Конспект вторая производная ее геометрический и физический смысл
Обновлено: 08.07.2024
На прошлом уроке мы узнали, что такое производная. Оказывается, это понятие имеет несколько смыслов, которые и определяют сферу ее использования.
План урока:
Физический смысл производной
Вводя понятие производной, мы предварительно решали задачи на поиск мгновенной скорости некоторого тела (автомобиля, пешехода, самолета). Во всех них в качестве исходных данных задавался некоторый закон, который описывал зависимость пути, пройденного телом, от времени. Обычно этот закон представлял собой функцию s(t). Для нахождения мгновенной скорости мы сначала записывали выражение для вычисления средней скорости, которое содержало переменную величину ∆t. На следующем шаге мы составляли выражение ∆s/∆t, после чего величину ∆t мы устремляли к нулю и смотрели, чему в таком случае будет равняться предел отношения ∆s/∆t. Этот предел и принимался за мгновенную скорость тела.
Можно заметить, что последовательность наших действий совпадает с теми действиями, которые выполняются для вычисления производной. Разница лишь в обозначениях. В случае с производной мы рассматриваем функцию у(х), а в случае с поиском скорости тела – функцию s(t). Но если поменять букву t на х, а s на t, то окажется, что поиск мгновенной скорости в момент времени t0 – это тоже самое, что и поиск производной функции s(t) в точке t0. Таким образом, можно сформулировать физический смысл производной (иногда его называют механическим смыслом, так как в физике производная используется не только в механике):
Функцию s(t) обычно называют законом движения. Рассмотрим простейший случай, когда тело движется с постоянной скоростью, равной, например, 3 м/с. Из физики известно, что в таком случае путь s, пройденный телом за время t, можно вычислить по формуле
где v – скорость.
Значит, закон движения тела будет выглядеть так:
Найдем производную в произвольный момент времени t0. Так как производная должна совпадать со скоростью, то независимо от значения t0 производная должная оказаться равной 3. Действительно, в точке t0 значение функции равно
Дадим приращение аргумента ∆t. В точке t0 + ∆t функция будет равна
Найдем приращение функции ∆s:
Обратите внимание – величина ∆s уже не зависит от t0. Далее найдем отношение ∆s/∆t:
Величины ∆t сократились, и получилось, что отношение ∆s/∆t от величины ∆t не зависит. Ясно, что предел этого отношения при ∆t→0 (а это и есть производная) будет равен 3:
Действительно, получилось, что производная s′(t) в любой точке равна 3, то есть она совпадает со скоростью.
Геометрический смысл производной
Возьмем график произвольной функции у(х) и выберем на ней точку х0 (обозначим ее как А). Дадим ей приращение ∆х. Тогда мы получим новую точку с абсциссой х0 + ∆х, которую обозначим буквой В. Соединим исходную и новую точку прямой линией АВ. Эта линия пересекает график как минимум в двух точках (А и B), поэтому мы можем назвать её секущей. Проведем также касательную к графику функции в точке А:
Если из точки B провести вертикальную линию, а из точки А – горизонтальную, то они пересекутся в некоторой точке О. Рассмотрим треугольник АОВ. Очевидно, что он прямоугольный (∠ АОВ = 90°). При этом АО = ∆х, а ОВ = ∆у. Так как АО и ОВ – это катеты прямоугольного треугольника, то их отношение (ОВ/АО) равно тангенсу угла ВАО, который на рисунке обозначен как α:
Ещё раз отметим, что угол α – это угол между секущей и горизонтальной линией. Этот угол определяется именно отношением величин ∆у и ∆х.
Производная – это предел отношения ∆у/∆х при ∆х→0. Попробуем устремить в данном случае величину ∆х к нулю. Тогда точка В начнет перемещаться по графику всё ближе к точке А, а треугольник АОВ будет сокращаться в размерах. Однако АВ всё ещё будет оставаться секущей:
Но мы уже определили ранее, что тангенс угла α – это отношение ∆у/∆х:
Получается, что в предельном случае, когда ∆х стремится к нулю, секущая, по сути, становится касательной к графику, а отношение ∆у/∆х – производной (по ее определению):
Отсюда следует, что значение производной в точке х0 совпадает с тангенсом угла наклона касательной к графику функции в этой же точке. В этом заключается геометрический смысл производной.
С другой стороны, прямая, касающаяся графика в одной точке, может потом пересечь его в другой точке:
Поэтому касательную к графику в точке х0 определяют именно как предельное положение секущей, которое получается, когда промежуток ∆х устремляют к нулю.
Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику
в точке х0 = 2.
Решение. Тангенс искомого угла можно найти, вычислив производную. Для этого сначала вычислим значение функции в точке х0:
Теперь даем приращение ∆х и вычисляем функцию в точке (х0 + ∆х):
Далее находим величину ∆у, то есть приращение функции в точке х0:
Отношение ∆у/∆х можно определить так:
Если устремить величину ∆х к нулю, то отношение ∆у/∆х устремится к единице:
Значит, и производная в точке х0 = 2 будет равна 1:
Производная – это тангенс угла наклона касательной, то есть
Так как тангенс 45° равен единице, то α = 45°. Убедимся в этом, проведя через точку (2; 1) прямую с таким наклоном. Она действительно оказывается касательной:
Связь производной с возрастанием и убыванием функций
Заметим, что если провести касательную к графику в той точке, где функция возрастает, то сама эта касательная окажется также возрастающей линейной функцией. При этом угол ее наклона будет острым:
Напомним что тангенс любого острого угла – это всегда положительная величина, то есть tgα > 0.
Однако это тангенс равен значению производной. Значит, она также положительна, если функция возрастает.
Ситуация меняется в случае убывающей функции. Тогда и касательная к графику оказывает убывающей линейной функцией. Из-за этого она образует с горизонтальной осью Ох не острый, а тупой угол:
Напомним, что тангенс тупого угла является отрицательным числом. Но тогда и производная должна быть отрицательная. Получается, что по знаку производной можно определить, убывает или возрастает функция в данной точке.
Задание. Определите знак производной функции у = sinx в точке х0 = 3π/4, не вычисляя её.
Решение. График у = sinx выглядит так:
Точка х0 = 3π/4 находится между π/2 и π. Видно, что в этой точке функция убывает. Следовательно, производная в этой точке отрицательна.
Ответ: Производная отрицательна.
Производная как функция
До этого мы вычисляли значение производной в отдельных точках графика. Она представляет некоторое число у′(х0). Однако чаще всего производную можно вычислить в каждой точке графика у(х). То есть каждой точке х0 соответствует какое-то число у′(х0). Но если есть соответствие между числами х0 или у′(х0), то можно говорить о функции. Её обозначают как у′(х), или просто как у′.
Объясним, чем отличаются обозначения у′(х0) и у′. Обе эти величины называются производными и вычисляются для некоторой функции у(х). Однако у′(х0) – это конкретное значение производной, то есть число. Например, 4 или 6. А выражение у′(х) – это не число, а функция, например, у = с osx или у = х 3 . Подставив в выражение у′(х) значение х0, можно узнать и у′(х0).
Возникает вопрос – а как находить функцию у′(х)? Для этого можно использовать определение производной, как и в случае су′(х0). Только вместо значения х0 не требуется подставлять какое-то число. Продемонстрируем эту процедуру на примере.
Пусть есть функция у = х 2 . Найдем у′(х). Для этого дадим произвольной точке с координатой х приращение ∆ х. В результате попадем в новую точку (х + ∆ х). Вычислим значения функции у = х 2 в точках х и (х + ∆ х):
Далее находим величину ∆ у:
Следующий шаг – вычисляем отношение ∆ у/ ∆ х:
Осталось найти предел отношения ∆ у/ ∆ х при ∆ х → 0, который и будет являться производной у′:тут что-то не поняла решение, верное?
Получили, что у′ = 2х. Ещё раз обратите внимание, что у′– это функция, а не число. Поиск производной называют операцией дифференцирования. Для краткости иногда используют такую запись:
Итак, мы получили, что (х 2 )′ = 2 x . Эту формулу производной для функции у =х 2 стоит запомнить.
Скажем сразу, что пока мы будем в основном рассматривать примеры, где необходимо продифференцировать функцию у = х 2 , так как ее производная имеет простой вид и уже найдена нами. В следующих уроках мы научимся дифференцировать другие, значительно более сложные функции.
Найдя у′, мы существенно упрощаем свою жизнь. Пусть нам надо найти значение производной функции сразу в 5 точках. Раньше мы бы для каждой точке давали бы приращение ∆ x , искали соответствующее ему значение ∆ у, вычисляли бы отношение ∆ у/ ∆ х, а потом находили бы предел этого отношения. То есть нам надо было бы вычислить сразу 5 пределов. Однако зная у′, мы можем просто подставлять в неё значение х0 и сразу находить производную.
Задание. Найдите производную функции у = х 2 в точке х0 = 100.
Решение. Известно, что (х 2 )′ = 2 x , то есть для функции у = х 2 производная равна
Подставим значение х0 = 100 в производную:
Задание. К графику у = х 2 в точках х1 = 0,5 и х2 = – 0,5 проведены касательные. Под каким углом пересекаются эти касательные?
Решение. Сначала приведем рисунок для этой задачи, причем выберем крупный масштаб, когда длина двух клеток равна всего 0,1:
Чтобы найти угол между двумя касательными, сначала найдем, какие углы они образуют с горизонтальной линией Ох. Для этого вычислим производную от у = х 2 в точках 0,5 и (– 0,5). Так как у′ = 2х, то
Получается, что тангенс наклона 1-ой касательной равен единице, это значит, что сам угол равен 45°. Тангенс наклона второй касательной равен (– 1). Чтобы найти угол ее наклона, составим тригонометрическое уравнение:
Естественно, уравнение имеет бесконечно большое количество решений: – π/4; 3π/4; 7π4 и т.д. Среди них нас интересует то, которое соответствует углу от 0 до 180°. Это угол 3π/4, который равен 135°.
Итак, касательные имеют углы наклона, равные 45° и 135°. Далее поиск угла их пересечения становится простой и чисто геометрической задачей. Добавим точки на рисунок:
Мы нашли, что ∠ ВСЕ = 45° и ∠ А DC = 135°. Тогда
Тогда из треугольника DOC можно найти и интересующий нас ∠ DOC . Мы используем тот факт, что сумма углов любого треугольника составляет в точности 180°:
В итоге получаем, что прямые пересекаются под прямым углом.
Задание. Автомобиль стартует и набирает скорость, при этом закон его движения имеет вид s ( t ) = t 2 . Найдите скорость машины через 2,3, 4 и 5 секунд после старта. Постройте график, иллюстрирующий зависимость скорости машины от времени.
Решение. Скорость машины будет равна производной ее закона движения. Производная функции s ( t ) = t 2 имеет вид s ′( t ) = 2 t . Подставляя в производную значения 2, 3, 4 и 5, найдем скорость автомобиля в эти моменты времени:
Так как s ′( t ) = 2 t , а скорость равна производной, то есть v ( t ) = s ′( t ), то получаем, что зависимость скорости от времени имеет вид v ( t ) = 2 t . Её график будет выглядеть так (на нем отмечены те самые точки, которые соответствуют 2, 3, 4 и 5 секунде после старта):
Ответ: 4, 6, 8 и 10 м/с.
Рассмотренный пример показывает, что зная закон движения s ( t ), можно не просто вычислить скорость тела в отдельные моменты времени, но и получить зависимость, то есть общую формулу, позволяющую вычислять скорость. Другими словами, график производной s ′( t ) совпадает с графиком скорости v ( t )
Вторая производная функции и ее физический смысл
Итак, мы узнали, что при дифференцировании функции мы получаем какую-то новую функцию. Встает логичный вопрос – а можно ли продифференцировать и эту новую функцию? Естественно можно, и в результате получат ещё одну функцию, которую называют второй производной. Для ее обозначения используют уже не один штрих, а сразу два: у′′. При необходимости можно взять и третью производную (у′′′), и четвертую (у′′′′), и даже сотую или тысячную. Однако при рассмотрении большинства практических задач достаточно первых двух производных.
Есть ли у второй производной функции физический смысл? Да. Дело в том, что в физике различают равномерное и ускоренное движение тела. В первом случае оно двигается с постоянной скоростью, а во втором скорость тела может изменяться. В связи с этим вводится и такая физическая величина, как ускорение. Она характеризует то, как быстро изменяется скорость тела. То есть ускорение – это скорость изменения скорости. Для обозначения ускорения обычно используют букву а. И для определения ускорения как раз и может потребоваться вторая производная.
Действительно, если ускорение – это скорость изменения скорости, то ее можно найти, взяв производную от функции v ( t ), то есть а( t ) = v ′( t ). Однако сама скорость получается при дифференцировании закона движения s ( t ), то есть v ( t ) = s ′( t ). Тогда получается, что
То есть физический смысл второй производной заключается в том, что вторая производная закона движения s ′′( t ) в момент t 0 равна ускорению тела в этот самый момент.
Ещё раз взглянем на пример, который мы уже рассмотрели. Пусть автомобиль стартует с места, и пройденный им путь определяется законом s ( t ) = t 2 . Мы уже выяснили, что в этом случае его скорость можно рассчитать по формуле v ( t ) = 2 t . Получается, что скорость тела непостоянна, значит, имеет место ускоренное движение. Попробуем найти величину ускорения.
Для этого возьмем производную от функции v ( t ) = 2 t . Возьмем какое-то значение аргумента t и дадим ему приращение ∆ t , в результате получим новый аргумент ( t + ∆ t ). Вычислим скорость тела в эти моменты времени:
Теперь мы можем найти приращение функции ∆ v , соответствующее приращению ∆ t
Далее находим отношение ∆ v / ∆ t :
Получили, что это отношение является постоянной величиной и равно 2. Естественно, что предел постоянной величины равен этой величине:
Итак, получили, что производная v ′ – это постоянное число, не зависящее от времени. Оно же равно ускорению тела. Значит, в любой момент времени ускорение тела равно 2м/с 2 .
Напомним, что важнейший закон механики, известный как второй закон Ньютона, выглядит так:
где F – это сила, действующая на тело;
Однако теперь мы знаем, что ускорение является второй производной от закона движения. В связи с этим его можно переписать в виде
И на самом деле в физике значительно чаще используется именно такая его формулировка. Это лишний раз подтверждает значимость понятия производной.
ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения
Учебные группы: КИП-11, М-11, А-11, Н-11
Учебная дисциплина: ООПу.04 Математика
Тема учебного занятия: Вторая производная. Её геометрический и физический смысл.
Вид урока: лекция-беседа
Средства обучения:
технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;
информационно-коммуникационные: электронная презентация.
методическая: использование объяснительно-иллюстративного метода обучения с целью формирования математического мышления студентов;
образовательная: создание условий для овладения знаниями о второй производной и её геометрическом и физическом смысле;
развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;
воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.
Прогнозируемые результаты:
1) предметные:
сформированность знаний о второй производной и её геометрическом и физическом смысле;
владение умением решать задачи на вторые производные;
2) метапредметные:
регулятивные:
умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;
умение рационально распределять рабочее время;
умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;
владение навыками познавательной рефлексии;
познавательные:
умение осуществлять поиск и отбор необходимой информации;
умение сопоставлять и анализировать, выделять в тексте базовые и вспомогательные концепты, опорные понятия, тезисы, структурировать их взаимосвязь;
умение структурировать полученную информацию;
умение анализировать и обобщать информацию;
коммуникативные:
умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;
умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.
Образовательные технологии: традиционное обучение.
Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.
Методы обучения и контроля:
вербальные: беседа;
практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.
методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.
Нормативный документ
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.
Образовательные ресурсы:
Основная литература
Дополнительная литература
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.
Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.
Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.
Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.
Интернет-ресурсы:
Научно-методические ресурсы:
Инновационные педагогические технологии: учебное пособие/ Михелькевич В.Н., Нестеренко В.М., Кравцова П.Г. – Самар. гос. тех. ун-т Самара, 2001. – 89 с.
Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 1: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2005. – 288 с.
Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 3: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2007. – 288 с.
Махмутов М.И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. – М.: Педагогика, 1975. – 368 с.
Основные термины и понятия: вторая производная.
ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
Содержание учебного материала:
1) Сформированность знаний о вычислениях второй производной и её геометрическом и физическом смысле.
2) Закрепление теоретического материала по теме с помощью решения упражнений.
Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)
Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.
Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (15 мин)
Преподаватель задает вопросы студентам:
Что такое производная второго, третьего, n-го порядка?
Какой геометрический смысл второй производной?
Какой физический смысл второй производной.
Студенты отвечают на эти вопросы, вспоминая знания, полученные на предыдущем занятии.
Формулирование темы и целей учебного занятия.
Формулирование преподавателем определений второй производной. Объяснение её геометрического и физического смысла.
Производная функции , сама является функцией. Значит, можно найти её производную.
Назовём производной функции первого порядка.
Производная от производной функции называется производной второго порядка (или второй производной).
Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д.
Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются 𝑦′′ (иногда ), 𝑦′′′ (иногда ),
Иногда используются обозначения
Ускорение есть вторая производная координаты по времени. В этом состоит механический смысл второй производной.
Производная 𝑛-го порядка является производной порядка: .
(Сама функция иногда считается производной 0-го порядка.)
, поэтому все производные функции равны:
Включение нового знания в систему имеющихся знаний (20 мин)
Производная функции в точке равна коэффициенту направления касательной функции в точке .
Касательная графика функции в точке описывается как прямая, к которой стремится прямая , если точка перемещается по графику функции, стремясь к точке . Обозначим точку как (см. рисунок).
Коэффициент направления прямой равен тангенсу угла :
Стремление точки к точке — то же самое, что стремление приращения аргумента к нулю.
Наконец, используя определение производной, получаем, что коэффициент направления касательной равен производной функции в соответствующей точке.
Мгновенная скорость прямолинейного движения
Допустим, что зависимость координат материальной точки от времени описывает функция . Средняя скорость в промежуток времени является отношением перемещения к потраченному времени:
Чтобы вычислить мгновенную скорость, нужно вычислить среднюю скорость в бесконечно малом промежутке времени, т. е. нужно вычислить предел отношения, если стремится к нулю. Если этот предел существует, его значение совпадает с (согласно определению производной):
Ускорение прямолинейного движения
Допустим, что материальная точка перемещается по прямой и зависимость её скорости от времени описывает функция . Среднее ускорение передвижения в промежутке времени является отношением изменения скорости к изменению времени . Чтобы вычислить ускорение в момент времени , нужно вычислить предел этого отношения, если стремится к нулю. Поэтому .
Допустим, что зависимость заряда, протекающего через поперечное сечение провода, от времени описывает функция . Нужно вычислить величину тока в какой-либо момент времени. Среднюю величину тока можно вычислить как отношение .
Мгновенная величина тока — это предел этого отношения, если изменение времени стремится к нулю,
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Производная сложной функции. Производная тригонометрических функций.
Проверочная работа по теме "Производная сложной функции. Производная тригонометрических функций".Работа содержит формулы, которые, к сожалению, не видны в разделе предпросмотр.
Урок соответствует технологии модульного обучения.
Производная. Геометрический смысл производной. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
Урок обобщения и систематизации знаний. Осуществляется подготовка к ЕГЭ по заданиям с производной. Используются различные формы работы (фронтальная, групповая, самостоятельная работа учащихся).
Проверочная работа по теме "Производная. Геометрический и физический смысл производной. Исследование функции по графику производной".
Данная проверочная работа может быть использована как для проверки знаний после окончания прохождения темы, так и в ходе итогового повторения при подготовке к ЕГЭ. Работа составлена .
Презентация на тему - Производная второго порядка, выпуклости, точки перегиба. (11 класс)
Презентация на тему - Производная второго порядка, выпуклости, точки перегиба. (11 класс).
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Определение производной, ее геометрический и физический смысл"
· познакомиться с понятием производной;
· познакомиться с геометрическим и физическим смыслом производной.
Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним упражнение.
Давайте рассмотрим одну физическую задачу. Пусть ёжик движется по дорожке из домика. Домик будем считать точкой отсчёта и обозначим её точкой O. Единицей измерения выберем метр, и укажем направление движения ёжика. Закон движения ёжика задан формулой S = s(t), где t – время (в секундах), S(t) – положение ёжика на дорожке (говоря математическим языком – координата движущегося ёжика) в момент времени t по отношению к началу отсчёта. Давайте найдём скорость движения ёжика в момент времени t. Скорость будем измерять в м/с. В данном случае ёжика будем рассматривать как материальную точку.
Предположим, что в момент времени t ёжик находился в точке M, тогда OM = S(t). Дадим аргументу t приращение и рассмотрим, где же окажется ёжик в момент времени t + Δt. Очевидно, что ёжик переместиться из точки M, например, в точку P. Тогда отрезок OP равен S (t + Δt).
Значит, если за Δt секунд ёжик переместился из точки M в точку P, то отрезок MP равен OP – OM , то есть разности S (t + Δt) – S(t), то есть отрезок MP = ΔS метров, причём перемещение из точки M в точку P произошло за Δ t секунд. Давайте вычислим среднюю скорость движения ёжика за промежуток времени от t до t + Δt.
Например, мы говорили, что график функции y = x 2 касается оси Ox в точке x = 0, то есть ось Ox является касательной к параболе в точке x = 0.
Однако возникает вопрос, что такое касательная? Казалось бы, все очень просто: касательная к графику функции – это такая прямая, которая имеет с графиком функции одну общую точку. Тогда почему нельзя назвать касательной ось Oy? Ведь с параболой эта ось тоже имеет только одну общую точку.
Давайте посмотрим, как же определить касательную.
Пусть дана кривая L, на ней выбрана точка M. Возьмём на ней ещё одну точку P, проведём секущую MP. Теперь давайте будем приближать точку P к точке M по кривой L. Секущая MP будет менять своё положение, как бы поворачиваясь вокруг точки M. Продолжая приближать точку P к точке M, мы достигнем такого положения прямой MP, которое будет предельным, эту прямую, которая является предельным положением секущей и называют касательной к кривой L в точке M.
Учитывая только что сформулированное определение, нетрудно доказать, что касательной к графику функции y = x 2 в точке о будет ось Ox.
Теперь давайте рассмотрим задачу.
Пусть дан график функции y = f(x). На нем выбрана точка M (a; f(a)) и в этой точке к графику функции проведена касательная. Давайте найдём угловой коэффициент касательной.
Давайте дадим аргументу приращение Δx и рассмотрим на графике точку P с абсциссой a + Δx. Тогда ордината точки P равна f(a + Δx). На прошлых уроках, мы говорили, что отношение приращения функции к приращению аргумента – это угловой коэффициент прямой, то есть угловой коэффициент секущей MP равен отношению Δy к Δx. Еcли же Δx стремиться к нулю, то точка P начнёт приближаться к точке M по графику функции. Поскольку предельное положение секущей – это касательная, то получим, что угловой коэффициент касательной к графику функции равен пределу углового коэффициента секущей при Δx стремящемся к нулю.
Подставляя вместо углового коэффициента секущей формулу, получим, что угловой коэффициент касательной равен пределу отношения Δy к Δx, при Δx стремящемся к нулю.
Однако, стоит заметить, что не все касательные имеют угловой коэффициент. Например, если касательной к графику функции в точке является прямая x = a, то угловой коэффициент этой касательной не существует.
Итак, сегодня мы рассмотрели две задачи, в результате решения которых получили оду и туже формулу – предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Мы рассмотрели всего две задачи, однако при решении задач из других областей науки, например, экономики, химии, приходят к этой же формуле.
Определение.
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку x0. Дадим аргументу приращение Δx такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдём соответствующее приращение функции Δy, при переходе от точки x0 к точке x + x0 и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящемся к нулю, то указанный предел называют производной функции y = f(x) в точке x0 и обозначают f'(x0).
Для обозначения производной часто используют символ y'.
Отметим, что y' = f'(x) – это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определённая во всех точках x, в которой существует указанный выше предел.
Эту функцию называют производная функции y = f(x).
На предыдущих уроках мы нашли производные некоторых функций.
Учитывая, введённые понятия и определение можно сказать, что рассмотренные нами задачи показывают физический и геометрический смысл производной.
Физический смысл производной.
Геометрический смысл производной.
Давайте сформулируем алгоритм нахождения производной функции
Давайте рассмотрим данный алгоритм на примере.
Рассмотрим ещё один пример.
Если функция y = f(x) имеет производную в точке x, то её называют дифференцируемой в точке x. Процедуру нахождения производной функции y = f(x) называют дифференцированием функции y = f(x).
Давайте теперь попробуем найти связь между понятиями непрерывности и дифференцируемости функции в точке.
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x. Тогда, пользуясь геометрическим смыслом производной, в точке M (x; f(x)) можно провести касательную, причём, угловой коэффициент этой касательной равен f'(x). То есть в точке M не может быть разрыва, то есть функция y = f(x) непрерывна в точке икс.
Сформулируем это более строго. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, то она и непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение не верно. Примером этого может служить функция y = │x│. Эта функция непрерывна везде, в том числе и в точке x = 0, но касательной в точке x = 0 существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.
А теперь давайте попробуем ответить на вопрос: можно ли по графику функции сделать вывод по её дифференцируемости?
Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция недефференцируема.
Раздел математики, который изучает производные функции и их применения, называется дифференциальным исчислением. Это исчисление возникло из решений задач на проведение касательных к кривым, на вычисление скорости движения, на отыскание наибольших и наименьших значений функции.
Ряд задач дифференциального исчисления был решён ещё в древности Архимедом, разработавшим способ проведения касательной.
Архимед построил касательную к спирали, носящей его имя.
Аполлоний – к эллипсу, гиперболе и параболе.
Но общего метода, пригодного для построения касательной к любой кривой плоскости в произвольной её точке найдено не было.
Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма.
Задача нахождения скорости изменения функции была впервые решена Ньютоном. Ньютон пришёл к понятию производной исходя из вопросов механики.
Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц в 1684 году опубликовал первую статью по дифференциальному исчислению, в которой были изложены основные правила дифференцирования.
Читайте также: