Логарифмические уравнения конспект урока 10 класс

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Разработка уроков в 10 классе..doc

Цель: 1.Ввести алгоритм решения логарифмических уравнений, используя свойства логарифмов и логарифмической функции.

Научиться решать логарифмические уравнения, используя различные способы решения. Показать применение темы на итоговой аттестации.

2. Развивать умение обобщать учебный материал, выделять главное и применять в решении.

3. Воспитывать интерес к предмету через использование ИКТ.

Алгебра и начала анализа 10 класс.

Используемая литература:

1.Учебник: Алгебра и начала анализа – 10 класс. Ю.М.Колягин. Москва, Мнемозина, 2001 год.

3. КИМы по ЕГЭ за различные годы.

Учитель: Сидорова Галина Степановна.

МОУ Первомайская СОШ.

Категория – первая, педстаж – 23 года.

1 урок.

I . Организационный момент.

Вычислим устно. Вспомним, какие свойства применяем при решении.

Назовите свойства следующей функции:

Найдите область определения функции.

III . Объяснение новой темы.

Итак, вся эта теория нам пригодится в дальнейшем.

1.Определение: Уравнение вида называется логарифмическим.

2. При решении логарифмического уравнения часто используются свойства логарифмов.

3. Рассмотрим несколько примеров. На первом уроке мы будем решать простейшие уравнения, чтобы начать отработку решения логарифмических уравнений.

Пример1. Решить уравнение

Помним, что логарифмическая функция ограничена в своей области определения, поэтому начнем с области определения.

3. Проверим, входит ли полученный корень, в область определения, и записываем ответ. Ответ: 3.

Пример 2. Решить уравнение:

Начнем с области определения.

- парабола, ветви вверх, найдем пересечение с Ох, для этого решим уравнение Это уравнение не имеет корней, следовательно, график параболы выше оси Ох при любых значениях х.

2. Решаем уравнение вида . Решая это квадратное уравнение получаем корни х₁ = 2, х₂ = -3. Так как область определения неограниченна, оба эти числа идут в ответ. Ответ:-3, 2.

IV . Закрепление новой темы.

Итак, используя полученную теорию, попробуем решать простейшие логарифмические уравнения. Так как эта тема новая, отрабатывать решение уравнений будем вместе – у доски.

Итак, предлагаемые для решения уравнения:

V . Домашняя работа. п. 18 (теория), № 366(2, 4, 5).

VI . Подведение итога урока.

2 урок.

I . Организационный момент.

На первом уроке мы попробовали решать простейшие логарифмические уравнения, посмотрели теорию, и выполнили домашнее задание. Сегодня мы продолжим, и будем решать более сложные задания.

Начнем с проверки домашнего задания.

II . Проверка домашнего задания.

Опрос теории: какие виды логарифмических уравнений вы знаете; алгоритмы их решения;

Посмотрим решение домашних примеров (контроль по образцу).

III .Закрепление изучаемой темы.

1) Объяснение учителем. Итак, сегодня мы решаем уравнения более сложного уровня. При решении мы будем применять следующую теорию:

Если в уравнении сумму логарифмов двух выражений заменить логарифмом их произведения, то полученное уравнение будет следствием данного.

Если в уравнении разность логарифмов двух выражений заменить логарифмом их частного, то полученное уравнение будет следствием данного.

Пример 1. Решить уравнение:

Проверка показывает, что число 5 не является корнем исходного уравнения, так как при подстановке левая и правая части теряют смысл.

Пример 2. Решить уравнение.

Решая, получаем корни: х₁ = 2; х₂ = -2. Проверкой убеждаемся, что х = 2 – корень уравнения, а х = -2 не является корнем уравнения. Ответ: 2.

Практическая работа (работа по группам).

Класс разбивается на три группы. Каждая группа решает предложенные задания с последующим обсуждением решения у доски.

IV . Домашняя работа. №369(4,5), №370(3), №371(4).

V . Подведение итога урока.

3 урок.

I .Организационный момент.

Мы продолжаем изучать алгоритмы решения логарифмических уравнений. Сегодня рассмотрим решение уравнений несколько другого вида. Вначале посмотрим, как мы выполнили задание на дом. ( консультация – ответы на все непонятные моменты из домашнего задания).

II . Закрепление изучаемой темы.

Объяснение учителем (с привлечением сильных учащихся). Я начинаю решение, вы заканчиваете.

Итак, сегодня мы рассмотрим еще два вида логарифмических уравнений.

Пример 1. Решите уравнение:

Решается это уравнение путем разложения на множители.

Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями уравнения. Ответ: 1, 16.

Пример 2. Решите уравнение:

Чтобы его решить, нужно вспомнить свойства показательной функции.

Проверка показала, что х = 100 является корнем уравнения. Ответ: 100.

Итак, решение таких уравнений мы сейчас будем выполнять.

Решим вместе из учебника №377(2) и №374(2).

III . Самостоятельная работа.

Решим самостоятельно следующие задания:

IV . Домашняя работа. №380(1, 4), №372(2).

V . Подведение итога урока.

4 урок.

Анализ самостоятельной работы. Разбор типичных ошибок, комментирование оценок.

III . Закрепление изучаемой темы.

Мы продолжаем рассматривать решения логарифмических уравнений. Сегодня посмотрим уравнения, которые решаются введением новой переменной. Для их решения нужно вспомнить алгоритмы решения квадратных и дробно-рациональных уравнений.

Вспоминаем алгоритмы решения квадратных и дробно-рациональных уравнений.

Решаем следующие уравнения:

Проверка показала, что оба корня подходят. Ответ:

Пусть Получаем уравнение:

Оба эти корня удовлетворяют условию уравнения. Ответ:

Решаем по данному алгоритму аналогичные уравнения ( решаем у доски с комментированием и самопроверкой).

Итак, мы с вами посмотрели основные виды решений логарифмических уравнений.

Дома вы порешаете уравнения, аналогичные сегодняшним – это №381(3,4), а также посмотрите по вашим КИМам, где применяется эта тема на экзамене.

Подведение итогов урока.

5 урок.

Проверка домашнего задания ( контроль по образцу). Вопрос: Нашли ли применение темы на ЕГЭ?

Закрепление изучаемой темы.

Разбор решения заданий из ЕГЭ.

Логарифмические уравнения есть как в части А, так и в части В.

Рассмотрим решение некоторых из них.

Часть А: Какому промежутку принадлежит корень уравнения.

Часть В.Решите уравнение.

Часть В. Пусть (х₀;у₀) – решение системы уравнений

А193. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

А198. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (-4; -2) 2) (-2; 0) 3) 4)

А202. Найдите сумму корней уравнения.

1) 2,5 2)18 3)14 4)1,5.

А205. Найдите произведение корней уравнения

1) -100 2) -1 3) -10 4) 100.

А204. Укажите промежуток, которому принадлежит больший корень уравнения

VI .Подведение итогов занятия.

Итак, на протяжении пяти занятий, мы рассматривали различные способы решения логарифмических уравнений. Наша основная задача – решить их на экзамене, что мы сегодня попробовали сделать. Надеюсь, что вы хорошо усвоили этот материал и удачно примените теорию на экзамене. Желаю успеха!

Выбранный для просмотра документ Разработка уроков в 10 классе..ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

logax=b, где х > 0, а > 0, а ≠1. Уравнение содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Решение логарифмического уравнения. Решение логарифмического уравнения вида log a f (x)=log a g (x) основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f (x)=g (x) при дополнительных условиях f (x)>0, g (х)>0.

Мы рассмотрим следующие виды уравнений:

Пример1. Решить уравнение Помним, что логарифмическая функция ограничена в своей области определения, поэтому начнем с области определения. 3. Проверим, входит ли полученный корень, в область определения, и записываем ответ. Ответ: 3. Пример 2. Решить уравнение: Начнем с области определения. парабола, ветви вверх, найдем пересечение с Ох, для этого решим уравнение Это уравнение не имеет корней, следовательно, график параболы выше оси Ох при любых значениях х. 2. Решаем уравнение вида . Решая это квадратное уравнение получаем корни х1 = 2, х2 = -3. Так как область определения неограниченна, оба эти числа идут в ответ. Ответ:-3, 2.

Итак, предлагаемые для решения уравнения:

Пример 1. Решить уравнение: Проверка показывает, что число 5 не является корнем исходного уравнения, так как при подстановке левая и правая части теряют смысл. Ответ: -1. Пример 2. Решить уравнение. Решая, получаем корни: х1 = 2; х2 = -2. Проверкой убеждаемся, что х = 2 – корень уравнения, а х = -2 не является корнем уравнения. Ответ: 2. Обратим внимание, что при решении логарифмических уравнений замена логарифма произведения суммой логарифмов, логарифма частного разностью логарифмов может привести к потере корней!

Решите уравнения: 1 вариант. Решите уравнения: 2 вариант. Решите уравнения: 3 вариант.

Пример 1. Решите уравнение: Решается это уравнение путем разложения на множители. Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями уравнения. Ответ: 1, 16. Пример 2. Решите уравнение: Чтобы его решить, нужно вспомнить свойства показательной функции. Проверка показала, что х = 100 является корнем уравнения. Ответ: 100.

2 вариант 1 вариант

Пример 1. Проверка показала, что оба корня подходят. Ответ: Пример 2. Пусть Получаем уравнение: Оба эти корня удовлетворяют условию уравнения. Ответ:

1) log0.2(х+1)+log0.27=-2 1)2; 2)18; 3) 4) Решение: х + 1 >0, х >-1. 2. log0,27(x + 1)= -2, 7(x + 1) = 0,2-2, 7x + 7 = 52, 7x + 7 = 25, 7x = 25 – 7, 7x = 18, х = Ответ:4. 2) log0.3(7x+5) - log0.33 = log0.34 1)7; 2)0; 3)1; 4)4. Решение: 1.7х + 5 >0, 7х > -5, х> 2. log0,3(7x + 5) = log0,33 + log0,34, log0,3(7x + 5) = log0,312, 7x + 5 = 12, 7x = 12 – 5, 7x = 7, x = 1. Ответ:3

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 608 719 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

27.03.2018 4330
ZIP 2.4 мбайт
470 скачиваний
Рейтинг: 4 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сидорова Галина Степановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы рассмотрим сегодня на уроке. Их немного. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас.

Вложение	Размер
urok_metody_resheniya_logarifmicheskikh_uravneniy.doc	100.5 КБ

Предварительный просмотр:

Урок по теме: "Методы решения логарифмических уравнений" (10 класс)

образовательная: формирование знаний о разных способах решения логарифмических уравнений, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ;
развивающая: развитие умений наблюдать, сравнивать, применять знания в новой ситуации, выявлять закономерности, обобщать; формирование навыков взаимоконтроля и самоконтроля;
воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательного восприятия материала на уроке, аккуратности ведения записей.

Тип урока : урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование : мультимедиа проектор, презентация к уроку.

Технологии, используемые на уроке: педагогика сотрудничества, групповая технология, информацоинно-коммутативная технология.

(французский математик, астроном

I. Постановка цели урока.

II. Актуализация опорных знаний.

Подготовимся к изучению темы урока. Каждое задание вы решаете и записываете ответ, условие можно не писать. Работайте в парах.

(Демонстрируется слайды с заданиями для устной работы).

1) При каких значениях х имеет смысл функция:

(По каждому слайду сверяются ответы и разбираются ошибки).

2) Совпадают ли графики функций?

3) Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:

4) Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:

III. Ознакомление с новым материалом.

Демонстрируется на экране высказывание:

Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. ( Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма ).

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: log а x = b

(где а>0, a ≠ 1 ). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Вспомните определение логарифма. ( Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х ). Из определения логарифма сразу следует, что а b является таким решением.

Запишите заголовок: Методы решения логарифмов.

1 метод. По определению логарифма .

Так решаются простейшие уравнения вида .

Как вы предлагаете его решать? ( По определению логарифма ).

Решение . , Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.

В этом задании 2х – 4 > 0, так как > 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать . Условие 2х – 4 > 0 в этом задании выписывать не надо.

2 метод. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны) . Что можно сделать? (Потенцировать).

При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.

Потенцируем исходное уравнение , получим уравнение 2x + 3 = х + 1.

Решаем его: х = -2. Это решение не подходит ОДЗ, значит, данное уравнение корней не имеет.

Можно решить это уравнение иначе – переходом к равносильной системе :

(Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).

Решение 2. Уравнение равносильно системе:

Эта система решений не имеет.

Есть еще один вариант решения – переход к следствию из данного уравнения. При неравносильных преобразованиях найденное решение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение .

Сделаем проверку: неверно, так как не имеет смысла.

Ответ: корней нет .

Вы имеете право решать любым способом.

3. Введение новой переменной .

Что вы заметили? ( Это квадратное уравнение относительно log3x).

Ваши предложения? (Ввести новую переменную)

Решение . ОДЗ: х > 0.

Пусть , тогда уравнение примет вид: . Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета: .

Вернемся к замене: или .

Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:

4. Логарифмирование обеих частей уравнения.

Решение : ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

Применим свойство логарифма степени:

Пусть lgx = y, тогда (у + 3)у = 4

, (D > 0) корни по теореме Виета: у1 = -4 и у2 = 1.

Вернемся к замене, получим: lgx = -4, ; lgx = 1, .

Ответ : 0,0001; 10.

5. Приведение к одному основанию.

Решение: ОДЗ: х>0. Перейдем к основанию 3.

6. Функционально-графический метод.

Решить графически уравнение: = 3 – x.

Как вы предлагаете решать?

(Строить по точкам графики двух функций у = log2x и y = 3 – x и искать абсциссу точек пересечения графиков) .

Посмотрите ваше решение на слайде .

Есть способ, позволяющий не строить графики . Он заключается в следующем : если одна из функций у = f(x) возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х .

Если корень имеется, то его можно угадать.

В нашем случае функция возрастает при х>0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х>0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при х = 2 уравнение обращается в верное равенство, так как .

IV. Первичное закрепление.

Предложите метод решения уравнений:

V. Домашнее задание.

Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений “Алгебра и начала анализа” Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.

№340(1), №345(1, 3), №379(3), №391(1), №389(2) – 2 способа решения.

VI. Подведение итогов урока.

Какие методы решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на уроке?

На следующих уроках рассмотрим более сложные уравнения. Для их решения пригодятся изученные методы.

Демонстрируется последний слайд:

Желаю всем достичь желаемого. Благодарю за сотрудничество и понимание .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

урок-презентация по теме : "Решение логарифмических уравнений и неравенств"

Урок в 11 классе , опиралась на подготовку к ЕГЭ . Данный урок провела как открытый для учителей районного методического объединения естественно-математического цикла. Класс в котором вела урок .

Презентация к уроку по теме: “Методы решения логарифмических уравнений” (10 класс)

Методы решения логарифмических уравнений:1.По определению логарифма.2.Потенцирование. 3. Введение новой переменной.4.Логарифмирование обеих частей уравнения. 5.Приведение к одному основанию.6.Фун.

Цель урока: формирования практических навыков решения логарифмических уравнений.Образовательная цель: закрепление и систематизация учебного материала, осмысление связей и отношений в объектах из.

Конспект урока +презентация по теме "Решение логарифмических уравнений"

Конспект+ презентация урока обобщения и систематизации знаний, умений и навыков по теме "Решение логарифмических уравнений".

Урок алгебры Урок по теме: "Методы решения логарифмических уравнений" (10 класс)

Урок алгебры Урок по теме: "Методы решения логарифмических уравнений" (10 класс).

Разработка урока алгебры по теме "Решение логарифмических уравнений по определению логарифма и потенцированием", 11 класс

Разработка урока алгебры по теме "Решение логарифмических уравнений по определению логарифма и потенцирование", 11 класс. Это урок изучения нового материала и формирования первичных ум.

План урока алгебры и начал анализа, 11 класс, по теме "Методы решения логарифмических уравнений

Данный урок включает в себя итоговое занятие по теме "Логарифмические уравнения".

Цель урока: повторить понятие и свойства логарифма; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

Задачи урока:

- обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их при вычислении логарифмов и решении логарифмических уравнений;

-развивающие: развивать логическое мышление, память, внимание, культуру математической речи;

-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету.

Тип урока: формирование новых знаний.

Организационный момент

Проверка д/з

Формулирование целей и задач урока

Актуализация опорных знаний

1. Дайте определение логарифма.

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log_0,8 x является возрастающей или убывающей? Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов.

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

Изучение нового материала

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение .

Способы решения логарифмических уравнений:

Решение уравнений на основании определения логарифма

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию

Решение уравнений на основании определения логарифма.

имеет решение .

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

по данным основаниям и числу определяется логарифм,

по данному логарифму и основанию определяется число,

по данному числу и логарифму определяется основание.

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е. , то , при условии, что .

Пример: Решите уравнение

- неверно

Ответ: решений нет.

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.

Пример: Решите уравнение

– не принадлежит ОДЗ

Ответ: х=2

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Пример: Решите уравнение

Ответ: x = 16.

Закрепление изученного материала

______________________________________________________________________________________________________________________

Простейшее логарифмическое уравнение. Уравнение вида , где, a > 0, a ≠ 1.

Основные способы решения логарифмических уравнений

1. , где, a > 0, a ≠ 1, то , при условии, что

2. .

Общие методы для решения логарифмических уравнений

Разложение на множители.
Введение новой переменной.
Графический метод.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014.–384с.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Уравнение вида , где, a > 0, a ≠ 1 называют простейшим логарифмическим уравнением.

Данное уравнение имеет единственное решение, которое мы можем получить графически или по определению логарифма: .

Способы решения логарифмических уравнений:

Воспользуемся определением логарифма

;

Оба корня удовлетворяют неравенству

Если ,

;

В данном уравнении систему с ограничивающими условиями можно не составлять, сделав в конце проверку о существовании логарифмов для конкретных значений х.

Сумму логарифмов в левой части заменим логарифмом произведения:

Подставим каждый корень в исходное уравнение, получаем верные числовые равенства.

Встречаются уравнения, когда нельзя сразу использовать 1 или 2 правило. В этом случае сначала используют общие методы решения уравнений.

Можно увидеть общий множитель: .

Для этого приведем к основанию первый логарифм:

Вынесем за скобку общий множитель:

Имеем произведение равное нулю. (Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю)

;

Выполняем проверку. Оба числа являются корнями уравнения.

Замена: тогда

Обратная замена:

Оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: ; 5.

Строим графики левой и правой частей уравнения, определяем абсциссы точек пересечения графиков.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Решите уравнение:

Дважды используем определение логарифма:

№2 Укажите промежуток, содержащий нули функции

Возможные варианты ответа:

Решение: Чтобы найти нули функции, приравниваем ее к нулю.

Приведем логарифмы к основанию 5: .

Две равные дроби с равными знаменателями, следовательно, равны и числители. Т. е. Слева и справа логарифмы по одинаковому основанию, значит .

В этом видеоуроке мы поговорим о логарифмических уравнениях. Рассмотрим методы решения логарифмических уравнений.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Логарифмические уравнения"

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что логарифмом положительного числа по основанию , где , , называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить .

Обозначают: .

Таким образом, равенство означает, что .

Вспомним также свойства логарифмов. Пусть , , , , а – любое действительное число. Тогда справедливы следующие свойства:

1. ,

2. ,

3. .

Так какие же уравнения называют логарифмическими?

Запомните! Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее переменные под знаком логарифма и (или) в его основании.

Существуют различные методы решения логарифмических уравнений.

В первую очередь рассмотрим с вами решение логарифмических уравнений по определению логарифма. Так решаются уравнения вида , где , . Они равносильны уравнению . При этом, так как выражение под знаком логарифма должно принимать только положительные значения, должно выполняться условие .

Решим уравнение: . Сразу отметим, что должно выполняться условие . Воспользуемся определением логарифма и запишем: . Теперь возведём в квадрат. Перенесём в левую часть уравнения и получим квадратное уравнение: . Решим его. Вычислим дискриминант: . Тогда первый корень квадратного уравнения , второй – .

Мы будем проверять, удовлетворяют ли найденные значения икс условию ?

Обязательно проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию. Подставляем в неравенство: . Получаем верное неравенство. Затем подставляем в неравенство : . И тоже получаем верное неравенство.

А значит, и , и являются корнями логарифмического уравнения.

Следующий метод – метод потенцирования.

Потенцированием называют действие нахождения числа по его логарифму. При решении логарифмических уравнений под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их. Метод заключается в том, что мы от уравнения вида , где , , переходим к уравнению . Причём должны выполняться условия и .

Решим следующее уравнение: . Следует отметить, что должны выполняться условия: и . Потенцируем уравнение (то есть избавимся от знаков логарифма) и получаем: . Перенесём и в левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые: . Решим полученное квадратное уравнение. Запишем его дискриминант: . Находим корни и получаем и .

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям. Подставляем первый корень в первое неравенство и выполняем преобразования: . Затем подставляем во второе неравенство и тоже выполняем преобразования: . Получаем, что удовлетворяет каждому из неравенств, а значит, является корнем исходного логарифмического уравнения.

Затем подставляем второй корень в первое неравенство, выполняем преобразования и получаем: . Следовательно, не удовлетворяет первому неравенству, а значит, не является корнем данного логарифмического уравнения.

В ответ запишем: .

Следующий метод решения логарифмических уравнений – это метод введения новой переменной.

Посмотрите на уравнение. Здесь переменная может принимать только положительные значения.

Так это же квадратное уравнение относительно логарифма икс по основанию два. Давайте введём новую переменную . Тогда наше уравнение примет вид: . Находим корни этого квадратного уравнения по теореме Виета. Тогда, согласно этой теореме, можем записать, что , а . Легко увидеть, что этим равенствам удовлетворяют значения: и .

Теперь можем вернуться к замене? Да, теперь мы вернёмся к замене. Имеем: и . Таким образом, по определению логарифма из первого равенства получаем , а из второго – . Найденные значения икс больше нуля, а значит, каждое из них является корнем исходного логарифмического уравнения.

Таким образом мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений.

А сейчас рассмотрим вот такое уравнение: икс в степени логарифм икс по основанию два равняется шестнадцати. Решим его методом логарифмирования, который заключается в переходе от уравнения к уравнению . То есть берётся логарифм от правой и левой частей уравнения.

Сразу отметим, что переменная может принимать только положительные значения. Возьмём от обеих частей уравнения логарифмы по основанию . Воспользуемся известным нам свойством и в левой части уравнения вынесем показатель степени за знак логарифма: . В правой части уравнения найдём значение логарифма: . Теперь произведение в левой части уравнения запишем в виде квадрата логарифма икс по основанию : . Отсюда получаем: и . По определению логарифма из первого равенства получаем , а из второго – . Оба значения больше нуля, а значит, и , и являются корнями исходного уравнения.

И давайте рассмотрим пример решения системы, состоящей из логарифмического уравнения и линейного уравнения:

Сразу отметим, что . Воспользуемся определением логарифма и запишем первое уравнение системы как . Откуда . Подставим найденное значение во второе уравнение системы: . И, решив линейное уравнение, найдём .

Читайте также: