Логарифм с произвольным основанием натуральные логарифмы конспект
Обновлено: 07.07.2024
Алгебра и начала математического анализа: Учеб. для 10кл. общеобразоват. учреждений,/ под ред. А Б Жижченко. - М.: Просвещение, 2011г . -368 стр. Глава 7, § 1-6.
Тип урока: Урок изучения нового.
Учебная задача урока: Познакомиться с понятием логарифма, выяснить в чём связь логарифма и показательного уравнения, научиться вычислять логарифмы, применяя основное логарифмические тождество и связь с простейшими показательными уравнениями.
В результате урока ученик:
Знает: Понятие логарифма, основное логарифмическое тождество, понятие действия логарифмирования, определение десятичного и натурального логарифмов.
Умеет: Пользоваться определением логарифма для вычисления логарифмов, Понимает: Связь между действием логарифмирования и решением простейшего показательного уравнения .
- Частично поисковые методы
Мотивационно-ориентировочный этап (7 мин.),
Содержательный этап (20 мин.),
Рефлексивно-оценочный этап (18 мин.).
Мотивационно-ориентировочный этап.
Учитель : Здравствуйте ребята. Рада вас видеть. Подготовьтесь, пожалуйста, к уроку. Достаём тетрадочки, записываем сегодняшнее число, классная работа.
Учитель : Начнём урок с повторения решения простейших показательных уравнений. Итак, решить уравнения:
Учитель : Молодцы ребята, вы хорошо справились с поставленной задачей.
Изучить понятие логарифма, его связь с простейшими показательными уравнениями. Научиться вычислять логарифмы.
Содержательный этап.
Учитель : Давайте начнём с того, что познакомимся с понятием логарифма. Запишем определение себе в тетрадь:
Логарифмом положительного числа b по основанию а а>0, b >0, a ≠ 1, называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получилось число b .
логарифм числа b по основанию а обозначается log a b .
Нарисуем себе в тетрадь маленькую схему:
Вернёмся к примеру, который был дан в начале урока:
Учитель : Чему в данном случае равен х?
()
Учитель : Давайте закрепим понятие логарифма, для этого решим несколько примеров.
Учитель : Как мы будем вычислять данный логарифм?
(Данный логарифм нужно привести к простейшему показательному уравнению, т. е. 2 х =8, 2 х =2 3 , отсюда х= 3, и данный логарифм восьми по основанию два будет равен 3)
Учитель : Молодцы. Теперь решим следующий пример.
Учитель : Как мы с вами будем решать данный пример?
( так же как и предыдущий, 16х=1, 1=16 0 , 16 х =16 0 , отсюда х=0 и следовательно данный логарифм равен нулю)
Учитель : Ребята, запомните, что логарифм единицы по любому основанию равен нулю. Запишите это себе в тетрадь.
Учитель : решим следующий пример
Учитель : как мы будем решать данный пример?
(2 х =0 – решений нет)
Учитель : Верно, запишите себе в тетрадь что логарифма от нуля не существует, т к по определению логарифма log a b а>0, b >0, a ≠ 1
Это основное логарифмическое тождество.
Это тождество следует из определения логарифма:
т к логарифм-это показатель степени х то, возводя в эту степень число а, получим число b , т е
Учитель : Ребята, давайте закрепим изученную формулу, решая примеры:
(Первый пример равен 5, а второй пример 1475)
Учитель : Давайте запишем себе в тетрадь таблицу которую вы видите на экране:
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
по выполнению практической работы по дисциплине
для обучающихся 1 курса по программам подготовки специалистов среднего звена среднего профессионального образования
3.Задания для практической работы……………………………………8
4.Список используемой литературы …………………..……………..18
Целью создания разработки является оказание помощи студентам первого курса в освоении учебного материала по дисциплине в учреждениях среднего профессионального образования. Важнейшая контролирующая функция в изучении математики принадлежит обязательным практическим работам, количество, объем и содержание которых определяется рабочей программой. По критериям качества выполнения практических работ каждый студент формирует свой рейтинг, будущую итоговую оценку.
Методические рекомендации планируется использовать при аудиторных практических занятиях.
Урок № ______________--
Цель: Закрепить способы выполнения тождественных преобразований над логарифмическими выражениями. Формировать умения и навыки применения свойств логарифмов.
Задачи:
• развитие творческого профессионального мышления;
• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
• углубление теоретической и практической подготовки;
• развитие инициативы и самостоятельности студентов;
• закрепление вычислительных навыков;
• формирование навыков самостоятельной работы, работы с учебником, навыки самостоятельного добывания знаний;
• развитие умения выделять главное при работе с текстом;
• формирование самостоятельности мышления, мыслительных операций: сравнение, анализ, синтез, обобщение, аналогия;
• углубление и повышение прочности знаний, развитие культуры выполнения заданий;
• развитие творческих способностей обучающихся.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности обучающихся к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
› Выполнить практическую работу по вычислению логарифмов .
Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач.
Определение: Логарифмом положительного числа по основанию (обозначается ) — называется показатель степени , в которую надо возвести , чтобы получить , где b > 0 , a > 0 , а≠ 1 .
;
Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, который обозначается как
Логарифмом положительного числа по основанию , называется показатель степени, в которую надо возвести чтобы получить .
Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.
Основное логарифмическое тождество:
Свойства логарифмов. При , справедливы равенства:
- логарифм произведения: ;
- логарифм частного: ;
- логарифм степени: .
Основная литература:
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
При решении простейших показательных уравнений не всегда можно найти точный ответ. Например, уравнение имеет корень 5, т. к. значит , В уравнении число 5 не является степенью 2, значит предыдущий способ решения не подходит. Нам известно, что уравнение имеет единственный корень. Посмотрим это на графике.
Абсцисса точки пересечения – единственное решение данного уравнения. Это число и называют логарифмом 5 по основанию 2.
Дадим определение логарифма.
Логарифмом положительного числа по основанию , называется показатель степени, в которую надо возвести чтобы получить .
Т. е. логарифм числа по основанию , есть некоторое число такое, что .
, т. к. выполнены все условия определения:
1) 216 > 0; 2) 6 > 0, 6 ≠ 1; 3) .
, т. к. выполнены все условия определения:
1) ; 2) 2 > 0, 2 ≠ 1; 3) .
Это действие называется логарифмированием.
Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.
Существует краткая запись определения логарифма:
так называемое основное логарифмическое тождество. Его используют при вычислениях.
(Читают: одна треть в степени логарифм 6 по основанию одна треть равен 6)
Решим несколько задач с использованием определения логарифма.
Задача 1. Вычислить .
Решение. Пусть тогда по определению логарифма Приведем левую и правую части к одному основанию. 27 = 3 3 , 81 = 3 4 , значит . Отсюда следует, что
Задача 2. Вычислить .
Решение. Для вычисления воспользуемся свойствами степеней: 1) , 2) и основным логарифмическим тождеством: .
Для решения более сложных задач потребуется знание свойств логарифмов. Рассмотрим их.
1. Логарифм произведения.
Логарифм произведения чисел по основанию равен сумме логарифма по основанию и логарифма по основанию .
2. Логарифм частного.
Логарифм частного чисел по основанию равен разности логарифма по основанию и логарифма по основанию .
3. Логарифм степени.
Логарифм числа по основанию равен произведению показателя и логарифма по основанию .
Важно! Свойства выполняются при ,
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Чтобы выполнить это задание нам понадобятся следующие определения и свойства:
Представим в виде степени с рациональным показателем: . Далее воспользуемся свойством нахождения логарифма степени: . Вспоминаем таблицу квадратов: , значит , . Ответ: .
№ 2. Вычислите
Чтобы выполнить это задание нам понадобятся следующие определения и свойства:
.
В данном видеоуроке мы познакомимся с понятиями десятичного и натурального логарифмов. Выясним, как вычисляют логарифмы при помощи калькулятора и таблиц логарифмов. А также научимся переходить от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Десятичные и натуральные логарифмы"
При решении логарифмов пока мы с вами сталкивались лишь с логарифмами, у которых были одинаковые основания.
Однако, зачастую приходится искать значения выражений, которые составлены из логарифмов по разным основаниям.
…
Заметим, что действия с логарифмами возможны только при одинаковых основаниях!
Тогда как поступают, если основания у логарифмов разные? Что нужно сделать, чтобы найти значения таких выражений? Так вот для этого вводятся десятичные и натуральные логарифмы, а также формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
Среди различных оснований для вычисления логарифмов чаще всего используется число 10. Логарифмы по такому основанию называют десятичными. Другими словами, десятичный логарифм числа есть решение уравнения
Что же касается натурального логарифма числа, то так называют логарифм этого числа по основанию , где – иррациональное число, приближённо
Кстати, иррациональное число е играет важную роль в математике и её приложениях. Число е можно представить как сумму:
……
Все свойства, которые мы рассматривали для логарифмов по произвольному основанию, справедливы для десятичного и натурального логарифмов.
1., . 1., .
2. . 2. .
3. . 3. .
4. , , . 4. , , .
5. , , . 5. , , .
6. , , . 6. , , .
7. , , . 7. , , .
А теперь давайте разберёмся, как вычисляют десятичный и натуральный логарифмы. Проще всего значение логарифма можно найти с помощью инженерного калькулятора.
Давайте посмотрим, как находят значения следующих логарифмов при помощи инженерного калькулятора: ; .
Найдём значение десятичного логарифма числа .
На практике, конечно, мы округлим это число до нужного разряда.
Ранее мы с вами уже говорили, что с появлением логарифмов многие учёные занялись составлением логарифмических таблиц. Так, например, первые таблицы десятичных логарифмов для чисел от 1 до 1000 опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками.
Давайте рассмотрим принцип использования такой таблицы на примере двузначной таблицы десятичных логарифмов. На экране вы видите таблицу, в которой указаны значения десятичных логарифмов чисел от 1 до .
Левый столбец таблицы отвечает за число целых, а верхняя строка – за число десятых. Давайте найдём значение .
Итак, значение этого логарифма будет расположено на пересечении строки с числом 7 целых и столбца с числом 3 десятых. Как видим, значение нашего логарифма совпало с ранее найденным нами при помощи инженерного калькулятора, оно .
А теперь найдём значение при помощи таблицы натуральных логарифмов российского математика Брадиса.
На экране вы видите таблицу, в которой указаны значения натуральных логарифмов чисел от 1 до 99. Здесь левый столбец таблицы отвечает за число десятков, а верхняя строка – за число единиц.
Итак, значение будет расположено на пересечении строки с числом 1 и столбца с числом 5. Как видим, значение нашего логарифма совпало с ранее найденным нами при помощи инженерного калькулятора, оно приближённо равно .
А как же быть с вычислением логарифмов по другим основаниям? Ведь при помощи инженерного калькулятора и таблиц логарифмов мы вычисляли только значения десятичных и натуральных логарифмов. Оказывается, достаточно знать значения только десятичных и натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию. Для этого используют формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
Сейчас мы её с вами выведем. Итак, пусть .
Перейдём к показательной форме записи этого равенства, то есть получим .
Теперь прологарифмируем это равенство по основанию с. Другими словами, найдём логарифмы с основанием обеих частей этого равенства. Получим:.
Применим к левой части равенства свойство логарифма степени, получим .
Теперь разделим обе части равенства на . Получим .
Так как , то имеем .
Получившееся равенство и есть формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
Отметим, что эта формула верна, если выполняются следующие условия:
, , , , .
Из формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию следует формула .
Также из формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию при и при получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам.
и
А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.
Задание 1. Найдите значение .
Исходя из формулы , имеем логарифм
При помощи калькулятора вычислим значения десятичного – оно
и .
Подставим найденные значения в формулу перехода. Получим, что .
Читайте также: