Натуральные целые и рациональные числа конспект

Обновлено: 02.07.2024

Множество рациональных чисел принято обозначать буквой Q.

Выполняется соотношение Z⊂Q , поскольку любое число m можно представить в виде m/1.
Итак, можно сказать, что рациональные числа — это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.

Любая десятичная дробь как частный случай обыкновенной дроби тоже является рациональным числом.

Для рациональных чисел кроме указанной выше записи m/n можно использовать другой вид записи, который рассмотрен ниже.
Рассмотрим целое число 7, обыкновенную дробь 511 и десятичную дробь 4,244. Целое число 7можно записать в виде бесконечной десятичной дроби 7,0000. .

Десятичную дробь 4,244 тоже можно записать в виде бесконечной десятичной дроби 4,244000. .

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Преподаватель математики I квалификационной категории:

Пушкарёва Ольга Владимировна

Группа: 1 курс СПО материал 10 класса (30 обучающихся)

Урок: математика (алгебра)

Знать, что такое натуральное, целое, рациональное число, периодическая дробь; уметь записывать бесконечную десятичную дробь в виде обыкновенной, уметь выполнять действия с десятичными и обыкновенными дробями.

2. Развивать навыки и умения, в выполнении действий с десятичными и обыкновенными дробями, развивать логическое мышление, правильную и грамотную математическую речь, развитие самостоятельности и уверенности в своих знаниях и умениях при выполнении разных видов работ.

3. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, ответами на вопросы и умением делать самоанализ, самостоятельной работой; стимулированием и поощрением деятельности учащихся.

I . Организационный момент.

II . Новая тема:

2. Практическая часть.

3. Работа по учебнику и у доски.

4. Самостоятельная работа по вариантам.

III . Итог.

IV . Домашнее задание.

Организационный момент.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Первоначально под числом понимали лишь натуральные числа. Которых достаточно для счёта отдельных предметов.

Множество N = натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. Это значит, что сумма и произведение натуральных чисел являются числами натуральными.

Однако разность двух натуральных чисел уже не всегда является натуральным числом.

Приведите примеры: 5 – 5 = 0; 5 – 7 = - 2, числа 0 и – 2 не являются натуральными).

Так, результат вычитания двух одинаковых натуральных чисел приводит к понятию нуля и введению множества целых неотрицательных чисел

Чтобы сделать выполнимой операцию вычитания, вводят отрицательные целые числа, то есть числа, противоположные натуральным. Таким образом получают множество целых чисел Z =.

Чтобы сделать выполнимой операцию деления на любое число, не равное нулю, необходимо к множеству всех целых чисел присоединить множество всех положительных и отрицательных дробей. В результате получается множество рациональных чисел Q = .

При выполнении четырёх арифметических действий (кроме деления на нуль) над рациональными числами всегда получаются рациональные числа.

Каждое рациональное число можно представить в виде периодической десятичной дроби.

Вспомним, что такое периодическая дробь. Это бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби. Например, 0,3333…= 0,( 3);

Запишем рациональные числа в виде бесконечной периодической десятичной дроби: натуральное число 25 = 25,00…= 25,(0); целое число -7 = -7,00…= -7,(0); обыкновенная дробь = -2,300…= - 2,3(0); = 1,533…=1,5(3)

(пользуемся алгоритмом деления уголком).

Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби , где m – целое число, n – натуральное число.

Пусть x = 0,2(18) умножая на 10, получаем 10 x = 2,1818…(Нужно умножить дробь на 10 n , где n – количество десятичных знаков, содержащихся в записи этой дроби до периода: x 10 n ).

Умножая обе части последнего равенства на 100, находим

1000 x = 218,1818…(Умножая на 10 k , где k – количество цифр в периоде x 10 n 10 k = x 10 n + k ).

Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 990 x = 216, x = =.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.Записать в виде десятичной дроби:

3) - за доской один учащийся записывает решение, остальные решают на местах, потом проверяют друг друга;

5) -8 - под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух.

2. Выполнить действия и записать результат в виде десятичной дроби:

3) +1,25 – под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух;

5) 1,05 – самостоятельно с последующей проверкой.

3. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь:

6) -2,3(82) – преподаватель показывает на доске решение, опираясь на алгоритм:

X = -2,3(82) = -2,3828282…

1000 x = -2382,8282…

1000 x – 10 x = -2382,8282…- (23,828282…)

0,(6); 3) 0,1(2); 5) -3,(27) – на доске учащиеся выходят по очереди.

4. Вычислить:

(Выполнить самостоятельно по вариантам)

(20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95);

5.Вычислить:

(3+ 0,24)2,15 + (5,1625 - 2) - самостоятельно с последующей проверкой.

III . Итог.

Множества каких чисел вы знаете? Приведите примеры.

Что такое периодическая дробь?

Как записать периодическую дробь в виде обыкновенной?

IV . Домашнее задание.

1.Записать в виде десятичной дроби:

2. Выполнить действия и записать результат в виде десятичной дроби:

3. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь:

- дать определение бесконечной периодической десятичной дроби.

- сформировать умение переводить обыкновенную дробь в десятичную;

- сформировать умение переводить бесконечную периодическую дробь в обыкновенную;

- сформировать желание самостоятельно изучать материал;

Воспитательные:

- воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний;

- воспитывать ответственность за свои действия и поступки;

- вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики.

Развивающие:

- формировать навыки познавательного мышления;

- формировать умения и навыки учебного труда.

Методы обучения:

Лекция объяснительно - иллюстрированная

Планируемый результат:

Определение бесконечной периодической десятичной дроби. Знает множество натуральных чисел. Знает множество целых чисел. Знает множество рациональных чисел. Умеет представлять обыкновенную дробь в виде десятичной. Умеет представлять бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби.

Структура занятия:

1. Устная работа

Множество натуральных чисел

Множество целых чисел

Множество рациональных чисел

Конечные десятичные дроби

Бесконечные десятичные дроби

Бесконечная периодическая десятичная дробь

3. Решение ключевых задач.

Представить обыкновенную дробь в виде десятичной.

Представить бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби.

4. Решение упражнений (нечетные пункты) на закрепление темы (№1,2,4,5)

5. Самостоятельная работа. 6. Домашнее задание

Устная работа:

Множество натуральных чисел:

Числа, которые мы используем при счете предметов, называются натуральными. При сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа. Однако разность и частное натуральных чисел не всегда являются натуральными числами.

Множество целых чисел

Дополним множество натуральных чисел, нулем и отрицательными числами(т.е. числами противоположными натуральным). Мы получим множество целых чисел. Надо заметить, что при сложении, вычитании, умножении целых чисел, всегда образуются целые числа. Однако частное двух целых чисел, не обязятельно будет целым числом.

Множество рациональных чисел

Введение рациональных чисел, то есть чисел вида , где – целое число, – натуральное число, дает возможность находить частное двух рациональных чисел при условии, что делитель не равен нулю.

Каждое целое число также является рациональным, так как его можно представить в виде

При выполнении четырех арифметических действий (кроме деления на нуль) над рациональными числами всегда получаются рациональные числа.

Конечные десятичные дроби

Если рациональное число можно представить в виде дроби – целое число, – натуральное число, то его можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Например, можно записать

Например,

Бесконечные десятичные дроби

Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, например

Если, например, попытаться записать число в виде десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель, то получится бесконечная десятичная дробь

Бесконечную деятичную дробь называют периодической, а повторяющуюся цифру 3 - ее периодом.

Коротко записывают так: (ноль целых три десятых в периоде)

Бесконечная периодическая десятичная дробь.

Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби.

Решение ключевых задач.

Задача 1. Записать число в виде бесконечной десятичной дроби.

Задача 2. Представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной.

1.Пусть Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножая на 10, получаем

2)Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому, умножая обе части последнего равенства на находим

3)Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем

Натуральные числа – числа, которые используются при счёте.

Целые числа – натуральные числа, число нуль, а также числа, противоположные натуральным.

Обязательная литература:

Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим на координатной оси

натуральные, целые и дробные числа.

Натуральные (целые положительные): 1, 2, 3

Целые отрицательные: 1, 2, 3

Все эти числа можно записать в виде обыкновенных дробей. Поэтому они имеют общее название -- рациональные числа.

Некоторые дроби считают равными. Равенство дробей устанавливают при помощи основного свойства дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же целое, не равное нулю число, то получится равная ей дробь.

Равенство (2) означает, что если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель n (целое, не равное нулю число), то дробь можно сократить на n. При этом получается дробь, равная данной.

Итак, две дроби равны, когда одна из них может быть получена из другой сокращением на общий множитель её числителя и знаменателя.

Либо, сформулируем так:

две дроби равны, когда одна из них может быть получена из другой умножением её числителя и знаменателя на одно и тоже число, не равное нулю.

Таким образом, любое целое число является рациональным числом.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

1. найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;

2. разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;

3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Приведём дроби к положительному знаменателю

Мы выяснили, что рациональное число представляется виде дроби.

Бывают случаи, когда без дробных чисел нам нельзя обойтись.

Например, кусок проволоки, длиной 4 метра, необходимо разрезать на три равные части. Сколько метров приходится на каждую часть?

Можем составить равенство:

где х – и есть то количество метров, которое приходится на каждую часть.

Для решения подобных задач в далёком прошлом и появились дробные числа.

Интерес к ним не ослабевает и в наше время. Стремительное развитие вычислительной техники – главная причина этого интереса, так как компьютер может иметь дело только с рациональными числами.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Разместите нужные подписи под изображениями.

целое положительное число

Для выполнения задания вспомним определения известных нам числовых множеств.

положительная дробь
целое положительное число
отрицательная дробь

Тип 2. Вставьте в текст нужные слова.

Если … и знаменатель дроби умножить на одно и то же целое, … нулю число, то получится … ей дробь.

Варианты слов для вставки:

Для выполнения задания обратимся к теоретическому материалу урока.

Читайте также: