, свойства аркфункций, связь с тригонометрическими функциями уметь находить значения обратных тригонометрических функций, решать простейшие уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции графическим и функционально-графическим методом
воспитывать ответственность, аккуратность при построении графиков
развивать логическое мышление, математическую речь, умение работать в нужном темпе
Тип урока: формирования зун.
Методы ведения: Комбинированный урок.
Оборудование урока Презентация
Организационный момент – 1 – 2 мин.
Приветствие учащихся.
Отметить отсутствующих.
II. Опрос по домашнему заданию
Какие тригонометрические функции вы знаете?
Какая тригонометрическая функция четная?
III. Объяснение нового материала. Краткий конспект.
Функции y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx называются обратными
Функция y = arcsin x
По определению арксинуса числа для каждого x∈[−1;1] определено одно число y=arcsinx. Тем самым на отрезке [−1;1] задана функция y=arcsinx,−1≤x≤1
Функция y=arcsinx является обратной к функции
y=sinx, где −π/2≤x≤π/2
Поэтому свойства функции y=arcsinx можно получить из свойств функции
График функции y=arcsinx симметричен графику функции
y=sinx, где −π/2≤x≤π/2 относительно прямой y=x .
График функции y=arcsinx
Основные свойства функции y=arcsinx
1. Область определения - отрезок [−1;1]
2. Множество значений - отрезок [−π/2;π/2]
3. Функция y=arcsinx - возрастает.
4. Функция y=arcsinx является нечётной, так как
Функция y = arccos x
По определению арккосинуса числа для каждого x∈[−1;1] определено одно число y=arccosx. Тем самым на отрезке [−1;1] определена функция
Функция y=arccosx является обратной к функцииy=cosx,где 0≤x≤π
График функции y=arccosx симметричен графику функции y=cosx,где 0≤x≤π, относительно прямой y=x
Функция y=arccosx
Основные свойства функции y=arccosx
1. Область определения - отрезок [−1;1]
2. Множество значений - отрезок [0;π]
3. Функция y=arccosx убывает
Функция y = arctg x
По определению арктангенса числа для каждого действительного x определено одно число y=arctgx. Тем самым на всей числовой прямой определена функция y=arctgx,x∈R.
Эта функция y=arctgx является обратной к функции
График функции y=arctgx симметричен графику функции
y=tgx,где −π/2≤x≤π/2 относительно прямой y=x
График функции y=arctgx
Основные свойства функции y=arctgx
1. Область определения - множество R всех действительных чисел
2. Множество значений - интервал (−π/2;π/2)
3. Функция y=arctgx возрастает.
4. Функция y=arctgx является нечётной, так как
Функция y=arcctgx
Поэтому, график функции y=arcctgx можно получить из графика функции
помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x.
Свойства функцииy=arcctgx
3. Функция не является ни чётной, ни нечётной, т.к. график функции не симметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси y.
4. Функция убывает.
5. Функция непрерывна.
arcctga - это такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен a
Для арккотангенса имеет место соотношение, аналогичное для арккосинуса
а) 2 arcsin √3/2 + arctg 1 + arccos (-√2/2) - 5π/3
б) 3 arccos √3/2+ arcctg (-1) + arcsin√3/2 - 19π/12
в) arcsin(sin /3)+ arcsin (- /2)
г)10cos(arctg( ))
б) sin( + arcsin 3/4)
в) 5 sin( + arcsin (-3/5)
д) sin( /2+ arccos 1/3)
Рассмотреть решения примеров с обратными функциями:
Пример 1: Найти sin(arccos ).Пусть arccos = , тогда 0≤ ≤ , соs = .
sin +cos =1. Учитывая, что 0≤ ≤ , sin = = = = .
Ответ: sin(arccos )= .
(конспект проверю сразу 8.11.21) №25: Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс.
Графики проверю в первую очередь.
Изучение нового материала
Функция y = arcsin x
По определению арксинуса числа для каждого x ∈ [−1;1] определено одно число y=arcsinx. Тем самым на отрезке [−1;1] задана функция y=arcsinx,−1≤x≤1
График функции y=arcsinx симметричен графику функции
y=sinx, где −π/2≤x≤π/2 относительно прямой y=x .
Основные свойства функции y=arcsinx
1. Область определения - отрезок [−1;1]
2. Область изменения - отрезок [−π/2;π/2]
3. Функция y=arcsinx является нечётной, так как
Функция y = arccos x
По определению арккосинуса числа для каждого x ∈ [−1;1] определено одно число y=arccosx. Тем самым на отрезке [−1;1] определена функция
Основные свойства функции y=arccosx
1. Область определения - отрезок [−1;1]
2. Множество значений - отрезок [0;π]
3. Функция y=arccosx убывает
Функция y = arctg x
По определению арктангенса числа для каждого действительного x определено одно число y=arctgx. Тем самым на всей числовой прямой определена функция y=arctgx,x ∈ R.
Основные свойства функции y=arctgx
1. Область определения - множество R всех действительных чисел
2. Множество значений - интервал (−π/2;π/2)
3. Функция y=arctgx возрастает.
4. Функция y=arctgx является нечётной, так как
Поэтому, график функции y=arcctgx можно получить из графика функции
3. Функция не является ни чётной, ни нечётной, т.к. график функции не симметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси y.
4. Функция убывает.
5. Функция непрерывна.
arcctga - это такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен a
Для арккотангенса имеет место соотношение, аналогичное для арккосинуса
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Элективный курс "Обратные тригонометрические функции"
Элективный курс на 17 часов с тестами и контрольной работой.
Элективный курс "Обратные тригонометрические функции"
Элективный курс на 17 часов с тестами и контрольной работой.
В помощь учителю.
Разработка урока алгебры Обратные тригонометрические функции
Тема урока:Обратные тригонометрические функции. Арксинус и арккосинус.Тип урока: закрепление изученного материала.Методы обучения: наглядный, словесный, практический.Средства обучения: доска, ко.
Выпускная работа "Обратные тригонометрические функции. Задачи, содержащие обратные тригонометрические функции"
Выпускная работа на тему "Обратные тригонометрические функции. Задачи, содержащие обратные тригонометрические функции" выполнена на курсах повышения квалификации. Содержит краткий теоретический матер.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Обратные тригонометрические функции.
Рассмотрим уравнение и решим его графическим методом. Для этого построим графики функций y = sinx – синусоида и - прямая.
Решением данного уравнения являются абсциссы точек пересечения этих графиков. На рисунке это точки и т.д. Тригонометрические уравнения имеют бесконечное множество решений, так как область определения прямой и синусоиды вся числовая прямая. Значит и точек пересечения будет бесконечное множество. Для того чтоб записать все решения тригонометрического уравнения рассматривают обратную тригонометрическую функцию и вводят понятие арксинуса для одного из решений этого уравнения.
Рассмотрение обратного перехода от значения функции к соответствующему значению аргумента позволяет по исходной функции y = f ( x ) построить некоторую новую функцию, называемую обратной к исходной функции. Выделим участок монотонности функции y = sinx на отрезке . Обратная функция для у = sinx обозначается arcsinx и называется арксинусом . Дадим определение арксинусу.
Определение 1 . Арксинусом числа называется такое число , синус которого равен а . И обозначается arcsina = x , если sinx = a .
Определение 2 . Арккосинусом числа называется такое число , косинус которого равен а. Обозначается arccosa = x , если cosx = a .
Определение 3 . Арктангенсом числа называется такое число , тангенс которого равен а . Обозначается arctga = x , если tgx = a .
Определение 4 . Арккотангенсом числа называется такое число , котангенс которого равен а. Обозначается arcctga = x , если ctgx = a .
Эти функции необходимы для решения простейших тригонометрических уравнений.
На этом уроке мы рассмотрим особенности обратных функций и повторим обратные тригонометрические функции. Отдельно будут рассмотрены свойства всех основных обратных тригонометрических функций: арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В7 и С1.
Читайте также: