Конспект урока решение квадратных уравнений с параметром
Обновлено: 05.07.2024
обобщить, знания обучающихся по решению квадратных уравнений.
сформировать умение решать квадратные уравнения с параметрами.
формирование информационной, коммуникативной и учебной компетентности учащихся, умения работать с имеющейся информацией в новой ситуации.
Структура урока
актуализация знаний учащихся
открытие способа решения квадратных уравнений с параметрами
способы решения квадратных уравнений с параметрами
нахождение решений квадратного уравнения с параметрами
самостоятельная работа на листах с печатной основой
Вводная беседа учителя (1 мин)
Приветствует учащихся, организует рабочее место, выявляются отсутствующие
Чем занимались на прошлом уроке?
C ообщить цели. Обобщить, знания по решению полных квадратных уравнений по алгоритму с помощью дискриминанта на основе учится решать уравнения с параметрами.
II . Проверка домашнего задания (3 мин).
Демонстрируем заранее заготовленное домашнее задание.
Домашнее задание
4. х 6 + 7 х 3 − 8 = 0
5. 16 х 4 - 25х 2 + 9 =0
6. (5х +1) 2 − (5х +1) − 12 =0
7. ( х 2 −3х + 1)( х 2 −3х +3) =3
Повторим теорию Какие уравнения называются квадратными?
Какие бывают квадратные уравнения ?
Покажите с помощью стрелок связь между коэффициентами
неполного квадратного уравнения и его корнями.
(На выполнение 2мин)
Неполные квадратные уравнения
Полные квадратные уравнения
(приводимые к виду ах 2 + вх + с = 0 ( a ≠ 0, в ≠ 0, с ≠ 0) )
(Количество корней. Исследование дискриминанта)
16 х 2 + 9 =0
х 2 - 6х +9 =0
х 2 +8 х +16=0
7)│ х 2 − 25 │= − 9
Дополнительный вопрос как называются такие уравнения (учащиеся знакомы с уравнениями с параметром )
8)х 2 + ах =0
9) х 2 + ах +1 = 0 (один корень)
Физкультминутка (включить спокойную музыку)
1.Закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы, на счет 1 -4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз. 2.. Посмотреть на переносицу и задержать взор на счет 1-4. До усталости глаза не доводить. Затем открыть глаза, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз. 3. Не поворачивая головы, посмотреть направо и зафиксировать взгляд на счет 1-4, затем посмотреть вдаль прямо на счет 1-6. Аналогичным образом проводятся упражнения с фиксацией взгляда влево, вверх и вниз. Повторить 3-4 раза. 4. Перенести взгляд быстро по диагонали: направо вверх - налево вниз, потом прямо вдаль на счет 1 -6; затем налево вверх - направо вниз и посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.
Сегодня будем решать квадратные уравнения с параметром
Как решить полное квадратное уравнения с параметрами?
Если коэффициент при обращается в 0.
Решение уравнений (15мин)
1.Решить уравнение с параметром а - это значит, для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.
№ 25.46 (а,б) Решите уравнение с параметром р, а.
а) 6 х 2 −(2р +3)х + р = 0
б) p х 2 −(р +1)х + 1 = 0
в) ах 2 - 2х + 4 = 0
г) х 2 + ах + 12 = 0
д) 2х 2 +4х + а = 0
Решаем уравнения а.б подробно с пояснениями. (если время позволяет уравнение в)
К уравнению б дополнительно вопрос квадратное оно или линейное?
Еще раз обращаем внимание на решение уравнения.
Если коэффициент при х 2 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль
Самостоятельно по вариантам (на печатной основе лист даётся каждому. Работы собираются и оцениваются учителем) (12мин)
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Образовательные задачи: создать условия для
повторения основных видов квадратных уравнений и методов их решения;
обобщения и систематизации умений учащихся решать квадратные уравнения;
совершенствования навыков решения квадратных уравнений на примере решения уравнений с параметрами
формулирования учащимися общих рекомендаций по решению квадратных уравнений с параметрами.
Развивающие задачи: продолжить совершенствование
логического мышления учащихся;
умения классифицировать объекты;
умения выбирать главное;
навыки работы с книгой и дополнительными источниками информации;
математической речи учащихся;
умения владеть собой на публичном выступлении;
умения выступать с самостоятельными суждениями и отстаивать их.
Воспитательная задача: продолжать воспитание познавательного интереса к предмету.
Тема урока: “Решение квадратных уравнений с параметрами”
Тип урока: урок обобщения и систематизации.
Методы обучения:
Оборудование: компьютер, карточки с домашним заданием.
Форма организации учебной деятельности:
Предполагаемый результат:
1) усовершенствованная математическая речь учеников;
2) ученики знакомятся с методом решения квадратных уравнений с параметрами.
На протяжении многих уроков мы рассматривали квадратные уравнения и методы их решения Целью сегодняшнего урока является обобщение и углубление знаний о квадратных уравнениях и методах их решения. Кроме того, мы будем решать квадратные уравнения с параметрами.
2. Актуализация знаний учащихся
а) Устная работа. Повторение видов квадратных уравнений, методов их решения.
На экране показывается слайд №1
Квадратные уравнения
1) ах 2 + вх + с = 0
D 0, то уравнение не имеет решений.
если ≤ 0, то уравнение не имеет решений
б) На экране показывается слайд №2.
Учащимся предлагается обсудить следующие вопросы:
д) (4-р)х 2 +(2р+4)х+12=0.
При каких значениях параметра р заданное уравнение является неполным квадратным уравнением?
При каких значениях параметра р заданное уравнение является приведенным квадратным уравнением?
При каких значениях параметра р заданное уравнение является неполным неприведенным квадратным уравнением?
При каких значениях параметра р заданное уравнение является неполным приведенным квадратным уравнением?
При каких значениях параметра р заданное уравнение является линейным уравнением?
3. Решение задач.
1) На доске написаны уравнения:
x 2 =а х 2 =9а 2 ах 2 =9
Учащиеся отвечают сначала устно, а затем записывают свой ответ в тетради вслед за учителем, пишущим на доске):
При каких значениях а уравнение не имеет решения?
При каких значениях а уравнение имеет один корень? Найдите этот корень.
При каких значениях а уравнение имеет два разных решения? Найдите эти корни.
Можно ли дать однозначный ответ о решении квадратного уравнения с параметром? Почему?
2) Учитель решает уравнения:
a) y 2 – 3y = a 2 + 3a б ) ах 2 + (2 а +1 ) х + 2 = 0
3) Учащиеся в малых группах ( 2 человека) с помощью учителя решают уравнения
а) х 2 - (2р + 1)х + (р 2 + р - 2) = 0
б) рх 2 + (1 - р)х – 1 = 0.
в) При каких значениях a уравнение ax 2 – x + 3 = 0 имеет единственное решение?
Ошибочно считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Исходя из этого соображения, рассмотрим следующие случаи:
a = 0, при этом уравнение принимает вид – x + 3 = 0 , откуда x = 0, т.е. решение единственно;
a ≠ 0, тогда ax 2 – x + 3 = 0 квадратное уравнение, дискриминант D = 1 – 12 a . Для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы D = 0, откуда a =.
Ответ: a = 0 или a =.
3) Формулируются основные рекомендации по решению квадратных уравнений
На экране высвечивается слайд №3:
Проверить: может ли старший коэффициент быть равным 0. В случае положительного ответа решить получившееся линейное уравнение.
Найти дискриминант квадратного уравнения D по формуле D = b 2 -4ac.
Если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет решений.
Если дискриминант равен 0, то уравнение имеет 1 решение х =
Если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных корня:
х =
4. Самостоятельное решение уравнения
Х 2 – 2 (а – 1)х + а 2 - 2а – 3 = 0
с последующей самопроверкой по предложенному учителем на экране решением.
На экране показывается слайд №4
, то данное уравнение квадратное. Поэтому количество корней уравнения будет зависеть от знака .
D = b 2 -4ac D=(-2 ( а – 1)) 2 – 4( а 2 - 2 а – 3) = 4a 2 -8a+4-4a 2 +8a+12=16
то уравнение имеет 2 решения x 1,2=
Ответ : x 1 = a -1, x 2 = a -3
4. Самостоятельная работа по вариантам
а)
б)
б) .
5. Постановка домашнего задания (задание выдается на карточках ):
1. Решить уравнения:
а)
б)
2. При каких значениях a уравнение ( a -2) x 2 + (4- 2 a ) x + 3 = 0 имеет единственное решение?
1) При a = 2 исходное уравнение не имеет решения.
2) a ≠ 2, тогда данное уравнение является квадратным и принимает вид . Искомые значения параметра – это корни дискриминанта, который обращается в нуль при a = 5.
Ответ: a = 5.
3. При каких значениях a уравнение ax 2 – 4 x + a + 3 = 0 имеет более одного корня?
1) При a = 0 уравнение имеет единственный корень x = .
2) При a ≠ 0, исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант положителен, т.е. 16 – 4 a 2 -12 a > 0. Решая неравенство, получаем – 4 . Из этого промежутка следует исключить число нуль.
4. При каких значениях параметра a уравнение имеет одно решение?
6. Итог урока.
Сегодня мы повторили, как решаются квадратные уравнения и рассмотрели особенности их решения с параметрами. Узнали, в чем состоит метод решения квадратных уравнений с параметром, и сформулировали основные рекомендации по его применению.
Самоанализ урока
1. В классе обучаются 29 учащихся. 10 учащихся могут учиться на 4-5, 13 человек на четвёрки, остальные без направляющей помощи учиться не могут. При планировании урока это было учтено и определило выбор методов и приёмов изложения материала и способов закрепления полученных знаний на основе систематизации .
2. Этот урок является уроком обобщения и систематизации знаний и умений. Материал урока направлен на развитие логического мышления, алгоритмической культуры, интуиции, навыков исследовательской деятельности, творческих способностей учащихся. Задачи подобраны алгоритмичные по своему решению. Структура урока: постановка цели и задач урока; повторение умений и навыков, являющихся опорой для обобщения и систематизации знаний по данной теме; проведение проверочных упражнений (устное решение уравнений); ознакомление с алгоритмом решения квадратных уравнений с параметром, упражнения на закрепление данного алгоритма; работа в малых группах, тренировочные упражнения в виде самостоятельной работы; самоконтроль учащихся.
3. На уроке решались следующие задачи:
Комплексность их решения продумана. Главными были обучающие задачи, при их решении попутно решались и развивающие, и воспитывающие задачи. Развивающая задача решалась через приёмы доступного изучения материала, а воспитывающая уже на этапе выбора класса для открытого урока, во время самопроверки.
4. Данная структура урока продиктована тем, что класс сильный, большинство учащихся активно работают на уроке, способны быстро воспринимать информацию. Поэтому урок плотнен и динамичен на всех этапах. Опрос проводился с целью актуализации имеющихся знаний. Связки между этапами логичны. Домашнее задание содержит четыре номера.
5. Главный акцент делался на понятиях: квадратное уравнение, параметр, контрольные значения параметра, алгоритм решения квадратного уравнения с параметром. Выбраны задания различного вида: неполные квадратные уравнения, приведенные квадратные уравнения, неприведенные квадратные уравнения, задания с дополнительным условием. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа.
6. Методы обучения выбраны частично-поисковые, наглядные, деятельностные.
7. Необходимости применения методов дифференцированного обучения не было. Достаточно оказания индивидуальной помощи.
8. Контроль усвоения знаний осуществлялся наблюдением за самостоятельностью и активностью учащихся на первых этапах урока, во время работы в малых группах, в конце урока была дана самостоятельная работа.
Результаты выполнения самостоятельной работы:
9. Использовались средства обучения: Учебник и задачник А.Г.Мордкович и др.-2011 год, компьютер, проектор, карточки с домашним заданием, активно использовалась доска.
Тип урока: Повторение, обобщение и систематизация знаний.
- Образовательная:обобщить, систематизировать изучение на предыдущих уроках.
- Воспитательная:показать, что понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой
- находятся во взаимной связи; формировать эстетические навыки при оформлении записей; умение выслушивать других и умению общаться.
- Развивающая:развивать мыслительную деятельность; умение анализировать, обобщать, продолжить формирование математической
- речи.
1. Индивидуальная работа по карточкам (приложение № 1).
3) Что значит решить уравнение с параметром?
(Решить уравнение с параметром – значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения.)
4) Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корней.
а) х 2 – 10х + 21 = 0 (один корень – положительный,
б) х 2 + 9х + 14 = 0 (два корня отрицательные).
в) х 2 – 7х – 18 = 0 (один корень – положительный,
Проверка осуществляется “дублерами”. “Дублеров” и учащихся у доски оценивает учитель.
Остальные учащиеся принимают активное участие в устной работе.
1) При каких значениях а корни уравнения 3х 2 + ах + 2 = 0 являются действительными, а сумма кубов этих корней равна их удвоенной сумме?
Решение: Пусть х1 и х2 – корни данного уравнения. Согласно условию задачи составим систему уравнений:
1) При каком значении m сумма квадратов корней уравнения
х 2 + (2 – m)х – m – 3 = 0 минимальна?
Решение: так как уравнение должно иметь два различных корня, то должно выполняться неравенство
Д = а 2 – 36 > 0.
Так как коэффициент при х 2 больше нуля, то для того чтобы оба корня были меньше -1, должно выполняться два условия: абсцисса вершины параболы графика функции f(x) = х 2 + ах + 9 должна быть меньше -1 и значение функции в точке -1 должно быть положительным
f(–1) = 1 – a + 9 = – a +10 > 0.
Следовательно, число а удовлетворяет условиям задачи тогда и только тогда, когда а удовлетворяет системе неравенств:
– Сегодня на уроке мы с вами решали квадратные уравнения, содержащие параметр.
– Просмотрите эти уравнения и сделайте вывод чем же эти уравнения отличаются?
(Данные уравнения различаются содержанием параметра в коэффициентах квадратного трехчлена)
1) При каких значениях в уравнении
х 2 + 2(b + 1)x + 9 = 0 имеет два различных положительных корня.
Это ложь, что в науке поэзии нет В отраженьях великого мира Сотни красок со звуков уловит поэт И повторит волшебная лира. За чертогами формул, забыв о весне, В мире чисел бродя, как лунатик, Вдруг гармонию выводов дарит струне, К звучной скрипке прильнув, математик. Настоящий ученый, он тоже поэт, Вечно жаждущий знать и предвидеть. Кто сказал, что в науке поэзии нет? Нужно только понять и увидеть.
Читайте также: