Конспект урока решение уравнений методом замены переменной 9 класс

Обновлено: 07.07.2024

Выделение и извлечение необходимой информации, анализировать, делать выводы.

Выбор наиболее оптимальных способов решения уравнений по средствам с применением ЦОР и ЭОР.

Развитие познавательной активности, положительной мотивации к предмету с помощью ЦОР и ЭОР.

-воспитательные, формирование личностных УУД

Установление связи между целью УД (учебной деятельности) и ее мотивом;

воспитание сознательного отношения к учению и чувство личной ответственности в коллективной работе

Тип урока обобщение и систематизация учебного материала .

Формы работы учащихся индивидуальная, самостоятельная работа, беседа, групповая работа, с применением ЦОР и ЭОР.

Необходимое техническое оборудование компьютерный класс с проектором.

Структура и ход урока

Приложение №1

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

Название используемых ЭОР

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Организационный момент.

Объявление темы и целей урока

Постановка перед собой целей на урок.

Обобщение и систематизация учебного материала.

2.1. Проведение устной работы.

Устная работа по сборнику ГИА

Стр12 № 9, стр 64 №9,стр 84

Тест по теме "Квадратные корни"

Организует выполнений заданий

Выполнение тестового задания

2.3. Коллективное решение уравнения

На закрепление навыков решения уравнения с помощью введения новой переменной.

Объявление номера задания.

Контроль над решением уравнений

Учитель проводит опрос учащихся

Какие способы решения вы использовали при решении уравнения?

Учащиеся выполняют работу в тетрадях.

Отвечают на вопросы

Учитель показывает упражнения.

2.5. Самостоятельная работа

Организует выполнение самостоятельной работы

Выполнение самостоятельной работы

Учитель читает притчу: Шёл мудрец, а навстречу ему 3 человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства.

Мудрец остановился и задал каждому по вопросу.

У первого спросил «Что ты делал целый день? И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил камни.

Ребята, давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.

Кто возил камни?

Кто добросовестно работал?

Кто строил храм?

Анализируют и оценивают усвоение решения уравнений разными способами.

Проставление оценок в дневники

Учитель подводит итоги урока.

Объявляет домашнее задания, комментирует его №221,223 (а,б)

Демонстрирует задания из ЭОР. Дополнительное задание

№ 3 Решение системы линейных уравнений

№ 4 Решение системы уравнений второй степени

Выделяют главное из урока и в ыбирают наиболее оптимальные способы решения уравнений.

Записывают домашнее задание в дневниках.

Приложение к плану-конспекту урока

Решение уравнений методом введения новой переменной

Приложение №2

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР

Название ресурса

Тип, вид ресурса

Форма предъявления информации (иллюстрация, презентация, видеофрагменты, тест, модель и т.д.)

Гиперссылка на ресурс, обеспечивающий доступ к ЭОР

Тест по теме "Квадратное уравнение"

Интерактивное задание сцена 1,3,5.

Решение системы линейных уравнений

Решение системы уравнений второй степени

Урока геометрии в 7 классе

Ф.И.О. учителя Данилов Сергей Романович

Цель посещения: методы и приемы обучения, используемые учителем для активизации деятельности учащихся.

Дата: 13 марта 2018 г.

Предмет: геометрия

Количество учащихся в классе: 14 учащихся

Количество учащихся на уроке: 14 учащихся

Я работаю по учебнику для общеобразовательных учреждений.

/Геометрия 7-9 класс. Авторы

Тема урока: «Тип урок – изучение нового материала и первичное заключение. Для проведения урока учителем создана благоприятная обстановка. На протяжении всего урока видны основные его этапы на пути движения учащихся к цели. В ходе подготовительной беседы, учителем мотивируется предстоящая работа, сконцентрировано внимание ребят. Учителем на уроке были применены различные способы применения ЦОР и ЭОР. На протяжении всего урока прослеживается умелое сочетание учителем теоретических знаний учащихся с их практической деятельностью.

На занятии были использованы разноуровневые задания. Система оценки практических знаний построена на самооценке учащимися своих достижений. Активная работа детей указывает на их заинтересованность не только к данному уроку в частности, но и к предмету в целом. В ходе урока происходит постоянное развитие и совершенствование умений и навыков учащихся.

Достаточный объем материала, чёткая организация урока способствовали успешной реализации поставленных задач.

На уроке учитель проявляет доброжелательность, понимание. Учитель хорошо владеет знаниями по предмету. Умеет увлечь детей.

Чувствуется эмоциональное сопереживание учащихся за урок и свои достижения.

Урок строился как система, в центре которой развивающиеся взаимодействия учителя и учащихся.

Урок нацелен на овладение учащимися учебно-познавательных компетентностей.

Методы и приемы обучения, используемые учителем, способствовали развитию познавательной деятельности и активизации учащихся.

Учитель умело применяет образовательные технологии, соответствующие сохранению здоровья учащихся.

Основные цели: 1) углубить знания учащихся по решению целых уравнений; 2) вывести алгоритм решения целых уравнений методом разложения на множители; 3) формировать умение применять этот алгоритм для решения целых уравнений 4) формировать умения применять полученный метод в нестандартных ситуациях, для решения практических задач, задач ОГЭ; 5) тренировать мыслительные операции анализ, синтез, сравнение, речь, логическое мышление, навыки самоконтроля; познавательные умения 6) способствовать формированию навыков группового взаимодействия: планирование учебного сотрудничества, умения выражать свои мысли

Содержимое разработки

9 класс. Решение целых уравнений

Основные цели:

1) углубить знания учащихся по решению целых уравнений;

2) вывести алгоритм решения целых уравнений методом разложения на множители;

3) формировать умение применять этот алгоритм для решения целых уравнений

4) формировать умения применять полученный метод в нестандартных ситуациях, для решения практических задач, задач ОГЭ;

5) тренировать мыслительные операции анализ, синтез, сравнение, речь, логическое мышление, навыки самоконтроля; познавательные умения

6) способствовать формированию навыков группового взаимодействия: планирование учебного сотрудничества, умения выражать свои мысли

1.Мотивация к учебной деятельности

Цель этапа:

1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока: продолжаем работать с целыми уравнениями, способами их решения, применение на практике

– Какой темой мы занимались на предыдущих уроках? (целыми уравнениями)

- Напомните, пожалуйста, какие уравнения мы назвали целыми уравнениями.

- Что такое стандартный вид уравнения?

- Что значит решить уравнение?

- Какие уравнения называются равносильными уравнениями?

- Назовите известные вам на сегодня виды целых уравнений (линейные, квадратные, кубические)

- Напомните, в каких областях находит применение эта тема? (При решении текстовых задач, работе с функциями, в практической жизни,…)

- Сегодня и в дальнейшем вам понадобятся эти знание и умения для получения новых знаний. А раз сегодня урок открытия новых знаний, то … (должны понять, что мы знаем, что мы ещё не знаем и сами найдём способ)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном учебном действии.

1) организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания и получить новый способ решения целого уравнения;

2) зафиксировать актуализированные способы действий в речи;

3) зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталоны);

4) организовать обобщение актуализированных способов действий;

5) организовать актуализацию мыслительных операций, достаточных для построения нового знания: анализ, аналогия, обобщение;

6) мотивировать к выполнению пробного действия;

7) организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия;

8) организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися пробного учебного действия или в его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе 2:

Назовите все способы разложения многочлена на множители. Какой способ вы бы применили для указанного многочлена: х 3 – 6х; х 3 – 2х 2 - 15х; 16в 2 – а 4 ;

х 3 – 8х 2 – х + 8; 9х 2 – 10х + 1

Найдите корни уравнения

(устно) ах + в = 0, а≠0

718х 2 – 717х – 1=0

(письменно) х 2 – 7х + 12 = 0

2х 2 + 3х – 3 = х 2 – 3х + (-2 + х 2 ) (ОГЭ, 1 часть)

х 3 – 2х 2 =15х (ОГЭ, 2 часть)

- Кто не справился с последним заданием? Почему?

- Кто справился с заданием? У кого есть результат? Можете ли вы его обосновать, доказать?

3. Выявление места и причины затруднения

Цель этапа:

1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;

-Какое задание вы должны были выполнить? (Решить целое уравнение третьей степени )

-В каком месте возникло затруднение? (Я не смог найти корни этого уравнения)

-А почему оно возникло? ( Я не знаю алгоритма решения такого целого уравнения)

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа:

1)организовать коммуникативное групповое взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2)согласовать цель и тему урока

-Значит, какую цель вы перед собой поставите? (учиться решать целые уравнения, получить алгоритм решения)

-Сформулируйте тему нашего сегодняшнего урока (Решение целых уравнений)

-А какими средствами мы будем достигать поставленной цели? (можно найти соответствующий материал в учебнике, поискать правило в интернете, спросить у учителя, вывести новый алгоритм самостоятельно, используя уже известные алгоритмы, правила и свойства).

Да, для уравнений 3 и 4 степени существуют специальные формулы для их решения, но они настолько сложны в использовании, что их изучением занимаются только в курсе высшей математики, а для уравнений 5 степени и выше вообще нет никаких формул.

-Работая в парах , попробуйте исследовать и решить последнее уравнение, опираясь на материал начала урока, разработайте алгоритм решения уравнений подобного вида

Напоминаю правила работы в парах:

Работать должны оба

Один говорит, второй слушает

Свое несогласие выражай вежливо

Если не понял, переспроси

5. Реализация построенного проекта

Цель этапа:

1) вывести алгоритм решения целого уравнения

2) зафиксировать новый способ в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

Идёт работа в парах по решению уравнения и составления алгоритма решения.

Подводим итоги работы в парах, фиксируем результаты.

-Сформулируйте алгоритм решения целого уравнения:

1) Привести уравнение к стандартному виду

2) Разложить многочлен в левой части уравнения на множители

3) Использовать свойство произведения равного нулю

4) Решить простейшие уравнения

5) Записать ответ

-Как можно назвать рассмотренный метод решения уравнений? (метод разложения на множители)

-Любое ли целое уравнение можно решить этим методом? (нет, только такое, чью левую часть можно разложить на множители)

-Вы достигли поставленную цель? (Да, мы получили алгоритм решения целого уравнения с помощью разложения на множители)

− Какие задания вы теперь можете выполнять? (Мы теперь сможем решать целые уравнения методом разложения на множители)

− Что теперь вы должны сделать? (Мы должны научиться применять новый алгоритм.)

6.Первичное закрепление во внешней речи

Цель этапа: применение нового алгоритма в типовых заданиях

№ 272(б,г,д,з) письменное решение с проговариванием всех этапов решения

− Как вы выполняли задание?

− У кого выполнение задания вызвало затруднение?

− Почему у вас возникло затруднение?

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель этапа:

проверить своё умение применять новое свойство в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

(взять по два задания из сборника ОГЭ)

1 вариант: 1) 5х 3 + 3х 2 = 2х 4

2) вариант 11, № 21

2 вариант: 1) 3х 4 = 8х 3 – 5х 2

2) вариант 12, № 21

(проверка по эталону)

− У кого задание вызвало затруднение?

− В каком месте возникло затруднение?

− Какой шаг алгоритма не выполнили?

− Кто может сказать, что правильно понял, как применять алгоритм решения целых уравнений с помощью разложения на множители?

− Кому еще надо учиться?

8. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа:

1) тренировать навыки использования нового алгоритма при решении заданий, связанных с функциями, текстовыми задачами

2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках.

Умение решать уравнения с помощью разложения на множители часто применяется при решении более сложных уравнений и заданий ОГЭ.

2) ОГЭ ( 2 часть) Найти координаты точек пересечения графика функции у= 3х 3 – х 2 + 18х – 6 с осями координат.

3) При каких значениях р равны значения двучленов: 3р 2 – 2р и 2р 3 – 3 ?

9. Рефлексия деятельности на уроке

Цель этапа:

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) оценить собственную деятельность на уроке;

3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;

4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

– Что нового вы узнали сегодня на уроке?

– Что использовалось при выведении нового алгоритма?

– Какие знания нам помогли в работе?

– Оцените свою работу на уроке. Для этого определите истинность для себя одного из следующих утверждений:

1.Я понял, как применять алгоритм решения целого уравнения с помощью разложения на множители

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Алгоритм решения возвратных уравнений.doc

Алгоритм решения симметрических уравнений

Симметрические уравнения 4-ой степени

1.Разделить обе части уравнения на х 2 .

2.Сгруппировать слагаемые (первый с последним, второй с четвёртым).

Привести уравнение к виду а + с = 0

3. Ввести новую переменную t = , тогда выполнено t 2 = , т.е. = t 2 – 2.

4. Выполнить подстановку и решить квадратное уравнение.

5.Вернуться к замене и решить получившиеся уравнения.

Алгоритм решения симметрических уравнений

Симметрические уравнения 4-ой степени

1.Разделить обе части уравнения на х 2 .

2.Сгруппировать слагаемые (первый с последним, второй с четвёртым).

Привести уравнение к виду а + с = 0

3. Ввести новую переменную t = , тогда выполнено t 2 = , т.е. = t 2 – 2.

4. Выполнить подстановку и решить квадратное уравнение.

5.Вернуться к замене и решить получившиеся уравнения.

Выбранный для просмотра документ КОНСПЕКТ.doc

Решение уравнений методом замены переменных

Большинство жизненных задач

решаются как алгебраические уравнения:

приведением их к самому простому виду.

Цель урока : организовать учебную деятельность учащихся по освоению ими способов решения целых уравнений высших степеней методом замены переменной; познакомить учащихся с понятиями, приёмами решения возвратных и симметрических уравнений.

Задачи: образовательная: продолжать развивать умение применять метод замены

переменной при решении уравнений; формирование умения видеть один и тот же метод решения уравнений в различных ситуациях; сформировать представление о методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов;

развивающая: развитие мышления учащихся; развитие памяти; развитие

логического мышления, способности четко формулировать свои мысли; развитие воображения учащихся; развитие устной речи.

воспитательная: воспитание наблюдательности; воспитание аккуратности

при выполнении записей на доске и в тетради; воспитание самостоятельности при выполнении практических работ.

Актуализация и систематизация знаний.

Задание №1. Разгадайте кроссворд. Ответы записывайте только в именительном падеже.

По горизонтали:

4.Чем является выражение для квадратного уравнения? (дискриминант)

6.Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство. (корень)

8.Уравнение вида , где . (биквадратное)

9.Французский математик, имеющий отношение к квадратным уравнениям. (Виет)

10.Уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями. (целое)

11. Уравнения с одной переменной, имеющие одинаковое множество корней. (равносильные)

По вертикали:

1.Множество корней уравнения. (решение)

2.Решение уравнения . (ноль)

3.Равенство, содержащее переменную. (уравнение)

5.Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с равен 0. (неполное)

7. Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. (приведенное)

Чему мы сегодня посвятим наше занятие? (Решению уравнений)

Задание №2. Каким способом вы решали бы уравнения каждой из групп?

ОТВЕТЫ: Примеры группы 1) лучше решать разложением на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки или с помощью формул сокращенного умножения.

Примеры группы 2) лучше решать способом группировки и разложения на множители.

Примеры группы 3) лучше решать введением новой переменной и переходом к квадратному уравнению.

1 Какой множитель вы вынесли бы за скобки в примерах группы 1 ?

Как вы сгруппировали бы слагаемые в примерах группы 2 ?

Что бы вы обозначили через новую переменную в примерах группы 3?

Как можно разложить на множители многочлен ?

Запишите в тетрадях тему урока.

Сегодня на занятии мы рассмотрим один из способов решения уравнений высших степеней - метод замены переменной; познакомимся с понятиями, приёмами решения возвратных и симметрических уравнений.

Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Решите уравнение. (задание у доски одновременно решают 2 ученика.)

а) (Первый ученик решает у доски с объяснением.)

б) (Второй учащийся решает уравнение молча, затем объясняет решение, класс слушает и задает вопросы, если что-то непонятно.)

1 ученик Замена: .

2 ученик Замена: .

(Дополнительно для тех, кто раньше справился с предыдущими уравнениями).

(Ход решения учащимися комментируется с места.)

РЕШЕНИЕ: Вынесем общий множитель: ,

Углубление и расширение знаний

Продолжаем работу. Вы видите на слайде уравнение: х 4 -5х 3 +6х 2 -5х+1=0.

Каким способом вы предложите его решить? Как нам быть?

Возможно ли решить его в рамках школьных программ по математике? Можно ответить нет. Ведь стандартные методы решения уравнений в школе предусматривают решение уравнений не выше второй степени. Но можно вспомнить, что отдельные уравнения более высоких степеней в школе все-таки решались. Правда, способы их решения суть творческое применение известных способов, сведения их к решению одного или нескольких уравнений степени не выше второй.

Посмотрите очень внимательно на это уравнение? Что вы заметили?( в этом уравнении коэффициенты равноудалённые от концов равны)

Ребята, уравнение такого вида, когда коэффициенты, равноудалённые от концов совпадают, называются возвратными. Это уравнение сводится к квадратному с помощью подстановки .

Предлагаю вам следующий алгоритм их решения :

Алгоритм решения возвратных уравнений.

1.Разделить обе части уравнения на х 2 .

2.Сгруппировать слагаемые (первый с последним, второй с четвёртым).

Привести уравнение к виду а + с = 0

3. Ввести новую переменную t = ,тогда выполнено t 2 = , т.е. = t 2 – 2.

4. Выполнить подстановку и решить квадратное уравнение.

5.Вернуться к замене и решить получившиеся уравнения.

Ребята изучают алгоритм.

Ученик у доски по алгоритму и с помощью учителя решает уравнение, остальные пишут в тетрадях.

6х 4 – 5х 3 – 38x 2 – 5х + 6 = 0.

Решение.

6х 2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х 2 = 0.

6(х 2 + 1/х 2 ) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.

Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x 2 + 1/x 2 ) = t 2 – 2, имеем:

6t 2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 или t = 10/3.

Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:

х 2 – 10/3 х + 1 = 0;

Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.

В проблему уравнений 3-й и 4-й степеней большой вклад внесли итальянские математики 16 века Н.Тарталья, А.Фиоре, Д.Кардано и др. В 1535 г. между А.Фиоре и Н.Тартальей состоялся научный поединок, на котором последний одержал победу. Он за 2 часа решил 30 задач, предложенных Фиоре, а сам Фиоре не смог решить ни одной, заданной ему Тартальей.

Ребята, и ещё одно уравнение я хочу вам сегодня предложить, я его взяла из сборника задач для подготовки к ОГЭ.

Если бы вы встретили такое уравнение, то как бы вы начали его решать?

Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + b называются симметрическими .

Методика решения подобных уравнений заключается в частичном раскрытии скобок, а затем введении новой переменной.

РЕШЕНИЕ: Сначала сгруппируем множители:

(Далее уравнение решается самостоятельно с дальнейшей устной проверкой.)

Значит, или (Второе уравнение корней не имеет, т.к. дискриминант меньше нуля)

Решите самостоятельно следующее уравнение.

(х + 1)(х + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.

Решение.

Вычисляем: 1 + 4 = 2 + 3. Группируем скобки по парам:

((х + 1)(x + 4))((х + 2)(x + 3)) = 24,

(х 2 + 5х + 4)(х 2 + 5х + 6) = 24.

Сделав замену х 2 + 5х + 4 = t, имеем уравнение

t(t + 2) = 24, оно является квадратным:

После выполнения обратной замены, легко находим корни исходного уравнения.

Ответ: -5; 0.

Творческий перенос знаний и навыков в новые условия.

В начале урока говорили о том, что если в уравнении есть повторяющиеся элементы, то можно применять метод замены переменной. Мы еще не умеем решать тригонометрические и иррациональные уравнения. Давайте посмотрим, сможем ли мы применять к ним этот метод, если будем знать, как решать простейшие тригонометрические и иррациональные уравнения.

Задание 1: Назвать замену переменной в следующих уравнениях.

2с os 2 x – 4cos x + 5 = 0

Задание 2: Составить несколько уравнений, в основе решения которых лежит метод замены переменной.

Подведение итогов.

Итак, ребята, наш урок подошёл к концу. Давайте подведём итоги нашего урока.

Какие цели мы ставили в начале урока?

Наши цели достигнуты?

Что нового мы узнали на уроке?

Домашнее задание.

4х 4 – 8х 3 + 3х 2 – 8х + 4 = 0

. (уравнение итальянских математиков)

А закончить урок мне хочется словами великого учёного Эйнштейна А. :

Спасибо за урок! До свидания!

Выбранный для просмотра документ ПРЕЗЕНТАЦИЯ.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

12 3 45 6 7 8 9 10 11

ОТВЕТЫ на КРОССВОРД По горизонтали: 4 дискриминант 6 корень 8 биквадратное 9 Виет 10 целое 11 равносильные По вертикали: 1 решение 2 ноль 3 уравнение 5 неполное 7 приведенное

Решение уравнений методом замены 2015

Найдите ошибку: Решите уравнение: 2 – 3*(2х + 2) = 5 – 4х 2 – 6х – 6 = 5 – 4х -6х + 4х =5 – 6 + 2 2х = 1 х = 1 : (-2) х= - 0,5 Ответ: 5 , 0 -

Правильно ли решено уравнение? Х2 + 2х – 15 = 0 а = 1; b = 2; с = - 15 D = 22 – 4*1*(-15) = 64, D>0, 2 корня х1= = - 3 х2 = = 5 Ответ: 3 ; 5 -

Проверьте правильность решения уравнения = * (х – 3), где х ≠ 3 х2 – 6 = х х2 – х – 6 = 0 по теореме, обратной теореме Виета х1 + х2 = 1; х1 * х2 = - 6; значит х1 = - 2 и х2 = 3. Ответ: 2 - ; 3

Рассмотрите уравнения: а)Что у этих уравнений общего? б)На какие две группы их можно разделить? в) Если затрудняешься, сравни между собой коэффициенты каждого уравнения

г)Уравнения такого вида называются симметрическими. Как ты думаешь, почему? ☻ д)Попробуй записать общий вид симметрического уравнения четвертой степени. Используй для обозначения коэффициентов буквы a,b,c, а для переменной х. е)Сравни свой результат с уравнением:

Уравнения вида а0хn + a1xn-1 + … + akxk + … + a1x + a0 = 0, где коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями. Симметрические уравнения обладают следующими свойствами: Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень х = -1, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой; Уравнение четной степени 2n решаются с помощью подстановки V = x + 1/х сводится к уравнению степени n.

6х4 – 5х3 – 38x2 – 5х + 6 = 0

Математический турнир между итальянскими учеными А.-М. Фиоре и Н.Тартальей

(х + 1)(х + 2)(x + 3)(x + 4) = 24

Уравнение ( x + a)( x + b) ( x + c)( x + d) = m, где m - число, выполняется условие : a + b = c + d или a + c = b + d или a + d = b + с, получаем равенство сумм других пар чисел. Если выполняется это равенство, то можно использовать метод замены переменной.

(х + 1)(х + 2)(x + 3)(x + 4) = 24

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1) Решите уравнения: 2) Найдите и решите 2-3 уравнения, предложенные А.Фиоре и Н.Тартальей. 4х4 – 8х3 + 3х2 – 8х + 4 = 0 (х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40

В Европе в XVI в. было положено начало оригинального развития математики и перехода от старого к новому этапу ее жизни. Важнейшими математическими достижениями XVI в. были алгебраическое решение уравнений 3-й и 4-ой степени и создание алгебраической символики. Новый этап развития алгебры зародился в Италии. В начале XVI в. профессор математики Болонского университета Сципион дель-Ферро (1465—1526) впервые нашел алгебраическое решение уравнения третьей степени вида ,где p и q положительные числа.

Это решение профессор держал в строгом секрете, о нем узнали только два ученика ученого, в том числе некий Фиоре. Утаивание научных открытий в то время имело особое значение для жизни и карьеры их авторов. В Италии широко практиковались тогда математические поединки-диспуты: на многолюдных собраниях оба противника предлагали один другому задании для решения их на месте или в определенный срок. Побеждал тот, кто решал большое количество задач. Победитель награждался при этом не только славой и назначенным денежным призом, но и возможностью занять университетскую кафедру или другую должность. А человек, потерпевший на диспуте поражении , часто терял занимаемое им место.

Для участников алгебраических диспутов было исключительно важно обладать неизвестной еще для других формулой решения того или иного типа уравнений, алгоритмом. Вот почему после внезапной смерти дель Ферро его ученик Фиоре, который сам не был глубоким математиком, решил воспользоваться сообщенным ему секретом и вызвать на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени Николо Тарталья (ок. 1499—1557).

Настоящая фамилия ученого была не Тарталья, а Фонтана. В 1512году его родной город Брешия был оккупирован французскими войсками. В то время озверевшие солдаты беспощадно грабили и даже убивали мирных жителей. Маленький Николо тоже был тяжело ранен: у него был рассечен язык. Матери удалось спасти жизнь сына, но говорить свободно Николо уже никогда не мог, речь его была крайне невнятной. Он получил прозвище Тартатья (заика). Несмотря на тяжелые материальные условия, одаренный мальчик упорно овладевал математикой. Нередко, когда не было денег на покупку бумаги, он писал свои математические вычисления на заборах и камнях.

Диспут состоялся 20 февраля 1535г. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противникам. Фиоре, который не смог решить ни одной из 30 предложенных ему задач, выбранных Тартальей из различных областей математики, признал себя побежденным. После диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, однако он продолжал держать в секрете найденную им формулу, та как намеревался опубликовать ее в своем труде по алгебре.

В книге Кардано содержится также алгебраическое решение уравнений четвертой степени — важнейшее открытие, сделанное одним из его учеников — Луиджи Феррари (1522—1565).

“Уравнение представляет собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике… Процесс решения уравнения есть просто акт приведения его к возможно более простой форме. В какой бы форме уравнение ни было написано, его информационный характер остаётся тот же. Но в некоторых формах его нелегко прочесть”. (Лодж О)

Умение решать уравнения является одним из основных критериев уровня математической подготовки обучающихся. Наиболее распространённым методом решения уравнений является метод введения новой переменной, относительно которой уравнение принимает более простой вид. Этот метод не требует специальной подготовки и основан на применении знаний и фактов программного материала. Сделать замену переменной иногда удобно сразу, а иногда её можно выявить в результате каких-то преобразований. Данный материал поможет обучающимся научиться удачно вводить новую переменную при решении уравнений, что является важным моментом математической культуры школьника.

1. Уравнения, в которых замена очевидна

Способ решения: Приведём данное уравнение к виду и, сделав замену , решим получившееся уравнение . Получим или . Вернемся к замене и решим еще два уравнения:

3. Уравнения вида

Способ решения: Обратим внимание, что сумма свободных членов первой и четвертой скобки равна сумме свободных членов второй и третьей скобки. Перемножив эти скобки, получим . Сделаем замену , получим уравнение , раскроем скобки , найдем корни по теореме обратной теореме Виета или . Возвращаемся к замене и решаем еще два уравнения:

3. Уравнения вида .

Способ решения: . Сначала умножим обе части уравнения на , чтобы поменять местами слагаемые во второй скобке. Получим уравнение . Перемножим те скобки, в которых произведение свободных членов одинаково, т. е. первую скобку на четвертую, а вторую на третью. Получим . Так как не является корнем данного уравнения, то разделим обе части уравнения на ; получим ; преобразуем полученное выражение ; сделаем замену переменной ; и решим уравнение ; ; . Возвратимся к замене и решим ещё два уравнения:

4. Симметрические уравнения и возвратные уравнения

Способ решения: . Так как не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на , получим ; группируем; выносим за скобки общий множитель (*); делаем замену переменной ; возводим обе части полученного равенства в квадрат ; выражаем ; подставляем полученное выражение в уравнение (*) и решаем уравнение ; ; ; или . Возвращаемся к замене и решаем уравнения 1) ; ; ; .

5. Дробно-рациональные уравнения

Способ решения: ОДЗ:

Сделаем замену ; возведем обе части в квадрат, получим , выразим и подставим в исходное уравнение, получим . Решаем полученное уравнение ; ; ; получаем два уравнения:

6. Однородные уравнения

Способ решения: Так как не является корнем уравнения, разделим обе его части на , получим ; сделав замену переменной ; и, решив полученное уравнение , находим корни ; ; Возвратившись к замене, решим ещё два уравнения:

2) ; ; ; , решений нет.

Уравнения, решаемые методом выделения квадрата двучлена

Способ решения: ОДЗ: . Обратим внимание на то, что знаменателем дроби является квадрат суммы двучлена, значит выделять будем квадрат разности ; сделав замену переменной , получим уравнение ; преобразуем его к виду и решим:; ; ; . Возвратимся к замене и решим уравнения:

Читайте также: