Конспект урока касательная плоскость к сфере

Обновлено: 06.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Касательная плоскость к сферы

Урок изучения нового материала

Планируемые образовательные результаты

рассмотреть теоремы о касательной плоскости к сфере, научить решать задачи по данной теме.

рассмотреть возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости,

теоремы о касательной плоскости к сфере

1. формировать умение ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе и познавательной деятельности.

Развивать трудолюбие, дисциплинированность, уважение к одноклассникам, формировать интерес к геометрии.

Касательный, сфера, центр, радиус, диаметр сферы

ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА УРОКА

1. ЭТАП Оргмомент .

Цель – активизация учащихся.

Коммуникативные УУД (планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками)

Личностные УУД (самоопределение )

1. приветствие учителя и учащихся;

2. фиксация отсутствующих;

3. проверка подготовленности учащихся к уроку

4. организация внимания.

2. ЭТАП Актуализация знаний. Фронтальный опрос

Познавательные УУД :

(Анализ объектов с целью выделения признаков)

Личностные УУД: (Формулировать собственное мнение и аргументировать его.)

Коммуникативные : вступать в диалог. Участвовать в коллективном обсуждении учебной проблемы.

Оформлять свои мысли в устной и письменной форме .

Деятельность учителя Что называется шаром?

О каких геометрических фигурах мы с вами говорили на прошлом уроке?

.. Что называется шаром?

(В случае затруднений приводится планиметрическая аналогия: Кругом можно назвать фигуру, состоящую из всех точек, удалённых от заданной точки не больше чем на заданное расстояние. Центр и радиус круга - это центр и радиус окружности, которая его ограничивает. Шар – пространственная фигура.)

4. Расскажите о взаимном расположении шара и плоскости.

Пусть R - радиус, d - расстояние от центра шара до плоскости.

Учитель раздаёт учащимся карточки с вариантами самостоятельной работы. На её выполнение отводится 10 минут.

Так как класс с углублённым изучением математики, то никаких вспомогательных формул на доске нет. В случае же, если школьники обладают низким уровнем подготовки, то на доске можно разместить формулы площади круга и длины окружности.

1. О сфере и шаре.

2. Шаром называется фигура, образованная всеми точками пространства, находящимися от данной точки на расстоянии, не большем данного (положительного) расстояния.

3. Точка называется центром шара, а расстояние – его радиусом.

4. 1) Если расстояние от центра шара до плоскости больше радиуса шара, то шар и плоскость не имеют общих точек.

2) Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей его сферой только одну общую точку.

3) Если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара, то пересечение шара плоскостью представляет собой круг.

Учащиеся самостоятельно в тетрадях выполняют задания по карточкам.

В случае низкого уровня подготовки учащихся: C = 2 r , S _круга =  r 2

3 ЭТАП. Целеполагание и мотивация. Обеспечение мотивации учения детьми, принятия ими целей урока

Регулятивные: Принимают познавательную цель, сохраняют ее при выполнении учебных действий, регулируют весь процесс их выполнения и четко выполняют требования к познавательной задаче.

На этом уроке мы более подробно рассмотрим случай взаимного расположения сферы и плоскости, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Сформулируем и докажем свойство и признак касательной плоскости к сфере. А также поговорим о прямой касательной к сфере.

Записывают в тетради дату

4 ЭТАП. Изучение нового материала. Опыты.

Цель – рассмотреть теоремы о касательной плоскости к сфере, научить решать задачи по данной теме.

КоммуникативныеУУД ( Постановка вопросов)

Познавательные УУД (самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели)

Проводят наблюдение и эксперимент под руководством учителя, анализируют, сравнивают, обобщают факты и явления.

Познавательные: (эмпирический эксперимент, формулируют выводы наблюдений, сравнивают).

Познавательные: применение полученных знаний в решении практической задачи

Прежде чем приступить к рассмотрению данной темы, давайте вспомним, что такое сфера.

Также вы уже знаете, что в зависимости от соотношения расстояния от центра сферы до плоскости и радиуса сферы возможны три случая взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве.

Сфера и плоскость могут :1) пересекаться по окружности. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы.

Тогда сечение сферы плоскостью есть окружность;

2) не пересекаться. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы.

Тогда сфера и плоскость не имеют общих точек.

3) и иметь только одну общую точку. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы.

Давайте более подробно остановимся на последнем случае, когда сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Определение:

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере , а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

На экране вы видите сферу с центром в точке О и плоскость . Эта плоскость является касательной плоскостью к сфере, а точка А – есть точка касания.

Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

Вообще касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности.

Это свойство выражается в следующей теореме :

Итак, теорема или свойство касательной плоскости к сфере : радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости .

Доказательство: плоскость касается сферы с центром в точке . Докажем, что .

По определению касательной плоскости точка А будет единственной общей точкой плоскости и сферы. Другие точки плоскости лежат вне сферы. Следовательно, они расположены дальше от центра сферы.

Тогда ОА – это кратчайшее расстояние от точки до плоскости. Напомним, что кратчайшее расстояние измеряется длиной перпендикуляра. Значит, перпендикуляр .

Следовательно, радиус . Теорема доказана.Справедлива и обратная теорема ( признак касательной плоскости к сфере ).

Сформулируем и докажем её.Итак, обратная теорема или признак касательной плоскости к сферы : если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере .

Доказательство: из условия теоремы вытекает, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости.

Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы , и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. По определению такая плоскость является касательной к сфере. Значит, плоскость – есть касательная плоскость к сфере. Что и требовалось доказать.

Итак, сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Причём, данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

5 ЭТАП. Усвоение новых знаний

Формирование УУД Познавательные:

Понимать информацию, представленную в виде текста, рисунка, схемы.

Развитие навыков нахождения закономерностей

Деятельность учителя. Решим задачу.

Задача: диаметр шара равен см. На каком расстоянии от центра шара находится плоскость, касающаяся его? .

Задача: сфера касается плоскости равностороннего треугольника с высотой см в его центре. Расстояние от центра сферы до стороны треугольника равно см. Найдите радиус сферы.

Определение:

Прямая, лежащая в касательной плоскости сферы и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере.

По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.На экране вы видите сферу с центром в точке О и прямые , и , лежащие в плоскости . Прямые , и являются касательными прямыми к сфере, а точка А – есть точка касания.

Для касательной прямой в сфере также справедливы следующие утверждения:

Радиус, проведённый в точку касания прямой и сферы, перпендикулярен к касательной прямой.

Прямая, перпендикулярная радиусу сферы в конечной его точке на сфере, является касательной к сфере.

А теперь давайте рассмотрим две касательные прямые к сфере с центром О, проходящие через точку А и касающиеся сферы в точках В и С.

Отрезки и – отрезки касательных , проведёнными из точки .

Они обладают следующим свойством : отрезки касательных к сфере, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы .

Это легко увидеть из равенства прямоугольных треугольников . У этих треугольников гипотенуза общая, а катеты

Решение: напомним, что касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

По свойству касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости .

Радиус нашего шара и будет расстоянием от центра шара до точки касания с плоскостью .

Так как по условию задачи диаметр шара равен 18 см, то радиус равен (см). Запишем ответ.

Решение: так как по условию задачи треугольник равносторонний, то его центр будет находиться в центре вписанной и описанной окружностей.

Напомним, что в равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой. А по свойству медиан треугольника: три медианы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Так как по условию задачи высота треугольника равна 12 см, а она же является и медианой, значит, расстояние (см).

Рассмотрим . Он прямоугольный, так как . А по свойству касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Применим теорему Пифагора и найдем чему равен катет . Получаем, что (см). Не забудем записать ответ.

Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления знаний и способов действий, которые необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.

Формирование УУД

Коммуникативные:

Задача: расстояние от точки до центра сферы с радиусом см равно . Найдите расстояние от данной точки до точки касания прямой и сферы

Ребята выполняют работу в своих тетрадях, сверяются и советуются с соседом по парте. Решение: соединим точку А, точку касания, с центром сферы.

Отрезок . Напомним, что радиус, проведённый в точку касания прямой и сферы, перпендикулярен к касательной прямой.

Рассмотрим . Он прямоугольный. Применяя теорему Пифагора найдём чему равен катет , который и является расстоянием от точки до точки А . Имеем, (см).

Выделяют в условии данные, необходимые для решения задачи, строят логическую цепочку рассуждений, сопоставляют полученный результат с условием задачи. Сличают свой способ действия с эталоном.

Коммуникативные:

Учатся устанавливать и сравнивать разные точки зрения, прежде чем принимать решение и делать выбор.

Учатся аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию невраждебным для оппонентов образом

А теперь попробуйте выполнить самостоятельно №592).

Один ученик решает у доски. Учащиеся решают в тетради.

8 ЭТАП Подведение итогов урока

Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых

- Что изучали сегодня на уроке?

На этом уроке мы рассмотрели случай взаимного расположения сферы и плоскости, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Узнали, что плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Сформулировали и доказали свойство и признак касательной плоскости. А также узнали, что прямая, лежащая в касательной плоскости сферы и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере.

9 ЭТАП. Рефлексия

Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, мотивации, их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе.

Личностные . Сформировать рефлексивную самооценку деятельности на уроке, развивать умение выражать настроение, анализировать его изменение в течение урока.

Оцените свое отношение к уроку и насколько комфортно вы себя чувствовали на нем.

Оценивают свою работу.

1. Л.С. Атанасян и другие. Геометрия. Учебник для 10-11 класса общеобразовательных учреждений. М., Просвещение, 2009

2. Дидактические материалы по геометрии 10 класс/ Зив Б.Г.- М., Просвещение, 2001

3. Бурмистрова Т.А. Геометрия 10-11 классы. Программы общеобразовательных учреждений. М., Просвещение, 2010.

4. Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. Задачи по геометрии для 7-11 классов.- М.; Просвещение, 1991

Цель урока: рассмотреть теоремы о касательной плоскости к сфере, научить решать задачи по данной теме.

Актуализация опорных знаний.

Повторение сведений из планиметрии.

Свойство радиуса, проведенного к точке касательной.

Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то:

а) длины отрезков от данной точки до точек касания равны:

б) углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.

Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Взаимное расположение сферы и плоскости.

Объяснение новой темы. (Слайд 26 – 32)

Итак, сфера с плоскостью могут пересекаться по окружности, не пересекаться и иметь одну общую точку.

Рассмотрим последний случай подробнее.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания.

К
асательная плоскость обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности.

Дано: сфера с центром О и радиусом R , α - касательная к сфере в точке А плоскость.

Доказательство: Пусть OA не перпендикулярна плоскости а , тогда OA является наклонной к плоскости, значит, расстояние от центра до плоскости d R . Т.е. сфера должна пересекаться с плоскостью по окружности, но это не удовлетворяет условию теоремы. Значит, OA а .

Докажем обратную теорему.

Дано: сфера с центром О и радиусом OA , а, OA а .

Доказать: а – касательная плоскость.

Доказательство: Т.к. OA а , то расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу. Значит, сфера и плоскость имеют одну общую точку. По определению, плоскость является касательной к сфере.

Формирование умений и навыков учащихся.

Как далеко может обозревать землю человек, стоящий на равнине? (Не учитывая рефракции света).

Решение: CN 2 = h ( h + 2 R ) (см. выше п. I урока)

Пусть рост человека (до глаз) 1,6 м , R земли 6400 км.

Позднее вернемся к этой задаче, чтобы узнать, какова площадь обозрения.

Работа по таблице 33.

О
трезок, соединяющий центр шара с точкой А касательной плоскости, равен 17 см . Радиус шара 8 см . Найдите расстояние от точки А до точки касания шара с плоскостью и от точки А до ближайшей к ней точки шара.

АК ОК (почему?). По теореме Пифагора АК = = 15 . AM - ближайшее расстояние от точки А до сферы (при наличии времени можно дать учащимся порассуждать над очевидным вопросом - почему?)

Домашнее задание: п. 61, № 591, 592.

Методические рекомендации к учебникам математики для 10 11 классов

. по проведению уроков, подбору . плоскости 2 2 § 9. Перпендикулярность плоскостей 3 3 Контрольная работа № 2 1 1 § 10. Параллельность плоскостей 3 3 § 11. Параллельность прямой и плоскости . шара Объем шара. Касательная плоскость к сфере. Сечения шара 2 .

Смирнова И. М. Геометрия. 10-11 кл.: учебн для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)

. Использование на уроках геометрии . сферу и шар. Формулировать определение касательной прямой и касательной плоскости к сфере, вписанной и описанной сферы . плоскостей. Находить расстояния между точками, прямыми и плоскостями. 4. Многогранники (10 .

Конспект уроков 10 класс. Урок 1

. Скорость при баллистическом движении. Урок 9-10 §18. Кинематика периодического движения . Угол смачивания- угол между плоскостью, касательной к поверхности жидкости, и . Электростатическое поле заряженной сферы: Внутри заряженной сферы поле отсутствует, .

Рабочая программа по геометрии для 10 11 класса Составитель

. прямых и плоскостей (16 ч) Свойства параллельных плоскостей 1 Свойства параллельных плоскостей п. 10, 11 . 35 Сфера Сфера и шар Уравнение сферы Взаимное расположение сферы и плоскости Касательная плоскость к сфере Площадь сферы Решение задач Урок .

Название тем Содержание уроков

. плоскостями 10.10 . сферы и плоскости. Уметь применять зания о сфере и шаре при решении задач. Касательная плоскость к сфере. 5.12 Знать теоремы о касательной плоскости к сфере . Плановых контрольных уроков -4; Административных контрольных уроков – 2 .

В этом видеофрагменте мы более подробно рассмотрим случай взаимного расположения сферы и плоскости, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Дадим определение касательной плоскости к сфере. Сформулируем и докажем свойство и признак касательной плоскости к сфере. А также поговорим о прямой касательной к сфере.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Касательная плоскость к сфере"

Прежде чем приступить к рассмотрению данной темы, давайте вспомним, что такое сфера.

Сфера и плоскость могут:

1) пересекаться по окружности. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы.

Тогда сечение сферы плоскостью есть окружность;

2) не пересекаться. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы.

Тогда сфера и плоскость не имеют общих точек.

3) и иметь только одну общую точку. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы.

Определение:

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Вообще касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности.

Это свойство выражается в следующей теореме:

Итак, теорема или свойство касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Доказательство: плоскость касается сферы с центром в точке . Докажем, что .

Следовательно, радиус . Теорема доказана.

Справедлива и обратная теорема (признак касательной плоскости к сфере).

Сформулируем и докажем её.

Итак, обратная теорема или признак касательной плоскости к сферы: если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Задача: диаметр шара равен см. На каком расстоянии от центра шара находится плоскость, касающаяся его?

Радиус нашего шара и будет расстоянием от центра шара до точки касания с плоскостью .

Так как по условию задачи диаметр шара равен 18 см, то радиус равен (см). Запишем ответ.

Применим теорему Пифагора и найдем чему равен катет . Получаем, что (см). Не забудем записать ответ.

Определение:

На экране вы видите сферу с центром в точке О и прямые , и , лежащие в плоскости . Прямые , и являются касательными прямыми к сфере, а точка А – есть точка касания.

Для касательной прямой в сфере также справедливы следующие утверждения:

Радиус, проведённый в точку касания прямой и сферы, перпендикулярен к касательной прямой.

Прямая, перпендикулярная радиусу сферы в конечной его точке на сфере, является касательной к сфере.

Отрезки и – отрезки касательных, проведёнными из точки .

Они обладают следующим свойством: отрезки касательных к сфере, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

Это легко увидеть из равенства прямоугольных треугольников . У этих треугольников гипотенуза общая, а катеты .

Задача: расстояние от точки до центра сферы с радиусом см равно . Найдите расстояние от данной точки до точки касания прямой и сферы.

Решение: соединим точку А, точку касания, с центром сферы.

На этом уроке мы более подробно рассмотрели случай взаимного расположения сферы и плоскости, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Узнали, что плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Сформулировали и доказали свойство и признак касательной плоскости. А также узнали, что прямая, лежащая в касательной плоскости сферы и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере.

На сегодняшнем уроке вы узнаете, о таких телах вращения как шар и сфера, из каких элементов они состоят, их сечения, свои знания закрепите при решении задач.

Открыли тетради, записали тему нашего урока.

Сферой называется поверхность, которая состоит из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром, а заданное расстояние – радиусом сферы.

У сферы есть замечательное свойство: все ее точки находятся на одном и том же расстоянии от некоторой точки, находящейся внутри нее – центра сферы. Если разрезать сферу плоскостью, то получим окружность.

Любопытно, что сфера – единственная поверхность, при пересечении которой плоскостью всегда получается окружность. Если пересекающая плоскость проходит через центр сферы, то полученная окружность будет самой большой и поэтому называется большим кругом. Большими кругами на земном шаре будут, в частности, экватор и меридианы (показать на глобусе). Большие круги на поверхности Земли используют штурманы кораблей и самолетов потому, что кратчайший путь из одного пункта в другой проходит по соединяющему их большому кругу.

Сфера обладает еще одним важным свойством: из всех сосудов одинаковой вместимости у сферического наименьшая поверхность. Именно поэтому резервуары для хранения нефти и газа имеют сферическую форму, ведь при этом экономиться материал оболочки окружают антенны радиолокаторов, стоящих на научных судах, следящих за полетом наших космических кораблей и спутников, и принимающих оттуда важную информацию.

2. Введение понятия шара; (слайд 5)

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от заданной точки точки. Эта точка называется центром шара. Расстояние от центра шара до любой точки поверхности называется – радиусом шара. Шар можно получить вращением полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр.

Шар – уникальное геометрическое тело. Оно выделяется среди всех тел того же объема, что имеет наименьшую площадь поверхности. Жидкости и газы стремятся к тому, чтобы занимаемый ими объем имел наименьшую поверхность. Посмотрите на маленькую капельку воды на промасленной бумаге – она имеет форму шара. Если капелька побольше, то она сплющивается под действием собственной тяжести, а очень большая капля рассыпается на несколько маленьких (дома проделать этот опыт). Этим свойством пользуются и при изготовлении охотничьей дроби: расправленный свинец льют через тонкие отверстия. В полете, струя разбивается на капли, которые падая в воду, застывают в виде одинаковых шариков.

Да и воздушный шарик и имеет свою форму по той же причине. Шаровая форма мяча доставляет ему еще одно замечательное свойство – он одинаков со всех сторон и может катиться в любую сторону. Этим во многом вызван успех таких игр как футбол, волейбол, теннис.

Это свойство шара используется не только в играх, но и в технике. Вам, наверное, доводилось видеть шарикоподшипник: несколько шариков помещены в обойму из двух колес. Кольца легко перекатываются по шарикам поэтому шарикоподшипники ставят на осях велосипедов, мотоциклов, автомашин, и не только на осях колес, но и во всех местах, где происходит вращение. В обычном велосипеде можно насчитать не менее 11 шарикоподшипников (дома подсчитать шарикоподшипники на велосипедах, на машинах).

Ну, а самое – самое главное, почему интересно изучение шаров то, что и Земля, и Солнце и Луна, и остальные планеты имеют форму шара.

3. Сечения шара; (слайд 6)

Сечение шара, проходящее через его центр.

В сечении – круг. В этом случае в сечении получается круг наибольшего радиуса, его называют большой круг шара.

Сечение плоскостью, не проходящей через центр. В сечении – круг.

Теорема: Площадь поверхности шара равна четыре площади большого круга шара S = 4R. 2

4. Взаимное расположение сферы и плоскости; (слайд 7-9)

Итак, сфера с плоскостью могут пересекаться по окружности, не пересекаться и иметь одну общую точку.

d – расстояние от центра сферы до плоскости, R – радиус сферы

r – радиус сечения сферы

Вычислить радиус сечения можно используя теорему Пифагора.

d R

Плоскость пересекает сферу и называется секущей

d – расстояние от центра сферы до плоскости, R – радиус сферы

Теорема: Радиус сферы проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

d = R

Плоскость имеет одну общую точку со сферой и называется касательной

d – расстояние от центра сферы до плоскости, R – радиус сферы

d R

Плоскость не имеет общих точек со сферой.

5) Решение задач по теме. (слайд 10-12)

1)Вычислить площадь поверхности шара изображенного на рисунке.

S =4R 2

Найдем ОА из АСО.

Ответ: S = 192 ед 2

О - центр Земли, А – точка орбиты в которой находится корабль, В и С – точки касания.

ВАС - искомый угол.

Углы В и С прямые, теорема о радиусе проведенном в точку касания.
АВО =АСО, т.к. АО общая, АВ= АС как отрезки касательных  ВАО = САО.

ОА = 6371 + 244 = 6615 км, ОВ = 6371 км

значит ВАС = 14846`≈149.

Ответ: Космонавт видит Землю под углом ≈149

3) Найдите длину полярного круга Земли (радиус Земли принять за 6400 км)

1) Из справочника имеем длину дуги от экватора до полярного круга 66.

Этой же мере соответствует центральный угол АОВ = 66

2) Дуга от Северного полюса до экватора равна 90. Значит,
СОВ = 90.

Тогда, СОА = 90 - 66 = 24.

3)Используя синус угла СОА в прямоугольном АСО найдем СА:

CA= AO· sin(COA)= 6400 · sin 24 = 6400 · 0,4067= 2602,88 (км)

4) СА есть радиус окружности полярного круга, найдем длину этой окружности: 2·CA =2· 3,14· 2602,88 = 16 346, 0864 км

Ответ: длина полярного круга ≈ 16 тыс. км

6) Географическая справка. (слайд 13)

Географические широты могут иметь значение от 0° до 90°. Географическая широта 90° находится у полюсов.

Под географической широтой понимают величину дуги от экватора к северу или к югу до заданной точки. Она тоже измеряется в градусах, так как широта точки есть угол между отвесной линией, проходящей через эту точку, и плоскостью экватора.

Северный полярный круг находится в 66°33′44″ (66,5622°) к северу от экватора.

Читайте также:


Конспект урока вычитание целых чисел виленкин

Конспект логопедического занятия с неговорящим ребенком на тему семья

План конспект мероприятий по профилактике поведенческих рисков опасных для здоровья

Конспект урока по русскому языку 2 класс на тему имя существительное планета знаний

Конспект воспитательного мероприятия по логопедии с анализом

Конспект урока касательная плоскость к сфере

Похожие документы:

Методические рекомендации к учебникам математики для 10 11 классов

Смирнова И. М. Геометрия. 10-11 кл.: учебн для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)

Конспект уроков 10 класс. Урок 1

Рабочая программа по геометрии для 10 11 класса Составитель

Название тем Содержание уроков

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Касательная плоскость к сфере"