Конспект урока по теме решение задач по теме параллелограмм

Обновлено: 06.07.2024

Краткое описание: Урок геометрии в 8 классе "Решение задач по теме "Параллелограмм" можно провести в любом 8 классе независимо от УМК. На уроке повторяется необходимый теоретический материал(определение, свойства и признаки). Проверка знаний проводится в виде теста.Фронтально решаются за

Пунанцева В.А., учитель математики

высшей квалификационной категории

города Северодвинска Архангельской области

Технологическая карта урока

Тип урока Урок обобщения и систематизации

Цели Предметные: систематизировать знания параллелограмме.

Личностные: развивать навыки самостоятельной работы, эмоциональной сферы,

анализа своей работы.

Метапредметные: умение самостоятельно определять цели своего обучения,

ставить и формулировать для себя новые задачи в учёбе и

Планируемые результаты учащийся научится решать задачи разного уровня сложности на

применение свойств и признаков параллелограмма из материалов ГИА.

Основные понятия Параллелограмм, его определение, свойства и признаки.

Организационная структура урока

Этапы проведения урока

Форма организации УД

Задания для учащихся, выполнение которых приведёт к достижению запланированных результатов

2.Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

Повторение свойств и признаков параллелограмма

4.Проверка домашнего задания

5.Контроль и коррекция знаний

Приложение 2. (текст)

7.Рефлексия учебной деятельности на уроке

Я сегодня научился решать задачи на применение свойств и признаков параллелограмма

8.информация о домашнем задании

Приложение 1. Проверка домашнего задания.

Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если разность двух сторон равна 7 см.

Дано: ABCD - параллелограмм,

ВС - AB = 7 см, Р = 48 см.

Пусть АВ = x см, тогда ВС = х + 7. Противоположные стороны параллелограмма равны.

АВ = 8,5 см, ВС = 15,5 см.

Ответ: 8,5см, 15,5см.

Найдите углы параллелограмма ABCD, если .

Дано: ABCD - параллелограмм,

В параллелограмме противоположные углы равны, значит,

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна .

Приложение 2. Тест.

А) Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого сумма углов равна .

Б) Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

В параллелограмме ABCD:

А) Диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам.

Б) Диагонали в параллелограмме пересекаются.

А) В параллелограмме диагонали перпендикулярны.

Б) В параллелограмме противоположные стороны равны.

А) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Б) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Найдите углы параллелограмма ABCD, если _.

Вариант 1. Вариант 2.

6. 60, 120 6. 70, 110

7. 15 см. 7. 17 см.

Задача 1. Устный опрос.

Докажите, что ABCD- параллелограмм.

Задача 2. Работа у доски.

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найти ВС, если АВ = 40 см.

Задачи для работы в группах.

1 группа. Найдите стороны параллелограмма, если одна сторона в 3 раза меньше другой, а периметр параллелограмма равен 40 см.

2 группа. Найдите величину большего угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол, равный . Ответ дайте в градусах.

3 группа. Стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найдите длины этих отрезков.

Атанасян Л.С. , Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. М: Просвещение, 2012г.

Атанасян Л.С. , Бутузов В.Ф. и др. Рабочая тетрадь по геометрии для 8 класса. М: Просвещение, 2013г.

Ершова А.П., Голобородько В.В. Устные проверочные и зачётные работы по геометрии для 7-9 классов. М.: Илекса, 2004г.

Контрольно-измерительные материалы. Геометрия: 8 класс / Сост. Н.Ф. Гаврилова. М.: ВАКО, 2011г.

Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7-9 классы. Геометрия. - М: Илекса, 1999г.

Основные дидактические цели урока: закрепить свойства и признаки параллелограмма в процессе решения задач; совершенствовать навыки решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности

(Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.)

II. Актуализация знаний учащихся

1. Работа у доски.

(Три ученика готовят у доски доказательства признаков параллелограмма.)

2. Проверка домашнего задания.

(Учитель проверяет решение задачи № 373. Один ученик готовит решение задачи на доске. Решение заслушать после проверки задач по готовым чертежам.)

Задача № 373. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.
Решение: В ΔВСН ∠H = 90°, ∠C = 30°, следовательно, ВС = 2 • НВ, т. е. ВС = 13 см (рис. 5.51). P_ABCD = АВ + ВС + CD + DA, АВ = DC, ВС = DA как противолежащие стороны параллелограмма, значит, 2 • АВ + 13 • 2 = 50. Таким образом, АВ = 12 см, тогда CD = АВ = 12 см, AD = ВС = = 13 см.
Ответ: АВ = CD = 12 см, AD = ВС = 13 см.

Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о треугольнике ВСН. Можно ли найти другие его стороны?
– Как найти стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 50 см.

3. Работа по индивидуальным карточкам.

(3–6 учеников работают по карточкам.)

I уровень сложности
1. Точки Е и К – середины сторон АВ и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что АЕСК – параллелограмм.
2. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, причем АС = 2 дм, АО = 10 см, BD = 1,5 дм, ВО = 7 см. Выясните, является ли ABCD параллелограммом?

II уровень сложности
1. В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD отмечены соответственно точки М и N так, что ∠BMC = ∠AND. Докажите, что AMCN – параллелограмм.
2. Точки А и В делят диагональ МК параллелограмма MNKP на три равные части. Является ли четырехугольник ANBP параллелограммом? Ответ обоснуйте.

III уровень сложности
1. Дано: ABCD – параллелограмм, AM = СК, АР = CN (рис. 5.52). Доказать: MNKP – параллелограмм.
2. Через точку пересечения диагоналей О параллелограмма ABCD проведена прямая MN, пересекающая стороны AD и ВС в точках М и N соответственно. Является ли MBND параллелограммом? Ответ обоснуйте.

4. Решение задач по готовым чертежам.

(Ученики решают задачи с последующей самопроверкой по готовым ответам. В это время учитель может заслушать доказательства признаков параллелограмма и проверить решение дополнительных домашних задач индивидуально у тех учащихся, которые их решали.)

Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.53). Найти: ∠C, ∠D.
Дано: MNKP – параллелограмм (рис. 5.54). Найти: МР, РК.
Рис. 5.55. Найти: углы параллелограмма ABCD.
Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.56). Найти: Р_ABCD.
Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.57). Найти: AD.
Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.58). Найти: P_ABCD, ∠AED.
Дано: NBFD – параллелограмм. AD = 4 см, NB = 5 см (рис. 5.59). Найти: ВС, CD.
Дано: ABCD – параллелограмм. P_MNKP = 20 см (рис. 5.60). Найти: MN, МР.
Дано: BNDM – параллелограмм. АВ : ВС = 4:5, P_ABCD = 18 см (рис. 5.61). Найти: AD, DC.

Ответы к задачам по готовым чертежам:

1) ∠C= 64°, ∠D = 116°.
2) МР = 4 см, РК = 10 см.
3) ∠B = ∠D = 115°, ∠A = ∠C = 65°.
4) P_ABCD = 16 см.
5) AD = 10 см.
6) P_ABCD = 30 см, ∠AED = 90°.
7) ВС = 4 см, CD = 5 см.
8) MN = 3 см, МР = 7 см.
9) AD = 5 см, DC = 4 см.

5. Проверка решения дополнительных домашних задач.

I уровень сложности: В выпуклом четырехугольнике ABCD АВ = CD, ∠В = 70°, ∠BCA = 60°, ∠ACD = 50°. Докажите, что ВС = AD.

Решение. (рис. 5.62) ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 60° + 50° = 110°.
∠ABC и ∠BCD – односторонние углы при прямых CD и АВ и секущей ВС. ∠ABC + ∠BCD = 70° + 110° = 180°, значит, CD || AB.
В четырехугольнике ABCD противолежащие стороны АВ и CD параллельны и равны, следовательно, ABCD – параллелограмм, а это значит, что ВС = AD как противолежащие стороны параллелограмма.

II уровень сложности: Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны АВ и CD соответственно в точках М и К, вторая – стороны ВС и AD соответственно в точках N и L. Докажите, что четырехугольник MNKL – параллелограмм.

Решение. (рис. 5.63)
а) ΔAOL = ΔCON по стороне и прилежащим к ней углам (АО = СО, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, ∠AOL = ∠CON как вертикальные, ∠NCO = ∠LAO как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС), тогда NO = LO.
б) ΔBOM = ΔDOК по стороне и прилежащим к ней углам (ВО = DO, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, ∠BOM = ∠DOK как вертикальные, ∠MBO = ∠KDO как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD), тогда МО = КО.
в) В четырехугольнике MNKL диагонали МК и NL точкой пересечения делятся пополам (МО = КО, NO = АО), следовательно, MNKL – параллелограмм.

III. Решение задач

Решить задачи № 374, 377 (выполнить рисунок и записать краткое решение). (Два ученика работают у доски, остальные – в тетрадях. По окончании работы учащиеся слушают решения задач, а затем исправляют ошибки.)

Задача № 374. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.
Решение: ΔАВК – равнобедренный, АВ = ВК = CD = 15 см, ВС = AD = 15 + 9 = 24 см, P_ABCD = (15 + 24) • 2 = 78 см (рис. 5.64). Ответ: 78 см.

Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о ΔАВК, если АК – биссектриса ∠BAD параллелограмма ABCD?
– Чему равны стороны параллелограмма ABCD? Чему равен его периметр?

Задача № 377. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.
Решение: В ΔMNH ∠H = 90°, ∠N = 30°, MN = 3 см, следовательно, MN = 6 см (рис. 5.65). MNPQ – параллелограмм, следовательно, MN = PQ = 6 см, NP = MQ = 8 см.
Ответ: MN = PQ – 6 см, NP = MQ = 8 см.

Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о AMNH? Какую из его сторон можно найти?
– Найдите стороны параллелограмма MNPQ.

IV. Самостоятельная работа № 2 (3 уровня сложности)

Задания I уровня сложности предлагаются менее подготовленным учащимся, задания III уровня сложности – самым подготовленным, задания II уровня сложности – всем остальным, что составляет большинство класса. Учащихся, выполняющих задания I и III уровня, необходимо предупредить о критериях оценивания их работ. Правильное решение всех заданий I уровня может быть оценено максимально в 4 балла, для получения 5 баллов, решающим задания III уровня, необходимо правильно решить или решить с негрубыми ошибками третье задание. Учащиеся сами выбирают уровень сложности.

V. Рефлексия учебной деятельности

Сформулируйте признаки параллелограмма.
Сформулируйте свойства параллелограмма.

Домашнее задание

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тип урока : Урок практикум (обобщение и систематизация знаний).

Предметные : систематизировать знания о параллелограмме, знать и формулировать определение параллелограмма, его свойства и признаки с доказательствами; научиться выполнять чертежи по условию задачи; находить стороны и углы параллелограмма, используя свойства улов и сторон по изученной теме.

Личностные : развивать навыки самостоятельной работы, формирование умения нравственно-этического оценивания усваиваемого материала.

Метапредметные УУД :

Коммуникативные : устанавливать рабочие отношения, эффективно сотрудничать и способствовать продуктивной коопераии.

Регулятивные : проектировать маршрут преодоления затруднений в обучении через включение в новые виды деятельности и формы сотрудничества;

Познавательные : создавать структуру смысловых единиц;

умение самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи в учёбе и познавательной деятельности. развивать логическое мышление, память, познавательный интерес; продолжать формирование математической речи; вырабатывать умение анализировать и сравнивать;

Планируемые результаты : учащийся научится решать задачи разного уровня сложности на применение свойств и признаков параллелограмма из материалов ГИА.

Основные понятия : Параллелограмм, его определение, свойства и признаки.

Постановка цели

Ребята, сегодня на уроке мы с Вами закрепим знания о свойствах и признаках параллелограмма в процессе решения задач.

Проверка домашнего задания

Дайте определение параллелограмма.

Перечислите свойства параллелограмма. Признаки?

Перечислите признаки параллелограмма.

Устное решение задач по готовым чертежам

ABCD – параллелограмм. Найти: ﮮ C, ﮮ D.

MNKP – параллелограмм. Найти: MP, PK.

ABCD – параллелограмм. Найти: ﮮ A, ﮮ B, ﮮ C, ﮮ D.

ABCD – параллелограмм. Найти:P _ABCD .

ABCD – параллелограмм. Найти:AD.

ABCD – параллелограмм. Найти: P _ABCD , ﮮ AED.

Решение задач по учебнику:

Пусть АВ = х см, а ВС = (х + 7) см.

Так как периметр параллелограмма 48 см, имеем уравнение:

Ответ: АВ = 7 см, ВС = 14 см.

1) А = С по свойству параллелограмма.

2) АВН – прямоугольный; катет ВН лежит против угла в 30°, поэтому гипотенуза АВ в два раза больше него. Итак, АВ = 13 см. ВС = (50 – 13 · 2) : 2 = 12 см.

1) 1 = 2, так как АК – биссектриса, 2 = 3 как внутренние накрест лежащие углы при ВС || АD и секущей АK. Имеем 1 = 2 = 3.

2) АВK – равнобедренный, так как 1 = 3. Получили АВ = ВK = 15 см.

3) ВС = ВK + KС = 15 + 9 = 24 (см).

4) РАВСD = (15 + 24) · 2 = 78 (см).

Самостоятельная работа.

Точки E и K - середины сторон AB и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что AECK – параллелограмм.

Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AC = 2 дм, AO = 10 см, BD = 1,5 дм, BO = 7 см. Выясните, является ли ABCD – параллелограммом?

В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD отмечены соответственно точки M и N так, что ﮮ BMC = ﮮ AND. Докажите, что AMCN – параллелограмм.

Точки A и B делят диагональ MK параллелограмма MNKP на три равные части. Является ли четырёхугольник ANBP параллелограммом? Ответ обоснуйте.

III уровень

В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD отмечены соответственно точки M и K так, что AM=CK, а на сторонах BC и AD – точки N и P так, что AP=CN. Докажите, что MNKP – параллелограмм.

Через точку пересечения диагоналей O параллелограмма ABCD проведена прямая MN, пересекающая стороны AD и BC в точках M и N соответственно. Является ли четырёхугольник MBND параллелограммом? Ответ обоснуйте.

Домашнее задание : вопросы 6–9, с. 114; №№ 375, 380; повторить п. 25, 29

Доп. задание (тест)

Укажите верное утверждение:

А) Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого сумма углов равна .

Б) Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

В) Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого диагонали являются биссектрисами.

Укажите верное утверждение:

В параллелограмме ABCD:

Какое утверждение неверно?

А) Диагонали в параллелограмме равны.

Б) Диагонали в параллелограмме пересекаются.

В) Диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам.

Какое утверждение не является свойством параллелограмма?

А) В параллелограмме все углы прямые.

Б) В параллелограмме противоположные углы равны.

В) В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Какое утверждение не является признаком параллелограмма?

А) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник –параллелограмм.

Б) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

В) Если в четырёхугольнике два угла прямые, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Найдите углы параллелограмма ABCD, если _.

Найдите периметр параллелограмма ABCD, если его смежные стороны равны 3 см и 45 мм.

Укажите верное утверждение:

А) Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Б) Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого диагонали равны.

В) Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого сумма углов равна

Укажите верное утверждение:

В параллелограмме ABCD:

А ) BC Б ) BC = AD; В ) BC > AD.

Какое утверждение неверно?

А) Диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам.

Б) Диагонали в параллелограмме пересекаются.

В) Диагонали в параллелограмме являются биссектрисами.

Какое утверждение не является свойством параллелограмма?

А) В параллелограмме диагонали перпендикулярны.

Б) В параллелограмме противоположные стороны равны.

В) Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Какое утверждение не является признаком параллелограмма?

А) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Б) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

В) Если в четырёхугольнике две стороны параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Найдите углы параллелограмма ABCD, если _.

Найдите периметр параллелограмма ABCD, если его смежные стороны равны 5 см и 35 мм.

Периметр параллелограмма равен , . Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла ? Найти отрезки, которые образуются при этом пересечении.

Дано: – параллелограмм; , – биссектриса .

Пусть . Воспользуемся тем фактом, что периметр параллелограмма равен . Тогда: .

Как же выяснить: какую сторону пересечёт биссектриса ?

Для этого воспользуемся следующими рассуждениями. Пусть биссектриса пересекает сторону (или её продолжение) в точке . Тогда: (по определению биссектрисы), (свойство внутренних односторонних углов при параллельных прямых). Отсюда: – равнобедренный. Значит, . Значит, .

Мы практически ответили и на второй вопрос задачи: .

Ответ: биссектриса пересекает сторону и делит её на отрезки и .

Стороны параллелограмма равны . Биссектрисы двух углов, прилегающих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

Дано: – параллелограмм; – биссектрисы.

Если воспользоваться решением примера 1, можно сразу сделать вывод, что треугольники – равнобедренные (так как , ). Получаем, что . Тогда: .

В трапеции ( – большее основание): диагональ перпендикулярна

боковой стороне , а . Периметр трапеции равен , .

Найти длину большего основания трапеции.

Дано: – трапеция ( – большее основание), ,

Рассмотрим треугольник : он прямоугольный (так как по условию , в нём . Из того, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , следует, что: . В прямоугольном треугольнике с острым углом катет, лежащий против этого угла, в раза меньше гипотенузы. Поэтому, если мы обозначим основание , то .

– равнобедренная трапеция. Значит, . Кроме того, по свойству соответственных углов: – равнобедренный. Поэтому: .

Осталось воспользоваться тем фактом, что периметр трапеции равен

: . Значит, большее основание

Читайте также: