Конспект урока решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
Обновлено: 05.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Урок алгебры в 8 классе
Цель урока: показать способ решения полных квадратных уравнений выделением квадрата двучлена, формировать умение решать квадратные уравнения этим способом.
. Проверка домашнего задания (3 ученика у доски).
Решить уравнения: а) х 2 – 25 = 0; 4х 2 – 9 = 0;
б) х 2 – 5х = 0; 3х 2 + 7х = 0;
в) (х + 2) 2 = 0; (х – 5) 2 = 16;
Дополните сумму до квадрата двучлена:
а) а 2 + 2а + …; б) х 2 – 6х + …; в) у 2 + 8у + …;
г) х 2 – 5х + …; д) х 2 – х + …; е) х 2 – 2ах + …
Дома повторить формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, что будет необходимо для выполнения домашнего задания.
2) Указать в квадратном уравнении его коэффициенты:
а) 7х 2 – 8х – 2 = 0; б) х 2 + 6х – 7 = 0;
в) – 3х 2 – 3х + 10 = 0; г) х 2 – 9х + 4 = 0.
Это необходимо знать для выполнения домашнего задания.
Есть ли похожие уравнения и чем? (б и в).
V. Изучение нового материала.
1) определение приведенного квадратного уравнения (если а = 1), например
х 2 + 10х + 25 = 0.
решим уравнение а) х 2 + 10х + 25 = 0 б) х 2 – 6х – 7 = 0
(х + 5) 2 = 0 (х 2 – 6х + 9) – 9 – 7 = 0
х + 5 = 0 (х – 3) 2 – 16 = 0
х = – 5 (х – 3) 2 = 16
х – 3 = 4 х – 3 = – 4
х = 4 + 3 х = – 4 + 3
Способ, с помощью которого мы решили уравнения называют выделением квадрата двучлена.
V. Закрепление изученного материала.
1) на доске и в тетрадях с подробным объяснением – №541(ж,е)
ж) у 2 – 12у + 32 = 0 е) х 2 + 9х – 22 = 0
(у 2 – 12у + 36) – 36 + 32 = 0 (х 2 + 9х + 20,25) – 20,25 – 22 = 0
(у – 6) 2 – 4 = 0 (х + 4,5) 2 – 42,25 = 0
(у – 6) 2 = 4 (х + 4,5) 2 = 42,25
у – 6 = у – 6 = – х + 4,5 = х + 4,5 = –
у – 6 = 2 у – 6 = – 2 х + 4,5 = 6,5 х + 4,5 = – 6,5
у = 6 + 2 у = 6 – 2 х = 6,5 – 4,5 х = – 6,5 – 4,5
решает на доске учитель с объяснением
а) х 2 + 8х – 1 = 0 б) х 2 – 4х + 10 = 0
(х 2 – 8х + 16) – 16 – 1 = 0 (х 2 – 4х + 4) – 4 + 10 = 0
(х – 4) 2 – 17 = 0 (х – 2) 2 + 6 = 0
(х – 4) 2 = 17 (х – 2) 2 = – 6
х – 7 = х – 7 = – решений нет
самостоятельно с последующей проверкой – №540(д)
(х 2 + 6х + 9) – 9 – 19 = 0
V.Повторение пройденного материала – №472.
Найдите значение выражения:
а) + (2) 2 = 0,4 + 4 · 0,1 = 0,4 + 0,4 = 0,8
б) (0,2) 2 + 0,5 = 0,04 · 10 + 0,5 · 4 = 0,4 + 2 = 2,4
в) 2 = 12 0,5 · 12 = 12 6 = 6
г) (3) 2 + () 2 = 9 · 3 + 9 · 3 = 27 + 27 = 54
д) (5) 2 (2) 2 = 25 · 2 4 · 5 = 50 20 = 30
е) () 2 3() 2 = 9 · 6 3 · 6 = 54 18 = 36
V. Итог урока. Дифференцированное домашнее задание:
1.Решите уравнение выделением квадрата двучлена:
а) х 2 + 12х + 36 = 0; б)х 2 – 8х + 15 = 0; в)х 2 – 5х – 6 = 0.
2. Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты и найдите значение выражения b 2 – 4ас: а) 2х 2 – 9х + 10 = 0; б) – х 2 + х – 5 = 0.
1.Решите уравнение выделением квадрата двучлена:
а) х 2 + 8х + 16 = 0; б)х 2 – 4х + 3 = 0; в)х 2 + 9х + 14 = 0.
2. Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты и найдите значение выражения b 2 – 4ас: а) 7х 2 – 8х – 2 = 0; б) –4х 2 +15 х + 7 = 0.
- подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- по всем предметам 1-11 классов
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- ЗП до 91 000 руб.
- Гибкий график
- Удаленная работа
Дистанционные курсы для педагогов
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 608 112 материалов в базе
Материал подходит для УМК
21. Неполные квадратные уравнения
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
- 04.06.2017 2674
- DOCX 31.8 кбайт
- 108 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Емельянова Лариса Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
40%
- Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- Для учеников 1-11 классов
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах
Время чтения: 0 минут
В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик
Время чтения: 2 минуты
Онлайн-тренинг: нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни
Время чтения: 2 минуты
Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование
Время чтения: 1 минута
Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России
Время чтения: 1 минута
Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Проверка домашнего задания через консультантов. Актуализация знаний.
Выполнение заданий творческого характера на доске.
1) (2 – 5х) 2 = 9 (Ответ: – 0,2; 1.)
2) х 2 – 4 | х | = 0,
| х | = а, а > 0,
а 2 – 4а = 0,
а(а – 4) = 0, а = 0 или а – 4 = 0,
а = 4,
| x | = 0, х = 0, | x | = 4, х = 4 или х = – 4. Ответ: – 4; 0; 4.
3) | 3x 2 + 5x – 4 | = 3x 2 + 4
3х 2 + 4 > 0 верно при любых значениях переменной х
а) 3х 2 + 5х – 4 = 3х 2 + 4, б) 3х 2 + 5х – 4 = – 3х 2 – 4,
5х = 8, х = 1,6 6х 2 + 5х = 0, х(6х + 5) = 0, х = 0, х = –
Устная работа. Теоретическая изюминка (презентация)
1) Какие уравнения вы знаете? (Линейные, квадратные)
2) Определение квадратного уравнения. Почему а ≠ 0?
3) Вспомните классификацию квадратных уравнений ( полные ,неполные , приведенные)
4) Какое уравнение называется неполным? Виды неполных квадратных уравнений.
5) Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?
6) Д/м, стр. 23, 1,2 задание
7) (а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2 – квадрат суммы двух выражений . Замените * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:
а) ( * + 2в ) 2 = а 2 + 4ав + 4в 2
б) (15 + * ) 2 = 225у 2 + 1 2х 3 у + 0,16х 6
в) (3а – 2,5в) 2 = 9а 2 + 6,25в 2 – *
II. Операционально-исполнительный этап
Определение приведенного квадратного уравнения:
Квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0 с первым коэффициентом а = 1 называется приведенным
1) Определите вид уравнения х 2 + 2х + 1= 0 и решите это уравнение
(х + 1) 2 = 0,
х + 1= 0, х = – 1.
– Каким способом вы решили?
3) Выделите квадрат двучлена: х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2х * 3 + 9 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16
4) Решите уравнение
х 2 + 6х – 7 = 0,
(х + 3) 2 – 16 = 0, (х + 3) 2 = 16
х + 3 = 4 или х + 3 = – 4
х = 1 или х = – 7
Ответ: – 7; 1.
Проговаривание способа решения уравнения.
Алгоритм решения квадратных уравнений выделением квадрата двучлена (презентация)
а) определяем первое выражение;
б) находим второе выражение: выражение с переменной (т.е. удвоенное произведение двух выражений ) делим на удвоенное первое выражение
в) прибавим и отнимем квадрат второго выражения;
г) упростим выражения, выделив квадрат двучлена;
д) решаем как неполное квадратное уравнение.
5) Решите уравнение х 2 – 5х + 10 = 0,
х 2 – 2х* 5/2 + (5/2) 2 – (5/2) 2 + 10 = 0,
(х – 5/2 ) 2 = – 15/4, нет корней.
6) Ребята, как вы думаете, можно ли решить выделением квадрата двучлена следующее уравнение 2х 2 – 9х + 10 = 0, 5х 2 + 3х – 8 = 0? (Можно, но сначала надо разделить каждый член уравнения на 2 (5), так как а = 2 (а = 5))
а) х 2 – (9/2)х + 5 = 0, б) х 2 + (3/5)х – (8/5) = 0
Решите данные уравнения в парах.
(Проверка по образцу).
б) х 2 + 2х * 3/10 + 9/100 – 9/100 – 8/5 = 0,
(х + 3/10) 2 = 169/100,
| x + 3/10 | = 13/10,
х + 3/10 = 13/10 или х + 3/10 = –13/10,
х = 1 или х = – 1,6
Ответ: – 1,6; 1.
Проговаривание решения квадратного уравнения в парах.
Самостоятельная работа
а) х 2 – 4х + 4 = 0 , б) х 2 + 12х + 20 = 0
(х = 2) (х = – 2; х = – 10)
а) х 2 + 14х + 49 = 0, б) х 2 – 8х – 9 = 0
(х = – 7) (х = – 1; х = 9)
а) х 2 – х + = 0, б) 5y 2 – 6y + l = 0,
(х = ) (х = 1; х = )
а) у 2 – у + 1 = 0, б) 5х 2 – 8х + 3 = 0
(х = 2) (х = 1; х = 0,6 )
(Во время самостоятельной работы звучит классическая музыка) Взаимопроверка.
Учащиеся выставляют оценки карандашом.
Физминутка для глаз (компьютерная презентация)
7) При каком значении а уравнение х 2 + 12х + 36 = а имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней?
(х + 6) 2 = а при а > 0 , 2 корня ;
при а = 0, 1 корень;
при а 2 – 4х + 5 = m?
х 2 – 2х * 2 + 4 – 4 + 5 = m,
(х – 2) 2 + 1 = m,
(х – 2) 2 = m – 1,
при m > 1, 2 корня;
при m = 1, 1 корень.
9) Решите уравнение: у 2 – 4| y | – 96 = 0.
Пусть | y | = b, b > 0,
b 2 – 4b – 96 = 0,
b 2 – 2b* 2 + 4 – 4 – 96 = 0,
(b – 2) 2 = 100,
| b – 2 | = 10,
b – 2 = 10 или b – 2 = – 10,
b = 12 или b = – 8.
b = – 8 не удовлетворяет условию b > 0,
| у | = 12,
y = 12 или у = – 12.
Домашняя работа
№526 – обязательный уровень;
№528, С-24, №7 – повышенный уровень;
Творческая работа
III. Рефлексивно-оценочный этап
– Что изучали на уроке?
– Как решали квадратные уравнения?
– Что вы знаете об истории возникновения квадратных уравнений?
Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 году в Древней Индии. Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика 12 века Бхаскары:
«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
Цель: ознакомить учащихся с приемом решения квадратного уравнения выделением квадрата двучлена.
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Назовите коэффициенты квадратного уравнения:
2. Найдите корни уравнения:
3. Представьте одночлен в виде удвоенного произведения двух множителей:
4. Разложите на множители:
III. Объяснение нового материала.
Для осознанного восприятия приёма решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена объяснение следует проводить в несколько этапов.
1. Актуализация знаний.
Прежде всего учащимся необходимо научиться свободно решать уравнения вида х 2 = а и (х + k) 2 = m.
Частично знания учащихся были актуализированы при выполнении устной работы. Чтобы ребята вспомнили, как решаются уравнения вида (х + k) 2 = m, необходимо предложить им задание:
2. Ознакомление с приёмом решения квадратного уравнения путём выделения квадрата двучлена следует начать с рассмотрения приведённого квадратного уравнения, левая часть которого представляется в виде полного квадрата двучлена:
и т. п.
После этого появляется возможность подвести учащихся к мысли о том, что для решения квадратного уравнения нужно привести его к виду (х + k) 2 = m, а сделать это можно путём выделения квадрата двучлена. Сперва рассматриваем приведённое квадратное уравнение, одновременно выделяя алгоритм решения квадратных уравнений данным приёмом.
1-й шаг. Записываем второй коэффициент в виде произведения двойки и некоторого числа: b = 2n.
х 2 - 6х - 7 = х 2 - 2 ∙ 3х - 7.
2-й шаг. Число п представляет собой второе слагаемое в искомом квадрате двучлена: n = 3. Для того, чтобы получить искомый квадрат двучлена (х - n) 2 = х 2 – 2 ∙ х ∙ n + n 2 , необходимо прибавить n 2 и одновременно вычесть его:
3-й шаг. Выделяем квадрат двучлена:
4-й шаг. Решаем полученное уравнение, равносильное исходному:
3. Решение неприведённых квадратных уравнений приёмом выделения квадрата двучлена.
Целью рассмотрения приёма решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена является подготовка к осознанному восприятию вывода общей формулы корней. Поэтому не стоит заострять внимание учащихся на технически сложных заданиях. Однако нужно рассмотреть со всем классом пример решения неприведённого квадратного уравнения указанным приёмом (с. 116-117 учебника).
IV. Формирование умений и навыков.
Следующие упражнения представляют собой последовательность квадратных уравнений, решаемых приёмом выделе ния квадрата двучлена, от простых к более сложным.
Уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.
3. а) Зх 2 - 4х - 4 = 0,
4. а) При каком значении а уравнение х 2 - ах + 9 = 0 имеет ин корень?
Выделим квадрат двучлена.
Это квадратное уравнение имеет единственный корень, если
б) При каком значении т уравнение 3х 2 - mх - 6 = 0 имеет единственный корень?
Выделим квадрат двучлена.
Это квадратное уравнение имеет единственный корень, если
m 2 = -72 - нет корней.
Ответ: нет решений.
- Какое уравнение называется квадратным?
- Какое квадратное уравнение называется приведённым?
- Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое?
- В чём заключается приём решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена?
- Любое ли квадратное уравнение может быть решено указанным приёмом?
1. Решить методом выделения квадрата двучлена:
а) 5x 2 + 3х - 8 = 0;
б) х 2 - 8х - 9 = 0;
2. При каких значениях п можно представить в виде квадрата двучлена выражение:
3. Выполнить задания по учебнику: № 534 (б, г, д), 653 (а).
Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.
Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.
Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.
Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.
Урок позволит рассмотреть способ решения квадратных уравнений способом выделения полного квадрата двучлена, научит использовать данный способ при решении полных квадратных уравнений.
Описание разработки
Цель урока:
ознакомить учащихся со способом выделения полного квадрата двучлена.
Задачи:
рассмотреть способ решения квадратных уравнений способом выделения полного квадрата двучлена; научиться использовать данный способ при решении полных квадратных уравнений;
развивать познавательные способности, мышление, наблюдательность, сообразительность и навыки самостоятельной деятельности; привитие интереса к математике;
желания активно учиться с интересом; четкость и организованность в работе; дать каждому ученику достичь успеха;
Оборудование: Школьные принадлежности, доска, мел, учебник, раздаточный материал.
Ход работы.
1. Организационный момент.
2. Повторение ранее изученного материала.
В перечисленных примерах укажите и назовите коэффициенты в квадратных уравнениях, неполных квадратных уравнениях и линейных уравнениях:
Вставьте пропущенные слагаемые и назовите формулы квадрата суммы или квадрата разности:
в) 16а 2 + … +25в 2 =(4а+5в) 2 .
3. Объяснение нового материала.
представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена х 2 +2*5х+5 2 -5 2 +21=0,
(ученики с помощью учителя)
х 2 +2*3х+3 2 -3 2 +8=0,
х 2 -2*2х+2 2 -2 2 +3=0,
х 2 +2*2х+2 2 -2 2 +20=0,
Ответ: корней нет.
Весь материал - в документе.
Содержимое разработки
Алгебра. 8 класс
Урок № 32
Дата:_____________
Учитель: Горбенко Алена Сергеевна
Тема: Метод выделения полного квадрата двучлена
Тип урока: комбинированный
Цель урока: ознакомить учащихся со способом выделения полного квадрата двучлена
Задачи:
Образовательные: рассмотреть способ решения квадратных уравнений способом выделения полного квадрата двучлена; научиться использовать данный способ при решении полных квадратных уравнений;
Развивающие: развивать познавательные способности, мышление, наблюдательность, сообразительность и навыки самостоятельной деятельности; привитие интереса к математике;
Воспитательные: желания активно учиться с интересом; четкость и организованность в работе; дать каждому ученику достичь успеха;
Оборудование: Школьные принадлежности, доска, мел, учебник, раздаточный материал.
Ход работы
Организационный момент
Повторение ранее изученного материала
В перечисленных примерах укажите и назовите коэффициенты в квадратных уравнениях, неполных квадратных уравнениях и линейных уравнениях:
Вставьте пропущенные слагаемые и назовите формулы квадрата суммы или квадрата разности:
в) 16а 2 + … +25в 2 =(4а+5в) 2 .
Объяснение нового материала
представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена х 2 +2*5х+5 2 -5 2 +21=0,
Читайте также: