Конспект урока решение квадратных неравенств 9 класс

Обновлено: 05.07.2024

Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду.

Тип: урок изучения нового материала.

Цели урока: 1. Выработка алгоритма решения квадратных неравенств.
2. Формирование навыков решения квадратных неравенств.
3. Развитие навыков самостоятельной работы.
4. Развитие логического мышления, монологической речи.
5. Воспитание внимания, аккуратности.

I этап. Организационный момент (1 мин.).

II этап. Объяснение нового материала (28 мин). (Приложение 1)

Учитель: Изучение нового материала мы начнем с понятия неравенства второй степени.

Задание 1. Какие из неравенств вы бы назвали неравенствами второй степени:

1) 6х 2 – 13х>0; 2) x2 – 3x – 14>0; 3) (5 + x)(x – 4)>7;

7) 8x2>0; 8) (x – 5)2 – 25>0; 9) x(x – 9) – x2>0?

– Теперь давайте сформулируем определение неравенства второй степени:

Определение: Неравенство, левая часть которого есть многочлен второй степени, а правая – нуль, называется неравенством второй степени.

Все квадратные неравенства могут быть приведены к одному из следующих видов:

– К квадратным неравенствам нас приводят следующие задачи.

Задание 3. Планируется разбить прямоугольный цветник, который будет примыкать к дому. Заготовленного штакетника хватит на изгородь длиной 20м. Какими должны быть длина и ширина цветника, чтобы он имел площадь не менее: 1) 48 м 2 ; 2) 50 м 2 .

– Обсудим выполнение этого задания.

Если за х м принять длину стороны цветника, примыкающей к дому, то решение задачи сведется к решению неравенств:

Используя преобразования, эти неравенства можно привести к таким неравенствам второй степени:

знак коэффициента а;
знак дискриминанта D квадратного трехчлена;
направление ветвей параболы;
пересечение параболы с осями координат;
координаты вершины параболы;
примерное расположение параболы?

Обязательно ли для решения неравенства строить график соответствующе квадратичной функции? Если да, то с какой точностью выполнять построение?

Далее рассматриваются различные варианты неравенств с подробным решением и записью в тетради (или справочники). (Приложение 1, слайды 7-13)

Задания:

1) – х 2 + 8х – 12 > 0.

а = – 1, а 2 + 8х – 12 = 0; D = 82 – 4(– 1)(– 12) = 16 = 42, D > 0
x₁ = 6; x₂ = 2.
Схематически строим график функции.

2) – х 2 + 8х – 12 ? 0. Ответ: [2;6].
3) – х 2 + 8х – 12 2 + 8х – 12 ? 0. Ответ: (– ; 2] [6; + ).
5) x 2 – 8x + 12 > 0. Ответ: (– ; 2) (6; + ).
6) x 2 – 8x + 12 ? 0. Ответ: (– ; 2] [6; + ).
7) х 2 – 4х + 4 > 0. Ответ: (– ; 2) (2; + ).
8) х 2 – 4х + 4 ? 0. Ответ: (– ; + ).
9) х 2 – 4х + 4 2 – 4х + 4 ? 0. Ответ: 2
11) х 2 – 4х + 5> 0. Ответ: (– ; + ).
12) х 2 – 4х + 5 21.06.2009

1. Выработка алгоритма решения квадратных неравенств.
2. Формирование навыков решения квадратных неравенств.

Развивающая:
1.Развитие навыков самостоятельной работы.
2. Развитие логического мышления, монологической речи.

Воспитательная:
Воспитание внимания, аккуратности.

Оборудование: памятки с алгоритмом решения неравенств второй степени, компьютер, экран.

I этап. Организационный момент .

II этап. Объяснение нового материала .

Учитель: Изучение нового материала мы начнем с понятия неравенства второй степени.

Задание 1. Какие из неравенств вы бы назвали неравенствами второй степени:

1) ) х 2 -8х +12≥0; 2)-х 2 +3х 0; 3) х 2 ≤4 4) (5 + x)(x – 4)7;

5)х 2 -9≤2х 2 ; 6)х 2 +4 ≥х 2 ; 7) 2х 2 +2х ≤ 2х 2 -2х

– Теперь давайте сформулируем определение неравенства второй степени:

Все квадратные неравенства могут быть приведены к одному из следующих видов:

Я не зря здесь связала уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства – это решение уравнения, из которого это неравенство сделано. Поэтому если ты не умеешь решать квадратные уравнения – это автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Итак, вспомним, как решать квадратные уравнения.

Найдите корни квадратных уравнений:

4) 8х 2 -6х +1=0 х₁= ; х₂=

10) х 2 +(х+1) 2 =0 Ø

Вспомнили. А сегодня на уроке мы займемся именно неравенствами.

Готовое для решения неравенство имеет вид : слева ах 2 + bx + c , справа -0.Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера уже готовы к решению. Третий надо еще подготовить Подготовка заключается в тождественных преобразованиях неравенств.

Квадратные неравенства можно решать двумя способами. Один способ – это метод интервалов. Великий и могучий! Годится для любых неравенств вообще. Ему будет посвящен отдельный урок. Сегодня мы разберем более простой способ с использованием парабол. Зачем из пушки по воробьям палить? Способ годится только для решения квадратных неравенств, но прост, очень нагляден и не требует особых расчетов. Что, между прочим, резко уменьшает количество ошибок.

Разберем решение на конкретном примере. Обрадую: любые квадратные неравенства решаются так, как мы решим это неравенство. Любое решение состоит из трех шагов. Кто осилит решение до конца, получит приятный бонус.

1.Решить неравенство) х 2 -8х +12≥0

Оно уже готово для решения. Слева – квадратный трехчлен, справа – ноль.

Первый шаг всегда одинаков и прост. Делаем из неравенства уравнение х 2 -8х +12 =0 и решаем его ( мы его уже решили) корни х₁=2; х₂=6

Координаты вершины (4;-4)

Точки пересечения с осью ОХ : х₁ =2; х₂=6

Точки пересечения с осью ОУ (0;12)

Т.к. а0, ветви параболы направлены вверх

Н арисуем эту параболу

0 2 4 6

Точки 2 и 6 – это корни уравнения х 2 -8х +12=0 . Они располагаются прямо на оси ОХ. Почему так ? А как же!? Сравните уравнение и параболу:

Нулевой у – это как раз ось Х и есть.

Фиксируем в голове : корни уравнения (2 и6) – это значение икса, при которых выражение х 2 -8х +12 равно нулю. Это важно!

А теперь прикинем, при каких иксах выражение х 2 -8х +12 больше нуля? Как раз для этого нам и нужна парабола. Выражение х 2 -8х +12 это же и есть наш игрек. На графике четко видно, где игрек больше нуля.

Нам было сказано:решать квадратное неравенство!

Знак неравенства на этом этапе ИГРАЕТ ГЛАВНУЮ РОЛЬ.

Смотрим на исходное неравенство

Остается записать ответ:

Собственно это и есть третий шаг решения любого квадратного неравенства

Отмечу один полезный момент в графическом методе. На втором шаге мы определили все области для всех знаков. Что это значит? А то, что если бы у нас были неравенства

То, первые два шага были бы те же самые. Отличие прорезалось бы только на третьем, последнем , шаге. Этот шаг, если кратко - просто выбор и запись ответа.

Учитель: Пусть у нас построен график функции у= – х 2 + 8x – 12

Задания: Для каких неравенств записаны ответы?

1) – х 2 + 8х – 12 ? 0. Ответ: [2;6].
2) – х 2 + 8х – 12 ? 0. Ответ: (– ; 2) (6; + ).
3) – х 2 + 8х – 12 ? 0. Ответ: (– ; 2] [6; + ).
4) x 2 – 8x + 12 ? 0. Ответ: (2;6)
5) x 2 – 8x + 12 ? 0. Ответ: (– ; 2) (2;6) (6; + ).

Еще раз: Все квадратные неравенства решаются в ТРИ ШАГА. Что, долго? График строить…

Спокойно! Обещанный бонус резко упростит жизнь!

Смотрим на график и соображаем: без чего нам на этой картинке можно обойтись?

Нужна ли нам ось ОУ? Если мы и так знаем, что часть параболы выше оси ОХ дает положительные значения выражения, а ниже – отрицательные. Т.О. – ось ОУ не нужна. Нужна ли нам математически точная форма параболы?

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспект урока по алгебре в 9-м классе на тему:

Предмет : алгебра, класс: 9

Авторы учебника : Мерзляк А. Г. Алгебра : учеб. Для 9 кл. общеобразоват. Учеб. Заведений с обуч. На рус. Яз. : пер. с укр. / А. Г. Мерзляк, В. Б.Полонский, М. С. Якир. – Х. : Гимназия, 2017.−272 с. : ил.

Тема урока : Решение квадратных неравенств (§12).

Всего часов на тему : 6

Тип урока : усвоение новых знаний и умений

Формы организации познавательной деятельности: коллективная и индивидуальная

- формирование умения решать квадратные неравенства с использованием построения графика квадратичной функции;

- формирование умения выделять квадратные неравенства среди других неравенств с одной переменной;

- первичное закрепление полученных знаний;

- воспитание познавательной активности.

- умение решать квадратные неравенства графическим методом;

- умение определять положение графика квадратичной функции относительно координатных осей.

Планируемые образовательные результаты

Метапредметные результаты (УУД)

Понимать: различные способы расположения графика квадратичной функции относительно оси в зависимости от знака старшего коэффициента и знака дискриминанта квадратного трехчлена

Уметь: решать квадратные неравенства и неравенства, которые сводятся к квадратным, приводить примеры квадратных неравенств с нулевыми коэффициентами

1.1. принимать учебную задачу; 1.2. планировать (в сотрудничестве с учителем и одноклассниками или самостоятельно) необходимые действия, операции, действовать по плану;

1.3.контролировать процесс и результаты деятельности, вносить необходимые коррективы;

2.1. осознавать познавательную задачу;

2.2. читать и слушать, извлекая нужную информацию, понимать информацию, выполнять УУД; 2.3. осуществлять для решения учебных задач операции анализа, синтеза, сравнения;

2.4.устанавливать причинно-следственные связи, делать выводы.

3.1. вступать в учебный диалог с учителем, одноклассниками, участвовать в общей беседе, соблюдая правила речевого поведения;

3.2. задавать вопросы, слушать и отвечать на вопросы других, формулировать собственные мысли, высказывать и обосновывать свою точку зрения;

3.3. строить небольшие монологические высказывания .

4.1. положительное отношение к учению, к познавательной деятельности, желание приобретать новые знания, умения, совершенствовать имеющиеся;

4.2. осознавать свои трудности и стремиться к их преодолению; 4.3. осваивать новые виды деятельности .

1. Подготовительный этап.

Метод обучения: репродуктивный

1) Понятие квадратичной функции:

Являются ли данные функции квадратичными?

А) , является квадратичной функцией

Б) , не является квадратичной функцией

В) , не является квадратичной функцией

Г) , является квадратичной функцией

Д) , не является квадратичной функцией

Е) , является квадратичной функцией

2) Зависимость коэффициентов квадратичной функции от её расположения относительно координатных осей:

Из предложенных графиков функции выберите тот, который удовлетворяет каждому из данных условий:

1) так как ветви параболы направлены вниз, то коэффициент точка пересечения параболы с осью Оу расположена ниже оси Ох , значит, ; точек пересечения с осью Ох нет, значит, . Ответ: 1В.

2) так как ветви параболы направлены вверх, то коэффициент точка пересечения параболы с осью Оу расположена выше оси Ох , значит, ; 1 точка пересечения с осью Ох, значит, . Ответ: 2Б.

3) так как ветви параболы направлены вверх, то коэффициент точка пересечения параболы с осью Оу - (0;0), значит, ; 1 точка пересечения с осью Ох, значит, . Ответ: 3Д.

4) так как ветви параболы направлены вниз, то коэффициент точка пересечения параболы с осью Оу – (0;0), значит, ; 2 точки пересечения с осью Ох, значит, . Ответ: 4Г.

5) так как ветви параболы направлены вверх, то коэффициент точка пересечения параболы с осью Оу расположена ниже оси Ох, значит, ; 2 точки пересечения с осью Ох, значит, . Ответ: 5А.

Ответ: 1в,2б,3д,4г,5а

3) Свойства числовых неравенств:

Укажите верные преобразования:

Ответ: верное утверждение №1

4) С помощью какого символа записывают объединение и пересечение промежутков? Приведите примеры.

Пусть даны два множества . Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств , называют объединением этих множеств и обозначают .

Например, промежуток [1;7] является объединением промежутков [1;5] и [3;7]. Это можно записать так: [1;5] ⋃ [3;7]=[1;7].

Множество, составляющее общую часть некоторых множеств , называют пересечением этих множеств и обозначают . Промежуток [3;5] является пересечением промежутков [1;5] и [3;7]. Это можно записать так: [1;5] [3;7]=[3;5].

5) Как найти пересечение параболы с осью абсцисс?

Найдите координаты точек пересечения параболы с осью абсцисс.

Найдем координаты точек пересечения параболы с осью абсцисс. Для этого решим уравнение :

⇒ ⇒ 2 корня

Отсюда .

Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках

Ответ:

2. Мотивационный этап.

Метод обучения: проблемное изложение материала

Томас Хэрриот, годы жизни: (1560—1621)

Английский астроном, математик, этнограф и переводчик. В русских источниках может упоминаться как Харриот или Гарриот. В 1585 году молодой Гарриот был послан королевой Англии в исследовательскую экспедицию по Северной Америке. Там он увидел популярную среди индейцев татуировку в виде

Вероятно, поэтому Гарриот предложил знак неравенства в двух его видах: ">" больше, чем… и "

Позднее, знаки ≥ и ≤ ввел французский математик Пьер Буге (1698 – 1758)

Давайте попробуем решить задачу.

Планируется разбить прямоугольный цветник, который будет примыкать к дому. Заготовленного штакетника хватит на изгородь длиной 20м. Какими должны быть длина и ширина цветника, чтобы он имел площадь не менее: 1) 48 ; 2) 50 .

– Обсудим выполнение этого задания.

Если за метров принять длину стороны цветника, примыкающей к дому, то решение задачи сведется к решению неравенств:

1) ;
2) .

Используя преобразования, эти неравенства можно привести к таким неравенствам второй степени:

1) ;

2) .

Попробуем найти способ решения квадратных неравенств, используя свойства квадратичной функции.

Учащиеся пытаются предложить способ решения, если это не получается сделать, то учитель помогает наводящими вопросами.

3. Усвоение определения понятия:

1) Ориентировочный этап.

Конкретно-индуктивный подход к введению данного понятия:

Рассмотрим, на примере, выражения различного вида:

Как вы думаете, какие выражения являются неравенствами?

Как вы думаете, какие из выражений содержат многочлены стандартного вида, и какие из выражений расположены по убыванию степеней?

Какие выражения содержат квадратный трехчлен?

Какие из выражений сравниваются с нулем?

Отличительные признаки понятия:

1) в левой части − квадратный трехчлен,

2) в правой части – нуль,

3) между левой и правой частью один из следующих знаков неравенства:

Давайте сформулируем понятие квадратное неравенство. Запишем в тетрадь:

Определение. Неравенства вида , , , где переменная, некоторые числа, причем называют квадратными.

2) Формирование ведущего действия – распознавания.

Предписание: «Для того чтобы неравенство являлось квадратным нужно: 1) слева иметь квадратный трехчлен ; 2) справа ноль; 3) между левой и правой частью один из следующих знаков неравенства: > ,

-метапредметные: формировать умение корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией.

Планируемые результаты: учащиеся научатся решать задачи графически, используя квадратные неравенства .

Оргмомент. Постановка цели.

Проверка дом. задания №411,№413 с помощью документ – камеры,

(Исправление недочетов при наличии.)

а) найдите целые решения неравенства и укажите наименьшее и наибольшее целое решение неравенства:

б) решите квадратные неравенства:

4. Закрепление изученного материала.

№ 414(1,3 решают у доски, 2 и 4- самостоятельно и на скрытой части доски, у 2-3 учащихся поверяется работы с помощью документ - камеры)

Найдите целые решения неравенства:

1) х 2 +5х≤ 0, 2)х2-10˂0,

3)6х 2 +х-2≤0, 4) -0,25х2+х+3˃0.

№416( самостоятельное решение с последующей проверкой)

Найдите наименьшее целое решение неравенства:

Учащиеся,освоившие базовый уровень решают индивидуальные задания по вариантам ,с учащимися ,освоившими повышенный уровень решаем №426 и задание №21 из банка ОГЭ

Х 2 -4х-5˃0, 3х 2 -12х˂0, х 2 ≥16, х 2 -4х+4≤0.

Х 2 +2х-3˂0, 2х 2 +6х≥0, х 2 ˂9, х 2 -8х+16˃0.

Х 2 +3х-4˃0, 4х 2 -8х≤0, х 2 ˂0, х 2 -10х+25≤0.

Х 2 +5х-6˂0, 8х 2 +24≥0, х 2 ≤64, х 2 -12х+36˃0.

Подготовка к ОГЭ

Найдите целые решения системы неравенств:

б)Решите неравенство: -16/х 2 -5≥0

6.Рефлексия учебной деятельности на уроке:

Ответьте на вопросы:

Какие виды деятельности на уроке были выполнены наиболее успешно?

Назовите наиболее эффективные из них.

7.Информация о домашнем задании:№415,№417,№426(2)-индивидуально.

8.Подведение итогов урока и выставление оценок.

-75%

Читайте также: