Многочлены от одного переменного 10 класс колягин конспект урока
Обновлено: 06.07.2024
Ход лекции
Опр. Многочленом от х называется выражение вида a 0 x n + a 1 x n -1 +…+ a n -1 x + a n , где a 0; a 1; …; a n — некоторые числа, называющиеся коэффициентами, х — переменная, вместо которой можно подставить любое числовое значение.
Коэффициент a n — называют свободным членом многочлена, коэффициент a 0 ( a 0 0 ) — называют старшим коэффициентом, а слагаемое a 0 x n — старшим членом, а сам многочлен называют многочленом n -ой степени.
Для сокращения записи многочлена используют функциональную символику.
Условимся, например, обозначать многочлен P n ( x )= a 0 x n + a 1 x n -1 +…+ a n , ( a 0 0).
Опр. Значением многочлена при х=с называют число, которое получается, если
вместо х подставить число с и произвести указанные действия.
P n (c)= a 0 c n +a 1 c n-1 +…+a n .
Например, P 3 = x 3 -2 x 2 +3 x -5 P 3 (2)=1
Заметим, что при х=0 P n (0)= a n , то есть значение многочлена при х=0 равно
А при х=1 P n (1) = a 0 + a 1 +…+ a n . Таким образом, значение многочлена при х=1 равно сумме всех коэффициентов этого многочлена.
Пр.1 Найти сумму коэффициентов многочлена 1+(х 2 -6х+5)(х 5 +3х 4 -2х 3 +х 2 -х-
Например, 7( x 2 -3 x )+( x +1) 3 -5(2 x 2 +1) = 7 x 2 -21 x + x 3 +3 x 2 +3 x +1-10 x 2 -5 = x 3 +0 x 2 -18 x -4= = x 3 -18 x -4.
Если коэффициенты многочлена равны нулю, то многочлен называют нулевым P n ( x ) = 0
Это единственный многочлен, степень которого не определена.
Опр . Всякий отличный от нуля многочлен можно записать в виде Р n (х)=
a 0 x n +…+ a n (то есть в порядке убывания степеней переменной х). Такую запись
называют канонической записью многочлена n -ой степени.
Опр. Два многочлена считаются равными, если их каноническая запись одинакова,
то есть степени этих многочленов равны и соответствующие коэффициенты равны.
Иными словами, если P n ( x ) = a 0 x n + a 1 x n -1 +…+ a n
Q m ( x )= b 0 x m + b 1 x m -1 +…+ b m , то
P n ( x ) = Q m ( x )
Пр. 2 Найдите, при каких a , b и с выполняется равенство
Ответ. a =3; b =-7; c =4
Действия над многочленами.
Пусть даны два многочлена
P 3 (x) = 2x 3 -x 2 -5x-2
Найти их сумму, разность и произведение.
P 3 (x) + P 2 (x) = 2x 3 -6x-4 = Q 3 (x)
P 3 (x) - P 2 (x) = 2x 3 -2x 2 -4x = G 3 (x)
P 3 (x)P 2 (x) = ( 2x 3 -x 2 -5x-2)( x 2 -x-2)
старший коэффициент = 2 свободный член = 4
Сумма, разность и произведение двух многочленов также является многочленом.
Степень многочлена Р(x) + Q ( x ) или P(x)-Q(x) не превосходит наибольшей из степеней многочленов P ( x ) и Q ( x ).
Степень многочлена P ( x ) Q ( x ) равна сумме степеней многочленов P ( x ) и Q ( x ) , а старший коэффициент многочлена P(x)Q(x) равен произведению старших коэффициентов многочленов P(x) и Q(x).
Перейдем теперь к рассмотрению деления многочленов.
1) Опр. Пусть P ( x ) и Q ( x ) — два многочлена, причем многочлен Q ( x ) отличен от нуля. Если существует такой многочлен G ( x ), что P ( x ) = Q ( x ) G ( x ), то говорят, что многочлен P ( x ) делится на Q ( x ).
Например, P 3 ( x )=2 x 3 - x 2 -5 x -2
P 2 ( x )= x 2 - x -2
Разделим многочлен P 3 ( x ) на многочлен P 2 ( x ).
По определению, P 3 ( x ) = P 2 ( x ) G ( x ). Определим степень многочлена G ( x ). Какого вида будет многочлен G ( x ) ?
Отв: степень G ( x ) = 1; G ( x ) = ax + b .
Тогда 2 x 3 - x 2 -5 x -2 = ( x 2 - x -2)( ax + b )
Найдем при каких а и b многочлены будут тождественно равны.
Значит, G ( x ) = 2х+1.
Этот метод деления называется методом неопределенных коэффициентов.
В
о множестве многочленов не всегда можно выполнить деление без остатка. Имеется более общая операция, называемая делением с остатком, которая всегда осуществима во множестве многочленов. Например,
Опр. Пусть Р(х) и Q ( x ) – два многочлена, причем многочлен Q ( x ) отличен от нуля. Если существуют такие многочлены G ( x ) и R ( x ), что выполнимо равенство Р(х)= Q ( x ) G ( x )+ R ( x ), то говорится, что многочлен Р(х) делится на Q ( x ) с остатком. Многочлен G ( x ) называют частным, R ( x ) — остатком.
Задание. Найти частное и остаток при делении многочлена P 4 ( x ) на двучлен Q ( x )= = x - .
Вычисление коэффициентов b 1 ; b 2 ; b 3 и R можно записать в следующую схему
Используя данную схему, найдем коэффициенты частного и остаток при делении
При делении P 4 ( x ) на двучлен Q ( x ) = x -1 имеем равенство P 4 ( x ) = ( x -1) G 3 ( x ) + R .
Заметим, что при х =1 , P 4 (1) = (1-1) G 3 ( x ) + R
Действительно, P 4 (1) = 1+1+3+2+2 = 9
То есть, остаток от деления многочлена P 4 ( x ) на двучлен ( x -1) равен значению многочлена P 4 ( x ) при x =1. R = P 4 (1).
При делении многочлена P n ( x )= a 0 x n + a 1 x n -1 +…+ a n , расположенного по
убывающим степеням x на двучлен (х-α) применяется метод сокращенного деления, называемого схемой Горнера.
Этот метод есть непосредственное следствие метода неопределенных коэффициентов. Заметим, что при делении P n ( x ) степени n на двучлен (х- ) в частном получается многочлен , степени ( n -1) , а в остатке число.
По методу неопределенных коэффициентов имеем
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и в правой части равенства, находим
Вычисление коэффициентов частного Q n -1 ( x ) и остатка R проводится по следующей схеме
В этой схеме, начиная с коэффициента b 1, , каждое число третьей строки получается из предыдущего числа этой строки умножением на число и прибавлением к полученному результату соответствующего числа первой строки, стоящего над искомым числом. Данная схема называется схемой Горнера.
При делении многочлена P n ( x ) на (х- ) имеем тождественное равенство
P n ( x ) = ( x - ) Q n -1 ( x ) + R
если х= , то P n ( ) = R .
Итак , мы смогли найти остаток от деления многочлена на двучлен, не находя частного. То есть, имеет место следующая теорема.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P n ( x ) на двучлен (х- ) равен значению многочлена P n ( x ) при х= , то есть R = P n ( ).
Пример: P 4 (1) = 1 + 1 + 3 + 2 + 2 = 9.
Таким образом мы систематизировали сведения о многочленах, познакомились с действиями, совершаемыми над ними. А применение выше изложенных методов деления многочленов и теоремы Безу мы рассмотрим на последующих занятиях.
а есть для 11 класса алгебра того же автора ?И если есть технологические карты уроков для 10, 11 классов геометрия Атанасян издательство учитель, выложите плиз.
Анна Вячеславовна Громенюк
Войти на сайт
Войти через социальную сеть
Свидетельство участника образовательного сообщества
Скачайте документ бесплатно сразу после регистрации на сайте.
Материал презентации к уроку по теме " Многочлены от одной переменной" соответствует материалу Главы1. Многочлены, п.1 "Многочлены от одной переменной" в учебнике Алгебра и начала математического анализа. 11класс. Профильный уровень ( автор учебника А. Г. Мордкович). Использовать презентацию можно при объяснении нового материала, а также при закреплении материала по изученной теме. Слайды презентации содержат сопроводительный текст, задания по теме. Данная презентация дает представление обучающимся о таком понятии как многочлен от одной переменной, его стандартном виде, приведенных и неприведенных многочленах, операциях над многочленами, делении многочлена на многочлен, рассмотрен метод деления столбиком.
Тема урока:
Многочлены от одной переменной.
11 класс
Учитель математики
Казанцева М. В.
Рассмотрим многочлены:
2х 2 – 11х +12
х 6 + 11
Эти многочлены записаны в стандартном виде.
Многочлен стандартного вида не содержит подобных членов и записан в порядке убывания степеней его членов.
Р(х)= а п х п +а п–1 х п–1 +а п–2 х п–2 +
+… + а 2 х 2 + а 1 х+ а 0
где а 0 , а 1 , а 2 …. а п – некоторые числа, причем а п 0, п
а п х п – старший член многочлена
а п – коэффициент при старшем
члене
п – степень многочлена
а 0 – свободный член многочлена
Р(х)= а п х п +а п–1 х п–1 +а п–2 х п–2 +
+… + а 2 х 2 + а 1 х+ а 0
а п =1 ,
то многочлен Р (х)- приведенный
Пример: х+3; х 5 +3х 2 -4
а п ≠1 ,
то многочлен Р (х)- неприведенный
Пример: 2х 2 +х; -0,5х 7 +3х 3 -11
Теорема 1:
Два многочлена ( стандартного вида) тождественно равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
Задача №1
Найти числа а и b, если многочлен х 3 + 6х 2 + ах + b равен кубу двучлена х + 2
Операции над многочленами:
1. Сложение и вычитание.
При сложении (вычитании) двух многочленов разной степени, получится многочлен, степень которого равна большей из имеющихся степеней.
Задача №2
Найдите сумму многочленов
х+3 и -0,5х 5 +3х 2 -4
Операции над многочленами:
1. Сложение и вычитание.
При сложении (вычитании) двух многочленов одной и той же степени, получится многочлен той же или меньшей степени.
Задача №3
Найдите сумму и разность многочленов
2х 3 +3х 2 -х и -2х 3 +3х-4
Операции над многочленами:
2. Произведение.
Если многочлен р(х) имеет старшую степень m, а многочлен s(x) – степень n, то их произведение р(х)∙ s(x) имеет степень m+n.
Задача №4
Найдите произведение многочленов
х+3 и -0,5х 5 +3х 2 -4
Операции над многочленами:
3. Возведение в степень.
Если многочлен р(х) степени m возвести в степень n, то получится многочлен степени mn.
Задача №5
Возведите многочлен
-0,5х 5 +3х 2 -4 в квадрат
Операции над многочленами:
4. Деление многочлена намногочлен.
Если многочлен р(х) делится нацело на ненулевой многочлен s(х), если существует такой многочлен q(х), что выполняется тождество:
p(х) = s(х) · q(х)
р(х) –делимое (или кратное)
s(х) –делитель
q(х) –частное
Способ деления уголком
Разделить многочлен 8х 2 +10х–3 на многочлен 2х+3
– 3
8х 2 +10х–3
8х 2 +12х
– 1
– 2х
– 2х–3
Задача №6
Задача №7
Разделить многочлен х 3 – 3х 2 + 5х – 15 на многочлен х – 3
Задача №8
Разделить многочлен х 4 + 4 на многочлен х 2 + 2х + 2
2.Развивающая – развивать умения самостоятельного решения типовых задач, связанных с преобразованием многочленов;
3.Воспитывающая – воспитывать чувство ответственности, желание расширить и углубить знания, полученные на уроке.
В начале урока с краткими историческими сведениями из истории многочленов с одним переменным выступает один ученик. О норвежском математике Н.Абеле, строго доказавшем невозможность решения в радикалах уравнений пятой и высших степеней рассказывает другой ученик.
Понятие многочлена от одной переменной возникло в связи с задачей решения алгебраических уравнений от одной переменной, которой занимались уже в глубокой древности. Современная же математика изучает и использует в общем случае многочлены от одной переменной, у которых коэффициенты а0,а1,…,аn являются объектами произвольной природы, а не только числами. Теория симметрических многочленов начала развиваться в связи с доказанными Ф.Виетом формулами, выражающими коэффициенты многочлена, как симметрические функции его корней.
После этого рассматривается решение типовых задач, оформленных на доске, учащиеся проверяют решение, делают замечания или задают вопросы, оценивают ответы подгрупп- соперники.
По 2 учащихся от каждой подгруппы готовят ответы на теоретические вопросы, вынесенные на зачёт (Приложение №2).
Теорему Виета применять нельзя, т.к. дискриминант рассматриваемого квадратного трёхчлена отрицателен. Корни уравнения не существуют, и найти сумму квадратов его корней нельзя.
Французский математик, член Парижской Академии. Его работы посвящены исследованию свойств систем алгебраических уравнений высших степеней и исключению неизвестных в таких системах. Мы рассматривали теорему Безу о делении многочлена на линейный двучлен.
Английский математик. Основные труды по теории алгебраических уравнений. С его именем связана схема деления многочлена на двучлен х-α (схема Горнера).Схема была предложена Горнером в 1819г.
1. Доказать, что выражение (х+1)(х+2)(х+3)(х+4) + 1 является квадратом трёхчлена. Ответ: (х2 + 5х + 5)2
2. Многочлен Р(х) при делении на х-2 даёт остаток 5, а при делении на х-3 остаток равен 7. Найдите остаток от деления Р (х) на х2 - 5х + 6. Ответ: 2х+1
Совет учиться на ошибках другого бесполезен, научиться чему-либо можно только на собственных ошибках.
1.Многочлен от одной переменной (основные понятия). Действия над многочленами. 2.Теорема Безу. Схема Горнера, её применение. Корни многочлена, кратные корни. 3.Уравнения. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности.
4.Основные методы решения уравнений. Отыскание рациональных корней уравнения с целыми коэффициентами.
1.Известно, что многочлен 2х4 - х3 + 2 х2 + 1 делится на многочлен х2 - х + 1. Найдите частное от деления.
2.При каких значениях а и b многочлен ах2 + bх – 3 делится без остатка на х + 3, а при делении на х – 2 даёт остаток, равный 5?
Играют двое. Первый ставит на любое из пустых мест (оно обозначено тремя точками) целое число, отличное от нуля (положительное или отрицательное). Затем второй ставит целое число на одно из оставшихся мест. Наконец, первый ставит целое число на последнее свободное место. Докажите, что первый может играть так, что независимо от хода второго все три корня получившегося многочлена оказались целыми числами (Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я.Симметрия в алгебре; М. 1967 г.; Данилов Ю.А. Многочлены Чебышева;Мн. 1984 г)
Читайте также: