Множество натуральных чисел конспект

Обновлено: 06.07.2024

Можно заметить, что множество N является подмножеством множества Z:

Множество Q – множество рациональных чисел

Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби:

Рациональные числа – это целые (например, -4, -1, 0, 2, 3 ) и дробные числа (например: 1/2; -7/9; 0,2).

Можно заметить, что множество Z является подмножеством множества Q:

Множество I – множество иррациональных чисел

Иррациональные числа – это числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Множество R – множество действительных чисел

Множество R представляет собой объединение множеств Q и I .

Множество действительных чисел R – это объединение множества рациональных чисел Q и множества иррациональных чисел I

Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению (например, понятия “точка”, “прямая” являются одними из основных понятий геометрии).

МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Множество студентов данной учебной группы.
Множество планет солнечной системы.
Множество букв русского алфавита.
Множество натуральных чисел.

Математический смысл слова “множество” отличается от того, как оно используется в обычной речи. Так, в обычной речи понятие “множество” связывают с большим числом предметов, в математике же этого не требуется. Здесь могут рассматриваться множества, содержащие один объект, много объектов, несколько объектов или не содержащие ни одного объекта.

Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ.

Остановимся на символике, обычно использующейся при обращении с множествами.

Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (без индексов или с индексами). Например: B, C,…,X,Y,…,A 1 ,B 1,…

Элементы множества обозначаются строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b,c,…,x,y,…,a 1, b 1 ,…

В математике особую роль играют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются ЧИСЛОВЫМИ. Некоторые числовые множества имеют специальные обозначения, вводимые для удобства пользования. Один из вариантов этих обозначений, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем, выглядит следующим образом:

N – множество всех натуральных чисел;

Z c (или Z + или C + ) – множество всех целых неотрицательных чисел;

Z (или C) – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных чисел;

R + - множество всех действительных положительных чисел.

По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса:

1 – конечные, 2 – бесконечные, 3 – пустые.

1. Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ.

Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

2. Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ.

Множество натуральных чисел бесконечно.

Множество точек отрезка [0;1] бесконечно.

3. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком ∅ .

Множество действительных корней уравнения x 2 +1=0.

Множество людей, проживающих на Солнце.

В математике часто приходится определять принадлежность данного элемента конкретному множеству.

Мы говорим, что число 5 натуральное, т.е. утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Символически принадлежность множеству записывается с помощью знака ∈ . В данном случае символическая запись будет такой: 5 ∈ N. Читается: “5 принадлежит множеству натуральных чисел”.

Число 5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел, т.к. не является натуральным числом. Символически отношение “не принадлежит” записывается с помощью знака (реже ∉ ). Таким образом, здесь имеем: 5,2 ∉ N

Читается: “5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел”.

1.2 Способы задания множеств.

Множество считается заданным, если мы владеем способом, позволяющим для любого данного элемента определить, принадлежит он данному множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, непосредственно перечислив все его элементы, причём, порядок следования элементов может быть произвольным. В этом случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки.

Множество всех гласных букв русского алфавита:

Множество цифр десятичной системы счисления:

Очевидно, что такой способ задания множеств удобно применять для конечных множеств с небольшим количеством элементов.

Конечные и бесконечные множества могут быть заданы другим способом: указанием ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СВОЙСТВА, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.

Пусть P обозначает некоторое свойство, которым обладают все элементы множества А и не обладают элементы никакого другого множества. Тогда множество всех элементов, обладающих свойством Р, обозначим так:

Свойство Р, задающее множество А, есть характеристическое свойство множества А.

Множество чётных натуральных чисел. Зададим его с помощью характеристического свойства:

Множество всех действительных чисел на отрезке от 1 до 3 включительно запишется следующим образом:

Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано как первым, так и вторым способом.

Множество натуральных чисел, меньших, чем 10.

Второй способ: N =

Случается, что одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.

1.3 Отношения между множествами.

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).

Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.

1. Пусть даны два множества: X= и Y=. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c” . В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.

Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B 1 и B 2 находятся в отношении НЕПЕРЕСЕЧЕНИЯ.

С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3.

Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент
множества В является в то же время (одновременно) и элементом множества А. Тогда говорят, что множество В ВКЛЮЧЕНО в множество А, или что В есть ПОДМНОЖЕСТВО множества А.

Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А.

Отношение “включено” обозначается знаком ⊂ .

Соответственно отношение “включает” – знаком ⊃ .

Определение 1.1 символически записывается так: В ⊂ А или А ⊃ В. С помощью кругов Эйлера данное отношение между множествами показано на рис.4.

Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два

множества: Ø и А, которые называются НЕСОБСТВЕННЫМИ

ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. Все остальные подмножества (если они существуют) называются СОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: Ø ⊂ В ⊂ А, или иначе: А ⊃ В ⊃ Ø.

4. Пусть даны множества C=, D=, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С и D равны и пишут C=D.

Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств.

Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот.

Символически данное определение можно записать так:
С = D ⇔ С ⊂ D и D ⊂ С, или С = D ⇔ С ⊂ D ∧ D ⊂ С,
где знак ⇔ означает “эквивалентность” (равнозначность), а знак ∧ (конъюнкция) означает одновременность (совместность) осуществления тех операций (или событий), которые он соединяет.

С помощью кругов Эйлера отношение “равенство” показано на рис.5.

Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется универсальным множеством всех множеств А, В, С,…

Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля…

Мы его будем изображать прямоугольником с буквой U в правом верхнем углу (рис.6), внутри которого будут размещаться те или иные множества.

2. Операции над множествами

Рассмотрим некоторые операции над множествами.

2.1 Пересечение множеств

Пусть даны два множества: А= иB=.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р=. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: А ∩ В, где символ ∩ - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:

Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.

Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:

Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак ∧ (конъюнкция, или логическое “и”):

x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B (2а)

Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Символически это может быть записано так:

где квадратная скобка заменяет союз “или”.

В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком ∨ (дизъюнкция, логическое “или”):

х ∉ А ∩ В ⇒ х ∉ А ∨ х ∉ В. (3а)

Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 7 ÷ 10 (пересечение заштриховано).

рис. 7 рис. 8 рис. 9 рис. 10

2.2 Объединение множеств

Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

А ∪ В, где ∪ - символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:

Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой

а также знаком дизъюнкции

х ∈ А ∪ В ⇒ х ∈ А ∨ х ∈ В. (5а)

Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:

x ∉ A ∪ B ⇒ x ∉ A ∧ x ∉ B. (6а)

Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис. 11÷14 (объединение заштриховано).

рис. 11 рис. 12 рис. 13 рис. 14

Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

А ∪ А=А, А ∪∅ =А, А ∪ U=U. (7)

Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

Р= А 1 ∩ А 2 ∩ … ∩ А n =,

Где символ ∀ (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств A i , которая принадлежит каждому множеству одновременно.

Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

Если в выражении есть знаки ∪ и ∩ и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

2.3 Разность множеств

Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Символически разность двух множеств обозначается так:

А  В, где символ  является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:

а также x ∈ A  B ⇒ x ∈ A ∧ x ∉ B. (9а)

Если E 1 = и E 2 =, то E 3 =E 1  E 2 =, E 4 =E 2  E 1 =.

Если M 1 =, M 2 =, то M 3 =M 1  M 2 =< x 1 ; x 2 ; x 3 >,

Если K 1 =, K 2 =, то K 3 =K 1  K 2 =, K 4 =K 2  K 1 = ∅ .

Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 15÷18, где множество А  В заштриховано.

рис. 15 рис. 16 рис. 17 рис. 18

2.4 Дополнение к множеству

Пусть В ⊂ А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или .

Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или .

Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или .

Это определение может быть записано в виде:

Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Множества и операции над ними

Презентация к уроку алгебры в 9 классе .

Множества и операции над ними. Урок получения новых знаний. Алгебра 9 класс.

Разработка содержит презентацию и план конспект урока по теме "Множества и операции над ними". Цели урока: образовательные: знакомство с понятием множества, подмножества и элементами множес.

Множества и операции над ними. Урок закрепления изученного матриала. Алгебра 9 класс.

Тесты по теме "Множества и операции над ними" ( два варианта)

Тесты по теме "Множества и операции над ними" ( два варианта) .. Алгебра 9 клас. Можно использовать в компьютерном классе, при индивидуальной работе с учеником.

Множества и операции над ними.

Методическая разработка по теме « Множества и операции над ними. Решение задач".

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспекты познавательно-игрового занятия

со школьниками 5-6 классов

Автор: учитель математики МБОУ технического лицея № 176 Карасукского района ЗОБОВА ЕЛЕНА ВАСИЛЬЕВНА

Тема: « МНОЖЕСТВО. ЭЛЕМЕНТЫ МНОЖЕСТВА. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ЭЛЕМЕНТА МНОЖЕСТВУ. МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ - (4ч.)

Образовательные :

Ввести понятие “множество”, “элемент множества”. Научить определять принадлежность элемента множеству , обобщить знания учащихся по теме.

Познакомить с различными схемами расположения множеств:

множество – подмножество, множества пересекаются, множества не пересекаются, множества объединяются;

Обобщить представления о множествах, подмножествах.

Закрепить умение определять: принадлежность элементов множеству, характер отношений между множествами;

Научить применять на практике логические связки для поиска информации в сети Интернет.

Развивающие:

развитие математической речи, памяти, навыков самостоятельной работы, правильной оценки своих способностей

Формирование у учащихся представления о способах поиска информации, исследовательских и творческих качеств личности

Развитие интереса к предмету, познавательной деятельности учащихся;

умения наблюдать, сравнивать, обобщать;

Развитие памяти, логического мышления, умения сравнивать и из общего выделять главное.

Воспитательные:

воспитание активности и творческого отношения к работе на уроке,

дружелюбных отношений в множестве коллектива; умения оценить друг друга.

Формирование внимательности, собранности, культуры речи.

Учащиеся должны знать :

Понятия : множество, элемент множества, подмножество;

Основные операции над множествами (объединение, пересечение, разность)

Свойства множества натуральных чисел

Учащиеся должны уметь:

определять: принадлежность элементов множеству, характер отношений между множествами;

объединять и пересекать элементы простых множеств;

находить различные закономерности в множестве натуральных чисел

Будем считать множеством совокупность каких-либо объектов, рассматриваемую как единое целое. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.

НАПРИМЕР: 1. Множество дней недели состоит из следующих элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресение.

2. На рисунке изображено множество геометрических фигур.

3. Множество учеников Вашего класса (фамилия и имя элементов).

4. Множество цифр (от 0 до 9) и т.п.

Рассматривая материал дальше, мы будем постоянно возвращаться к примерам 1- 4, поэтому они записаны на доске, а ниже добавим новые понятия применительно к этим примерам. А учащимся предложить рассматривать новые понятия применительно и к их примерам, записанным в тетрадях.

Обычно множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского или русского алфавита, а для перечисления элементов множества используют фигурные скобки. Порядок, в каком перечисляются элементы множества – неважен.

Вернемся к примерам.

1. Обозначим множество дней недели буквой Н.

Тогда можно записать:

2. Обозначим множество геометрических фигур, изображенных на рисунке буквой Ф.

Тогда Ф = . В этой записи мы каждый элемент множества обозначили строчными буквами, что часто делают в математике.

3. Обозначим буквой У множество учеников Вашего класса.

4. Обозначим буквой С множество цифр в математике ,

Если объект входит в данное множество, то говорят, что он принадлежит множеству, и записывают этот факт следующим образом: a  A. Если объект не является элементом данного множества, то для записи этого факта используется знак : б  А.

Приведенные примеры, поясняющие новый материал, можно использовать в качестве упражнений для учащихся с дальнейшей проверкой и обсуждением.

Вернемся к примерам.

1. понедельник  Н; вторник Н; среда  Н; январь  Н; март  Н.

2. а  Ф; м  Ф; о Ф; ю  Ф.

3. Саша Осипов  У; Джон Смит  У.

Множества могут содержать конечное число элементов или бесконечное число элементов. Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными. Множество, в котором бесконечное число элементов, называется бесконечным.

Число элементов конечного множества называют его мощностью .

Мощность множества Н равна 7, мощность множества Ф равна 10, мощность множество У равна количеству учеников вашего класса-21 .

Обращаем внимание учащихся на то, что множество натуральных чисел бесконечно и, значит, назвать число элементов в нем мы не можем. О мощности таких множеств будем говорить в старших классах.

Если два множества состоят из одинакового количества элементов (имеют равные мощности), то они называются равномощными. Например, множество времен года и множество арифметических знаков равномощны, так как каждое из них содержит по четыре элемента.

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент из В является элементом А. Записывается это так: B  A. Также говорят, что А содержит (или включает) В.

1. Обозначим множество выходных дней недели буквой В, а множество рабочих дней (будни) – буквой Б.

ЗАДАНИЕ . Даны множества:

множество А учеников 5 класса нашей школы;

множество В всех учеников нашей школы;

множество С учеников 5 класса нашей школы, посещающих бассейн;

множество Е всех учащихся школ города Карасука;

множество К учеников 5 профильного класса нашей школы.

множество А есть подмножество множества В (да)

множество А есть подмножество множества К (нет, А больше К)

множество В есть подмножество множества Е (да)

множество К есть подмножество множества С ( нет)

Есть несколько способов обозначения множеств. Можно переписать все элементы множества в фигурные скобки .

( устно) Приведите примеры множеств, элементами которого являются:

а) животные ( например семейство или род или вид и т.п.)

б) числа ( например однозначные, чётные, делящиеся на 4 и т.)

в) геометрические фигуры.

2. Перечислите элементы множеств:

г) цветов радуги. ( Взаимопроверка с соседом – на оценку )

А – множество фруктов в корзине

В – множество яблок в этой корзине

С – множество груш в этой корзине

D – множество слив в этой корзине

Чем являются множества В, С и D для множества А?( подмножеством)

Чем является множество А для множеств В, С и D ?(надмножеством)

Изучим понимание смысла основных операций используя диаграммы Эйлера -- Венна

Самостоятельная работа ( Самооценка):

Вам дана пара множеств:

Какое из ниже приведенных множеств является их пересечением:

Какое из ниже приведенных множеств является их объединением

МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ - (2.ч.)

Разминка для повторения и организационного момента.

Множество может включать совсем немного элементов и даже быть пустым – не иметь ни одного элемента.

Игра - Пирамида “множеств”

Мы с вами построим пирамиду множеств. На нижнем этаже пирамиды будет жить самое “толстое” множество: в нём 12 элементов. На верхнем этаже – множество из одного элемента, а на чердаке – пустое множество.

Я буду называть множество, а вы попытайтесь определить, сколько в этом множестве элементов. Ответ свой обоснуйте.

*множество месяцев года;

множество весенних месяцев;

множество богатырей в “Сказке о мёртвой царевне” А.С. Пушкина;

множество гласных букв в русском алфавите;

множество крыльев птицы;

*множество чисел, которые делятся на 0;

множество учебных месяцев в году;

*множество хвостов у волка;

множество пальцев на руке человека;

множество множество цифр больше 1;

множество мальчиков нашего класса

Ученик, первый правильно назвавший количество элементов во множестве, помещает его название на нужном “этаже” пирамиды.

Для счета предметов применяют натуральные числа.

Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Такую запись чисел называют десятичной.

Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, .

Самое маленькое натуральное число — единица (1).

В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего.

Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет.

Значение цифры зависит от ее места в записи числа.

цифра 4 означает: 4 единицы, она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц),

цифра 7 десятки, она стоит на предпоследнем месте(в разряде десятков),

цифра 6 сотни, она стоит на третьем месте от конца (в разряде сотен) и т.д.

Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа "нуль". Это число означает "ни одного".

Нуль не относят к натуральным числам. Если запись натурального числа состоит из одного знака — одной цифры, то его называют однозначным. Например, числа 1, 5, 8 — однозначные.

Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным.

Например, числа 14, 33, 28, 95 — двузначные.

Числа 386, 555, 951 — трехзначные.

Числа 1346, 5787, 9999 — четырехзначные и т. д.

Обозначим буквой N множество натуральных чисел.

Какое же множество – матрёшка для множества натуральных чисел? ( однозначные, двузначные и т.п.)

Закрепление темы:

Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества:

а) множество чисел, делящихся на 2 ;

б) множество чисел делящихся на 5;

в) множество деревьев в лесу;

г) множество натуральных чисел;

д) множество рек Новосибирской области;

Запишите, какие из перечисленных чисел: 1; ; 25; 3,5; 167 принадлежат множеству N , а какие нет. Подход к использованию примеров зависит от уровня группы

4. 1 N ; 25  N ; 167  N ;  N ; 3,5  N .

Какие свойства натурального ряда вы запомнили?

Натуральный ряд начинается с 1.

В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего.

Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет.

Вам представлен тест с выбором правильного ответа. После каждого вопроса обведите в кружок букву с правильным ответом

1. Определить какое из множеств является подмножеством

2. Какое из множеств определяет , если А = , B =

3. Какое из множеств определяет , если A = , B =

4. Какое множество определяет А\В, если А = < a , b , c , d , e , f >, B =

5. На каком рисунке изображено объединение множеств А и В ( )?

1. Определить какое из множеств является подмножеством

2. Какое из множеств определяет , если А = , B =

3. Какое из множеств определяет , если A = , B =

4. Какое множество определяет А\В, если А = < m , n , k , l , t >, B =

5. На каком рисунке изображено пересечение множеств А и В ( )?

Высокий . Классифицирует множества, умеет найти пересечение множеств, объединение множеств; понимает свойства натурального ряда; умеет находить различные подмножества данных множеств; решает задания на логическое мышление, на нахождение числовых закономерностей и на смекалку.

Средний . Решает задания с помощью учителя; умеет классифицировать множества, определяет принадлежность элемента данному множеству; решает простейшие задания на логику, на нахождение закономерностей, на смекалку.

Низкий . Решает задания с помощью учителя; имеет понятие о множестве, об элементе множества, о множестве натуральных чисел.

Творческие работы учащихся:

Игра “Множества-матрешки ”. Правила игры : Я называю множество, а вы для него множество-матрёшку ( т.е. – подмножество)

множество игрушек (механические игрушки, резиновые, мягкие, электронные, . )

множество посуды (фарфоровая, деревянная, чайная, столовая, декоративная, . )

множество букв (гласные, согласные, заглавные,…)

Множества одежды ( рубаха, платье и т.д.)

Игра “Аукцион множеств ”

Я называю остров, на котором живёт множество, а вы – жителей этого острова – элементы множества. Выигрывает тот, кто последним назвал элемент заданного множества. Множество овощей (картофель, капуста, морковь, огурцы, помидоры. свекла ).

Свекла – раз, свекла – два, свекла – три.

Множество деревьев (берёза, осина, сосна, дуб, ель, липа. тополь).

Тополь – раз, тополь – два, тополь – три.

Посмотрите, как много мы назвали жителей этих островов, т.е. элементов множеств. Но назвали мы их не все, их гораздо больше.

Так от какого же слова происходит слово “множество”? (От слова “много”)

Однако в математике словом “множество” обозначают необязательно большую группу предметов или существ. Бывают множества с одним элементом.

Например, множество звёзд, освещающих Землю.

Назовите единственный элемент этого множества. (Солнце)

Бывают и пустые множества.

Например, множество птиц среди гостей Мухи-Цокотухи.

Приведите свои примеры множества с одним элементом, пустого множества.

В каких двух множествах живет крокодил Гена? (во множестве животных и множестве героев мультфильма).

Красная Шапочка? (во множестве людей, множестве детей и множестве героев сказок).

Игра “Пересечение множеств”.

У вас на парте две карточки

Правила игры . Я буду называть пары множеств. Если множества не пересекаются, то вы показываете карточку 1, если пересекаются, то карточку 2 и придумайте пример какого-нибудь элемента этих множеств, который находится на пересечении, и поднимите руку.

множества животных и героев мультфильмов (Винни-Пух, Кот Матроскин, Ослик Иа. );

множества хищников и полосатых животных (тигр);

множества рыб и птиц ( пустое)

множества продавцов и покупателей (продавец, идущий в магазин в свой выходной день);

множества цветов и бабочек ( пустое)

множества учителей и родителей (учитель, имеющий ребёнка);

множества чётных чисел и чисел, которые делятся на 4 (4, 8, 16, 20,…)

ИТОГ! РЕФЛЕКСИЯ Весь класс поделим на 3 множества :

Я очень хорошо понял изученную тему

Мне не всё понятно

Мне понятно мало , из изученного.

Я нахожусь во множестве…

Список литературы:

6. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: Задачи на смекалку.: Учебное пособие для 5-6 кл. М.: Просвещение, 1995г.

7. Ресурсы Internet

10. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: Задачи на смекалку.: Учебное пособие для 5-6 кл. М.: Просвещение, 1995г. – 8

б) Коллективная работа у доски

- множество четных чисел

- множество двузначных чисел

Какие два множества даны? (множество четных чисел и множество двузначных чисел)

Данные числа надо вписать в фигуры.

Каждый, кто вписывает число, должен ответить на два вопроса:

Твоё число чётное?

Твоё число двузначное?

Давайте рассуждать. Если оба вопроса имеют ответ “Да”, то куда мы впишем число? (На пересечении двух фигур). Покажите пересечение двух фигур.

А если только на один вопрос ответим “Да”, то место для числа надо искать либо вверху квадрата, либо в треугольнике за пределами квадрата. Начнём.

Сколько чисел нужно добавить, чтобы в квадрате и треугольнике стало по 6 чисел?

(1 вариант решения: добавить по одному числу – одно в квадрат, другое - в треугольник)

(2 вариант решения: добавит одно число в область пересечения)

Для обоих вариантов решения учитель просит подобрать конкретные числа и вписать их в соответствующие области рисунка на доске.(1 вариант: 4 и 19; 2 вариант: 2)

г) Самостоятельная работа с раздаточным материалом

Прочитайте второе задание на карточке.

Впиши в фигуры названия из списка:птица зверь песня

гвоздь ночь дождь

шторм мышь ветка

Какие два множества даны в этом задании? (Множество слов, состоящих из одного слога и множество слов, состоящих из 5 букв)

Какие слова должны попасть в пересечение этих множеств? (В них должно быть 5 букв и один слог).

Выполните задание самостоятельно.

Один человек выполняет у доски.

“ За что” слова “шторм”, “зверь” и “гвоздь” попали на пересечение множеств? (В них один слог и пять букв).

д) Игра “Пересечение множеств”

Далее нас ждёт еще одна разминка – игра “Пересечение множеств”.

У вас на парте две карточки

Правила игры. Я буду называть пары множеств. Если множества не пересекаются, то вы показываете карточку 1, если пересекаются, то карточку 2 и придумайте пример какого-нибудь элемента этих множеств, который находится на пересечении, и поднимите руку.

множества животных и героев мультфильмов (Винни-Пух, Кот Матроскин, Ослик Иа. );

множества хищников и полосатых животных (тигр);

множества рыб и птиц;

множества продавцов и покупателей (продавец, идущий в магазин в свой выходной день);

множества цветов и бабочек;

множества учителей и родителей (учитель, имеющий ребёнка);

множества растений и хищников (растение-хищник “мухоловка”);

множества чётных чисел и чисел, которые делятся на 4 (4, 8, 16, 20).

Краткое описание документа:

"Описание материала:

Модульная программа по математике в 5 классе

Автор: учитель математики МБОУ технического лицея № 176 Карасукского района ЗОБОВА ЕЛЕНА ВАСИЛЬЕВНА

Тема: МНОЖЕСТВО. ЭЛЕМЕНТЫ МНОЖЕСТВА. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ЭЛЕМЕНТА МНОЖЕСТВУ. МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Основную обучающую идею модуля можно выразить формулировкой: через изучение частного к осознанию общего для решения частного. При этом ученику предлагается понять суть темы модуля через естественную связь математики с окружающим миром.

Изучение математики начинается с натуральных чисел и действий с ними. Но интуитивно мы уже многое знаем с малых лет. В этой статье познакомимся с теорией и научимся правильно записывать и произносить сложные числа.

О чем эта статья:

Определение натурального числа

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.

Вот какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т. д.

Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.

Наименьшее натуральное число: единица (1).
Наибольшее натуральное число: не существует. Натуральный ряд бесконечен.
У натурального ряда каждое следующее число больше предыдущего на единицу: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать латинской буквой N.

Какие операции возможны над натуральными числами

сложение:
слагаемое + слагаемое = сумма;
умножение:
множитель × множитель = произведение;
вычитание:
уменьшаемое − вычитаемое = разность.

Записывайтесь на курсы обучения математике для учеников с 1 по 11 классы!

Десятичная запись натурального числа

В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.

Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.

Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность цифр может быть разной и некоторые даже могут повторяться.

077, 0, 004, 0931 — это примеры неправильной записи натуральных чисел, потому что ноль расположен слева. Число не может начинаться с нуля. Это и есть десятичная запись натурального числа.

Количественный смысл натуральных чисел

Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.

Основная функция натурального числа — указать количество предметов.

Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа

Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.

По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.

Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.

Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.

Вот как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.

Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 сотен, 0 десятков и 6 единиц.

Точно так же определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.

Многозначные натуральные числа

Многозначные натуральные числа состоят из двух и более знаков.

1 000 — это множество с десятью сотнями, 1 000 000 состоит из тысячи тысяч, а один миллиард — это тысяча миллионов. Тысяча миллионов, только представьте! То есть мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число как набор однозначных натуральных чисел.

Например, 2 873 206 содержит в себе: 6 единиц, 0 десятков, 2 сотни, 3 тысячи, 7 десятков тысяч, 8 сотен тысяч и 2 миллиона.

Сколько всего натуральных чисел?

Однозначных 9, двузначных 90, трехзначных 900 и т.д.

Свойства натуральных чисел

Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:

множество натуральных чисел	бесконечно и начинается с единицы (1)
за каждым натуральным числом следует другое	оно больше предыдущего на 1
результат деления натурального числа на единицу (1)	само натуральное число: 5 : 1 = 5
результат деления натурального числа самого на себя	единица (1): 6 : 6 = 1
переместительный закон сложения	от перестановки мест слагаемых сумма не меняется: 4 + 3 = 3 + 4
сочетательный закон сложения	результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
переместительный закон умножения	от перестановки мест множителей произведение не изменится: 4 × 5 = 5 × 4
сочетательный закон умножения	результат произведения множителей не зависит от порядка действий; можно хоть так, хоть эдак: (6 × 7) × 8 = 6 × (7 × 8)
распределительный закон умножения относительно сложения	чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить: 4 × (5 + 6) = 4 × 5 + 4 × 6
распределительный закон умножения относительно вычитания	чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе: 3 × (4 − 5) = 3 × 4 − 3 × 5
распределительный закон деления относительно сложения	чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты: (9 + 8) : 3 = 9 : 3 + 8 : 3
распределительный закон деления относительно вычитания	чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе: (5 − 3) : 2 = 5 : 2 − 3 : 2

Разряды натурального числа и значение разряда

Напомним, что от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Так, например, 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу. При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.

Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще — чтобы визуально разделить разные классы чисел.

Класс — это группа разрядов, которая содержит в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.

Десятичная система счисления

Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.

Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трех одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от ее позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.

Вопрос для самопроверки

Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами:

-Формирование умений организовывать себя на работу, проводить сравнительный анализ полученного результата, пользоваться умением самопроверки, реализации всевозможных способов работы с разнообразием чисел.

Содержимое разработки

Урок в 10-Б классе по алгебре и началам математического анализа

По теме: Множества чисел. Свойства действительных чисел

Дата урока: 06.09.2017г

Учитель математики и информатики: Полищук А.В.

-Понятие множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел;

Работа и необходимые вычисления с дробными, рациональными и иррациональными числами;

Понятие числовой прямой и координаты точки на числовой прямой;

Основные математические символы обозначения чисел, множеств и действия над ними;

-Расширение понятийной базы по теме числа и отработка навыков работы с числами;

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, проектор, презентация.

Формы учебной работы: индивидуально-коллективная (группами и парами)

Организационный момент.

Приветствие. Постановка цели и темы урока. Проверка д.з.

Актуализация опорных знаний.

Какие числа наз. натуральными?

Какие числа наз. целыми?

Какие числа наз. рациональными?

Какие числа наз. иррациональными?

Какие числа наз. действительными?

Математический диктант, в котором проверяются знания на умение пользоваться математическими символами обозначения множеств и принадлежности чисел тому или иному множеству.

Изучение новой темы.

Множества чисел.

Напомним обозначения некоторых множеств чисел, которые вам часто придется рассматривать:

N - множество всех натуральных чисел

Z - множество всех целых чисел

Q - множество всех рациональных чисел

R - множество всех действительных чисел

R- множество всех положительных действительных чисел

[а;в] - отрезок – множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству а ≤ х ≤ в . Точки а и в называются концами отрезка и принадлежат этому отрезку.

(а;в) – интервал - множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству а

[а;в) – полуинтервал - множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству а ≤ х

(а;в] - полуинтервал - множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству а

Множество не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством. Его обозначают знакомØ.

Тот факт, число принадлежит или не принадлежит множеству чисел, записывают с помощью определенных знаков:- принадлежит, - не принадлежит.

Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Обозначают А U В.

Пересечением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит и множеству А, и множеству В. Обозначается А В.

Решение упражнений.

Решить № 1.22, 1.23

Физкультминутка.

Введение новых понятий.

Свойства действительных чисел

Действительные числа обладают следующими свойствами:

Свойства сложения и вычитания

а + в = в + а (переместительное свойство сложения)

(а + в) + с = а + ( в + с) (сочетательное свойство сложения)

Свойства умножения и деления

а*в = в*а (переместительное свойство умножения)

(а*в)*с = а*(в*с) (сочетательное свойство умножения)

а* = 1 (а0)

а*=(в0)

(а + в)*с = а*с + в*с (распределительное свойство)

Закрепление новой темы.

Решить № 1.26

Решение заданий для подготовки к ЕГЭ из сборника под ред. И.В. Ященко 2017г.

Итоги урока.

Как обозначают множества:

Домашнее задание. (прокомментировать)

Прочитать §2, выучить основные понятия. Решить № 1.21 (устно), № 1.24, доп. № 1.25*

Самоанализ урока по алгебре и началам математического анализа в 10-Б классе Полищук А.В.

Тема: Множества чисел. Свойства действительных чисел

Дата урока: 06.09.2017г

-Понятие множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел;

Работа и необходимые вычисления с дробными, рациональными и иррациональными числами;

Понятие числовой прямой и координаты точки на числовой прямой;

Основные математические символы обозначения чисел, множеств и действия над ними;

-Расширение понятийной базы по теме числа и отработка навыков работы с числами;

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, проектор, презентация.

Формы учебной работы: индивидуально-коллективная (группами и парами)

Организационный момент.

Актуализация опорных знаний.

Изучение новой темы.

Решение упражнений.

Физкультминута.

Итоги урока.

Домашнее задание.

Все этапы урока выполнены. На каждом этапе стремилась построить работу таким образом, чтобы каждый ученик чувствовал себя полноценным участником образовательного процесса. Деятельность учащихся была направлена на решение поставленных задач и развитие самого себя. Свою задачу видела в том, чтобы вовлечь каждого в работу, создать условия для самореализации и уверенности в себе.

Психологическая атмосфера на уроке и общение учителя и учащихся доброжелательна и уважительна.

Задания выстраивала по принципу от простого к сложному. Это очень важная тема для последующих уроков, входящих в комплект заданий ЕГЭ.

В 10-Б классе очень сильные ребята, поэтому тема была усвоена успешно; в результате написания самостоятельной работы неудовлетворительных оценок нет. Все учащиеся смогли фронтально ответить на все вопросы учителя. Учебная работа на уроке была разнообразна: это – работа у доски, устные ответы, работа с учебником, работа в парах по взаимоконтролю, взаимопроверке, советы по домашнему заданию.

Читайте также: