Конспект урока по теме простейшие неравенства для синуса и косинуса 10 класс никольский

Обновлено: 05.07.2024

Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.

Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Р_t1, другую точку – Р_t2.
Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
Определяем направление движения по дуге (от точки Р_t1 к точке Р_t2по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).
Находим координаты точек Р_t1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Р_t2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t₁и t_2.
Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.

Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.

Конспект урока по теме: “Решение тригонометрических неравенств”.

Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.

(Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения)

sinx = -, 2sinx =, sin2x = , sin(x – ) = 0, cosx = ,

cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1.

– Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

(На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств.Ученик подробно объясняет алгоритм решения.Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).

t₁ = arccos(-) = p – arccos =

+ 2p n 2 2x – 2cos2x 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).

cos2x(cos2x – 2) 0.

Замена: cos2x = t, 1; t(t – 2) 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию 1.

cos2x 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).

Ответ: + p n 2 x – 5sinx + 1 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).

Замена sinx = t, 1. 6t 2 – 5t +1 0, 6(t – )(t – ),

Ответ: + 2p n х + 2p n, -p -arcsin+ 2p k х arcsin+ 2p k, n, k Z.

№3. sinx + cos2x> 1.

(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).

sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin 2 x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0,

(Раздаю карточки с записью домашнего задания.Комментирую решение каждого неравенства).

cosx > sin 2 x;
4sin2xcos2x 2 sin 2 – 0,5;
sinx + cosx > 1.

– Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.

– Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?

– Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?

Самостоятельная работа
по результатам освоения материала

Угол может выражаться и в градусах и в радианах.

Основная литература:

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства.

Начнем рассматривать с неравенства .

Из рисунка 1 видно, что если a>1, то решений данное неравенство не имеет.

Рисунок 1 – Точки пересечения прямой y=a (a>1) с тригонометрической окружностью

Если a=1, то решений такое неравенство также не имеет (рис.2). Однако, если мы изменим знак на (получим неравенство , то решением его будет множество точек, в которых . Это числа .

Рисунок 2 – Общие точки прямой y=1 с тригонометрической окружностью

Рассмотрим теперь значение (рис.3).

Рисунок 3 – Решение неравенства

Видим, что множество решений данного неравенства представляет собой дугу, начало которой в точке (1) , конец в точке (2) N(π – arcsina) . В зависимости от знака неравенство (строгое оно или нестрогое) промежуток представляет собой интервал или отрезок. Далее множество промежутков получается прибавлением :

(для строгого неравенства) – множество интервалов;

(для нестрогого неравенства) – множество отрезков.

Если значение a= – 1,то получим следующую картинку (рис. 4):

Рисунок 4 – Общие точки прямой y= – 1 с тригонометрической окружностью

Видно. что если неравенство нестрогое, то решением неравенства является любое действительное число. Если неравенство строгое, то решением неравенства является любое действительное число, кроме чисел вида .

Наконец, если , то решением неравенства является любое действительное число.

Решение неравенства рассмотрим более коротко.

Очевидно, что если , то решением неравенства является любое действительное число.

Если , то решением неравенства является любое действительное число, а решением неравенства является любое действительное число, за исключением чисел вида .

Если , то решением неравенства являются числа вида , а неравенство решений не имеет. То же самое можно сказать о решении неравенств и в случае .

Рисунок 5 – Решение неравенства

Решение неравенства для :

(для строгого неравенства) - множество интервалов;

(для нестрогого неравенства) - множество отрезков.

2. Теперь рассмотрим решение неравенств и .

Рассуждая по аналогии с неравенствами относительно синуса, можем сделать вывод, что для неравенство решений не имеет, а решением неравенства является любое действительное число.

Для неравенство решений не имеет, а решением неравенства является любое действительное число.

Рассмотрим случай более подробно.

Рассмотрим решение неравенства (рис. 6).

Рисунок 6 – Решение неравенства

Множество решений этого неравенства:

Теперь рассмотрим неравенство (рис. 7).

Рисунок 7 – Решение неравенства

Множество решений этого неравенства:

3. Теперь рассмотрим решение простейших неравенств и .

Сначала рассмотрим неравенство (рис. 8).

Множество решений этого неравенства:

Соответственно, множество решений неравенства :

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Решите неравенство. Заполните пропуски

Ведем новую переменную: .

Вспомогательное неравенство имеет вид:

, .

Вернемся к исходной переменной: .

Второе неравенство решений не имеет. Решением первого неравенства является:

Ответ: .

Решите неравенство. Найдите коэффициенты

Выразим

Ответ:

Методы решения тригонометрических неравенств. Даны самостоятельные работы для студентов и объяснения темы урока. прапр вапр апр еапр апрваыеп чап вап вап еар аер вер ыаен ер чер ыер вкер ваер ваер вар вапр внор внг гшл нгл апго выены аер ваапр вер енкен енр вен ыкен ыаер ыер авен с ро вапно сро апнг анпгвн апорапро7

ТЕМА УРОКА: Решение простейших тригонометрических неравенств

Цель урока: показать алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности.

Задачи урока:

Образовательные – обеспечить повторение и систематизацию материала темы; создать условия контроля усвоения знаний и умений;

Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;

Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Знания и навыки учащихся:
- знать алгоритм решения тригонометрических неравенств;

- уметь решать простейшие тригонометрические неравенства.

Оборудование: интерактивная доска, презентация к уроку, карточки с заданиями самостоятельной работы.

ХОД УРОКА:
1. Организационный момент (1 мин)

3. Повторение

Для каждого варианта - задания на слайде, продолжите каждую запись. Время выполнения 3 мин.

4. Актуализация знаний учащихся(8 мин)
Сегодня на уроке мы должны усвоить понятие тригонометрического неравенства и овладеть навыками решения таких неравенств.
– Давайте вначале вспомним, что такое единичная окружность, радианная мера угла и как связан угол поворота точки на единичной окружности с радианной мерой угла. (работа с презентацией)

Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат.

Угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA, называется углом поворота. Важно запомнить, где находятся углы 0; 90; 180; 270; 360.

Если A перемещается против часовой стрелки, получаются положительные углы.

Если A перемещается по часовой стрелке, получаются отрицательные углы.

сos t – это абсцисса точки единичной окружности, sin t – ордината точки единичной окружности, t – угол поворота с координатами (1;0).
5 . Объяснение нового материала (17 мин)
Сегодня мы познакомимся с простейшими тригонометрическими неравенствами.
Определение.
Простейшими тригонометрическими неравенствами называют неравенства вида:

Как решить такие неравенств нам расскажут ребята (представление проектов учащимися с примерами). Определения и примеры учащиеся записывают в тетради.

В ходе выступления учащиеся объясняют решение неравенства, учитель дополняет рисунки на доске.
Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств дается после выступления учащихся. Все этапы решения неравенства учащиеся видят на экране. Это способствует зрительному запоминанию алгоритма решения данной задачи.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности:
1. На оси, соответствующей заданной тригонометрической функции, отметить данное числовое значение этой функции.
2. Провести через отмеченную точку прямую, пересекающую единичную окружность.
3. Выделить точки пересечения прямой и окружности с учетом строгого или нестрогого знака неравенства.
4. Выделить дугу окружности, на которой расположены решения неравенства.
5. Определить значения углов в начальной и конечной точках дуги окружности.
6. Записать решение неравенства с учетом периодичности заданной тригонометрической функции.
Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности.
6. Практическая часть (12 мин)
Для отработки и закрепления теоретических знаний выполним небольшие задания. Каждый учащийся получает карточки с заданиями. Решив неравенства, нужно выбрать ответ и записать его номер.

7. Рефлексия деятельности на уроке
- Какая цель стояла перед нами?
- Назовите тему урока
- Получилось воспользоваться известным алгоритмом
- Проанализируйте свою работу на уроке.

8. Домашнее задание (2 мин)

Решите неравенство:

sin 3x

tg x - 1

cos 2x -

cos (x + )

sin x -

cos (3x - )

cos 2x

tg x -

9. Итог урока (2 мин)

Предлагаю закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.

Ввести для учащихся понятия синуса и косинуса угла t; научить их решать простейшие тригонометрические уравнения с использованием данных понятий.

Задачи:

показать важность и необходимость изучения данной темы для учащихся;
дать учащимся определение понятий косинус угла t и синуса угла t;
познакомить учащихся с таблицей знаков sin t и cos t по четвертям числовой окружности;
ввести для учащихся основное тригонометрическое тождество;
повторение ранее изученного материала;
ввести таблицу часто встречаемых значений sin t и cos t;
разобрать с учащимися простейшие примеры решения тригонометрических уравнений;
познакомить учащихся со свойствами sin t и cos t.

Развивающая: Способствовать развитию наблюдательности, логического мышления, памяти, внимания учащихся, их интереса к изучению предмета Воспитательная: Воспитать у учащихся дисциплинированности на уроке, аккуратности, трудолюбия, способствовать формированию аргументировано отстаивать свою точку зрения, умение выслушать других Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: индуктивно- репродуктивный

Алгебра, 10-А класс. Урок № 50. Дата:_____________

показать важность и необходимость изучения данной темы для учащихся;

дать учащимся определение понятий косинус угла t и синуса угла t;

познакомить учащихся с таблицей знаков sin t и cos t по четвертям числовой окружности;

ввести для учащихся основное тригонометрическое тождество;

повторение ранее изученного материала;

ввести таблицу часто встречаемых значений sin t и cos t;

разобрать с учащимися простейшие примеры решения тригонометрических уравнений;

познакомить учащихся со свойствами sin t и cos t.

Развивающая:
Способствовать развитию наблюдательности, логического мышления, памяти, внимания учащихся, их интереса к изучению предмета
Воспитательная:
Воспитать у учащихся дисциплинированности на уроке, аккуратности, трудолюбия, способствовать формированию аргументировано отстаивать свою точку зрения, умение выслушать других
Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: индуктивно- репродуктивный

чему равно число π в градусной мере?

Ученик: Градусная мера числа π равна 180 градусам.

Учитель: Чему равны координаты числа π/4?

Ученик: Координаты числа π/4 равны (

Учитель: Чему равны координаты точки π?

Ученик: Координаты числа π равны (-1;0)

Учитель: Чему равны координаты числа 7π/6?

Ученик: Координаты числа 7π/6 равны (

Учитель: Чему равны координаты числа 5π/3?

Ученик: Координаты числа 5π/3 равны (

3. Изучение нового материала.

В курсе геометрии были введены понятия синуса и косинуса угла, выраженного в градусах. Этот угол рассматривался в промежутке от 0° до 180°.

Рассмотрим единичную окружность на координатной плоскости. Выберем на ней произвольный угол t, которому будет соответствовать единственная точка на числовой окружности М с координатами (х; у). Координату х назовем косинусом угла t, а координату y назовем синусом угла t.

Учитель: Тогда синус и косинус произвольного угла определяется следующим образом:

Если точка М числовой окружности соответствует углу t, то абсциссу точки М называют косинусом угла t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом угла t и обозначают sin t.

Кстати что такое координатная плоскость?

Ученик: Это плоскость, на которой выбрана система координат.

Учитель: Рассмотрим конкретный пример. Давайте найдем координаты точки М если она будет равна . По только что данному определению мы теперь знаем, что косинус угла это абсцисса этой точки, а синус угла это ордината точки.

Какие координаты будут у этой точки?

Ученик: Координаты этой точки будут равны (

Учитель: Тогда чему будет равен косинус этого угла? Не забываем что косинус угла t это абсцисса точки.

Ученик: Если косинус угла t это абсцисса, то тогда он будет равен

Учитель: А чему будет равен синус угла?

Ученик: Если синус угла t это ордината, то тогда он будет равен

Учитель: На предыдущем уроке мы так же отметили что для любой точки M(x;y) числовой окружности выполняются неравенства ; . Отсюда мы получаем, что

Что бы знать знаки синуса угла t и косинуса угла t, которые нам понадобятся в дальнейшем при решении задач, давайте составим следующую таблицу.

Учитель: Если точка лежит в первой четверти, то по рисунку мы видим что координаты , а мы теперь знаем, что x это COS t,а y это SIN t, тогда значит, что .

Учитель: Если точка лежит во второй четверти, то по рисунку видим что , тогда

Учитель: Если точка лежит в третьей четверти, то по рисунку видно, что , значит

Учитель: И в четвертой четверти мы получаем, что .

Учитель: Как выглядит уравнение числовой окружности?

Ученик: Уравнение числовой окружности имеет вид

Учитель: А так же мы знаем, что x=cos t;y=sin t значит это основное тригонометрическое тождество.

На предыдущем уроке мы заостряли внимание на том, как важно научиться отыскивать координаты некоторых точек числовой окружности. А так как мы теперь знаем что x это cos t, а y это sin t, то мы можем составить таблицу часто встречаемых значений sin t и cos t.

(На слайде выводится таблица, которую предстоит заполнить)

Учитель: Мы теперь с вами знаем, что косинус угла это абсцисса, а синус угла это ордината, тогда чему будут равны синус 0° и косинус 0°?

Ученик: Синус 0° будет равен 0, а косинус 0° будет равен 1.

(Далее таблица заполняется аналогично)

Учитель: Теперь давайте рассмотрим свойства синуса и косинуса угла:

Свойство 1: Для любого угла t справедливы равенства:

Построим точку М которая будет соответствовать углу t на числовой окружности, и точку Р которой будет соответствовать угол (-t) на числовой окружности, точка Р симметрична точке М относительно оси абсцисс. У этих точек одна абсцисса, а это значит что .И у таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты, что говорит о том что

Учитель: Давайте рассмотрим пример, надо вычислить

По только что изученному нам свойству, знак минус у аргумента синуса мы можем вынести вперед, и получаем что ,а мы знаем, что равен ½, а так как еще перед функцией стоит знак минус, то мы получаем, что

Запись на доске в тетради:

Учитель: Свойство 2: Для любого угла t справедливы равенства:

Это очевидно, поскольку числам t и t+2πk соответствует одна и та же точка числовой окружности.

Учитель: Свойство 3: Для любого угла t справедливы равенства:

Учитель: Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу t+π соответствует точка Р, симметричная точке М относительно центра окружности – начала координат. У таких точек абсциссы равны по модулю, но противоположны по знаку, и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. А это значит, что

Учитель: Давайте рассмотрим пример:

Вычислить : мы можем расписать как , а по только что пройденному нами свойству мы можем отбросить π и поставить знак минус перед , а это табличное значение и он равен , а так как у нас стоит еще и минус то

Запись на доске в тетради:

4. Закрепление первичного материала
Учитель: А теперь давайте вычислим cos t;sin t если:

мы можем записать как , а 2π, а по только что изученным нам свойствам мы может отбросить, тогда мы получаем , а это уже табличное значение которое равно

Аналогично с синусом угла, мы можем отбросить 2π и получаем, что , а это табличное значение которое равно ½

Запись на доске и в тетради:
=, =
(Следующий пример решается аналогично.)

Запись на доске и в тетради:

Учитель: решить уравнение =

Используем числовую окружность. Где наш синус угла принимает значение 0?

Ученик: Синус угла принимает значение 0 в углах 0° и π.

Учитель: А как мы можем записать их в виде формул?

Ученик: Для первого угла формула будет выглядеть следующим образом t₁=0 + 2πk и для второго угла такая t₂=π+2πk.

Учитель: А мы можем объединить эти решения? Ученик: Да можем

Учитель: Тогда что мы получим? Ученик: k Z

Запись на доске и в тетради:

Учитель: решить уравнения =

Запись на доске в тетради:

Учитель: Следующий номер. Для решения этого номера нам понадобятся свойства синуса и косинуса, которые мы с вами изучили.

Ученик: Так как мы теперь знаем свойство, что знак у аргумента синуса выносится вперед, то мы можем записать, что . так и остается. А у косинуса только что по изученному свойству минус можно убрать, тогда . Тогда мы получаем следующее выражение +, а мы знаем что , , а , таким образом мы получаем

Запись на доске и в тетради:

5. Подведение итогов
Учитель: Что нового вы сегодня узнали?
Ученик: Сегодня мы узнали, как можно определить косинус и синус с помощью числовой окружности. Так же мы узнали как решать простейшие тригонометрические уравнения.

6.Домашнее задание
Учитель: Теперь запишите домашнее задание. П. 7.3 – выучить знаки и значения синуса и косинуса угла, и №№7.32, 7.47. Спасибо, можете быть свободны.

Читайте также: